6.19 · 1/3. Зарби скалярии векторҳо

1 соат

Назария
Дарси 4 аз 8
Хониш: 9 дақиқа
Саволҳо: 5

Зарби скалярии векторҳо

Масалан, барои $\vec a=(2;\,4;\,0)$ ва $\vec b=(-1;\,3;\,2)$ :

навбатӣ

6.19 · 2/3. Кунҷи байни векторҳо

1 соат

Дарси навбатӣ

Дарси пешина Ба харитаи курс

b

=

(−1;3;2)

\vec a\cdot\vec b=2\cdot(-1)+4\cdot3+0\cdot2=-2+12+0=10.

Натиҷа — адад аст (скаляр), на вектор.

Хосиятҳо

Аз таъриф бевосита бармеояд:

$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$ (чойивазкунӣ).
$\vec a\cdot\vec a=a_1^2+a_2^2+a_3^2=|\vec a|^2.$ Яъне зарби скалярии вектор ба худаш ва ба квадрати дарозӣ баробар аст.
$(\alpha\vec a+\beta\vec b)\cdot\vec c=\alpha(\vec a\cdot\vec c)+\beta(\vec b\cdot\vec c)$ барои ададҳои дилхоҳи

Сабаб барои 3: ҳар координатаи тарафи чап $(\alpha a_i+\beta b_i)c_i=\alpha a_ic_i+\beta b_ic_i$ аст; се ҳосилро ҷамъ кунед.

Натиҷаҳо

Хосиятҳои 1–3-ро истифода бурда, формулаҳои «квадрат» мисли алгебраро ҳосил мекунем:

Масалан, барои $1^\circ$ : $(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)=\vec a\cdot\vec a+\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a+\vec b\cdot\vec b=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2.$ Ин ҷо $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$ аз хосияти 1.

Худатон кӯшиш кунед

Зарби скалярӣ

Кор дар синф

Машқҳо

Дар синф

1. Зарби скалярии векторҳои $\vec a=(1;\,-2;\,3)$ ва $\vec b=(4;\,0;\,-1)$ -ро ёбед. Санҷед, ки $\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2.$

Дар хона

4. Зарби скалярии $\vec a=(3;\,-1;\,2)$ ва $\vec b=(1;\,4;\,-2)$ -ро ёбед.

5. Маълум аст, ки $|\vec a|=5,$ $|\vec b|=7,$ $\vec a\cdot\vec b=-4.$ Дарозии $|\vec a+\vec b|$ -ро ёбед (то $0{,}01$ ).

6. Барои $\vec a=(2;\,1;\,0)$ ва $\vec b=(1;\,-1;\,2)$ баробарии $(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=|\vec a|^2-|\vec b|^2$ ⁠-ро бевосита бо координатаҳо санҷед.

Вазифаи хонагӣ

Машқҳои 4–6. Вазифаи хонагии онлайн дар охири мавзӯи 6.19 (дарси 3/3) меояд.

Дар ин дарс

Ман медонам таърифи зарби скалярии ду вектор ва се хосияти асосии онро.
Ман метавонам зарби скалярро аз координатаҳо ҳисоб кунам.
Ман метавонам формулаҳои $(\vec a\pm\vec b)^2$ ва $(\vec a+\vec b)(\vec a-\vec b)$ -ро барои ёфтани дарозиҳо истифода барам.

Такрор (2 дақиқа)

$\vec a=(1;\,2;\,-2).$ $|\vec a|=?$
Вектори $2\vec a-\vec b$ -ро ёбед, агар $\vec{a} = (1;$ ва
Дар ҳамворӣ зарби скалярии векторҳои $(2;\,3)$ ва $(4;\,-1)$ -ро ҳисоб кунед.

Ҷавобҳо

$\sqrt{1+4+4}=3;$ 2) $(3;\,-2;\,6);$ 3)

Вазъият барои андешаронӣ

Таъриф

Зарби скалярии векторҳои $\vec a=(a_1;\,a_2;\,a_3)$ ва $\vec b=(b_1;\,b_2;\,b_3)$ адади $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ аст. (Дар баъзе сарчашмаҳо ин адад ҳамчунин $(\vec a,\vec b)$ навишта мешавад.)