Исбот. Ҳамвориҳои α ва β гуногунанд. Баръаксашро фарз мекунем: онҳо параллел нестанд. Онҳо нуқтаи умумӣ доранд, пас аз рӯйи хати c бурида мешаванд (C4). Хатҳои a ва b дар α мехобанд, ҳар ду ба хатҳои β параллеланд.
Аломати дуюми параллелии ҳамвориҳо
Исбот. Бигзор a,b⊂α,a ва b ҳамдигарро мебуранд, a∥β,b∥β. Бигзор α=β. Агар онҳо параллел набошанд, аз рӯйи хати c бурида мешаванд. Дар ҳамвории α аз нуқтаи буриши a ва b ба хати c танҳо як хати параллел мегузарад. Пас ақаллан яке аз a,b — масалан, a — ба c параллел нест ва c-ро дар нуқтае мебурад. Ин нуқта ба c⊂β тааллуқ дорад, яъне a ва β нуқтаи умумӣ доранд — ин ба a∥β зид аст. ■
Ҳал. Секунҷаҳои DB1C1 ва DBC кунҷи умумии D ва тарафҳои мутаносиби гирандаи онро доранд (DB1:DB=DC1:DC), пас монанданд, ва B1C1∥BC. Ҳамин тавр хатҳои ҳамдигарро буранда AC ва CB мувофиқан ба хатҳои ҳамдигарро буранда A1C1 ва C1B1 параллеланд. Мувофиқи аломати якум ABC∥A1B1C1.■
Мисоли 4 (барои хондан). Хатҳои чиликии a ва b ба ҳамвориҳои α ва β параллеланд. Исбот кунед, ки α∥β.
Ҳал. Аз параллелии a ба α ва β хатҳои a1⊂α ва a2⊂β ҳаст, ки ба a параллеланд; ҳамин тавр b1⊂α ва b2⊂β, ки ба b параллеланд. Пас a1∥a2 ва b1∥b2. Хатҳои a1 ва b1 параллел нестанд (вагарна a∥a1∥b1∥b ва a∥b, вале a ва b чиликианд), пас дар α ҳамдигарро мебуранд. Ҳамин тавр a2 ва b2 ҳам ҳамдигарро мебуранд: онҳо дар як ҳамвории β мехобанд ва параллел нестанд (вагарна a1∥b1). Мувофиқи аломати якум α∥β.■
Расми 1. Ҳамвориҳои α ва β ҳамдигарро аз рӯйи хати a мебуранд (чап) ё параллеланд (рост).
Теорема
Агар ду хати рости ҳамдигарро бурандаи як ҳамворӣ мувофиқан ба ду хати рости ҳамдигарро бурандаи ҳамвории дигар параллел бошанд, он гоҳ ин ҳамвориҳо параллеланд.
Расми 2. Хатҳои a ва b-и ҳамвории α ба хатҳои a₁ ва b₁-и ҳамвории β параллеланд.
Хати a дар β нест, агар бо c ҳамҷоя нашавад (вагарна a⊂α∩β=c). Ҳамин тавр хати b низ. Ҳамзамон ҳар ду бо ҳамҷоя шуда наметавонанд — онҳо ҳамдигарро мебуранд.
Теорема
Агар ҳамворӣ ба ду хати рости ҳамдигарро бурандаи ҳамвории дигар параллел бошад, он гоҳ ин ду ҳамворӣ параллеланд.
Ҳушдор: хатҳо бояд ҳамдигарро бурад
Дар ҳарду аломат шарти «ҳамдигарро мебуранд» муҳим аст. Ду хати параллелa ва b, ки ба ҳамвории α параллеланд, ба ду хати ҳамвории β ҳам параллел шуда метавонанд, вале α ва аз рӯйи хати бурида мешаванд (расми 3).
Расми 3. Хатҳои параллел a ва b ба ҳамвории α параллеланд, вале ҳамвории β, ки онҳоро дар бар мегирад, α-ро аз рӯйи хати c мебурад.
Расми 4. Тетраэдри DABC ва секунҷаи A₁B₁C₁, ки ба асос параллел аст.
Расми 5. Куби ABCDA₁B₁C₁D₁ ва ду секунҷаи A₁BD, CB₁D₁.
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?
Ҳамвориҳои параллелро таъриф мекунам ва ду аломати параллелии онҳоро мегӯям.
Дар аз нуқтаи буриши ва ба танҳо як хати параллел мегузарад, пас ақаллан яке аз — масалан — ба параллел нест
2
3
4
5
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
c
Агар a=c ва b=c, он гоҳ мувофиқи аломати хат ва ҳамворӣ a∥β ва b∥β. Пас ҳеҷ яке аз онҳо хати c⊂β-ро намебурад. Ҳар се хат дар α мехобанд, ва a∥c,b∥c, пас a∥b. Вале a ва b ҳамдигарро мебуранд — зиддият.
Агар, масалан, a=c, он гоҳ b=c,b∥β, яъне b хати c-ро намебурад. Вале b хати a=c-ро мебурад — зиддият.
