5.15 · 1/2. Масофаи байни ду нуқта дар фазо - Геометрия — синфи 10
Нуқтаҳои A 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) A_1(x_1;\,y_1;\,z_1) A 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1
навбатӣ 5.15 · 2/2. Координатаҳои миёнаҷойи порча 1 соат
)
A 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) A_2(x_2;\,y_2;\,z_2) A 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) Исбот. Фарз мекунем, ки A 1 A 2 A_1A_2 A 1 A 2 O z Oz O z
Ҳолатҳои махсус. Агар z 1 = z 2 z_1=z_2 z 1 = z 2 C = A 1 C=A_1 C = A 1 (A 1 A 2 ∥ O x y A_1A_2\parallel Oxy A 1 A 2 ∥ O x y ва формула формулаи ҳамвори мешавад. Агар x 1 = x 2 x_1=x_2 x 1 = x 2 y 1 = y 2 y_1=y_2 y 1 = y 2 A 1 A 2 ∥ O z A_1A_2\parallel Oz A 1 A 2 ∥ O z A 1 A 2 = ∣ z 2 − z 1 ∣ , A_1A_2=|z_2-z_1|, A 1 A 2 = ∣ z 2 − z
Масофа дар фазо санҷида бин! Аз нав
Мисолҳо Мисоли 1. Масофаи байни нуқтаҳои: 1) A ( − 3 ; 2 ; 1 ) A(-3;\,2;\,1) A ( − 3 ; 2 ; 1 ) B ( 4 ; 1 ; 7 ) ; B(4;\,1;\,7); B ( 4 ; 1 ; 7 ) ; A ( x ; 4 ; − 5 ) A(x;\,4;\,-5) A ( x ; 4 ; − 5 ) B ( 3 ; 1 ; 4 ) B(3;\,1;\,4) B ( 3 ; 1 ; 4 )
Ҳал. Аз формула:
A B = ( 4 + 3 ) 2 + ( 1 − 2 ) 2 + ( 7 − 1 ) 2 = 49 + 1 + 36 = 86 ; AB=\sqrt{(4+3)^2+(1-2)^2+(7-1)^2}=\sqrt{49+1+36}=\sqrt{86}; A B = ( 4 + 3 ) 2 + ( 1 − 2 ) 2 + ( 7 − 1 ) 2 = 49 + 1 + 36 = 86 ; A B = ( 3 − x ) 2 + ( 1 − 4 ) 2 + ( 4 + 5 ) 2 = x 2 − 6 x + 99 . AB=\sqrt{(3-x)^2+(1-4)^2+(4+5)^2}=\sqrt{x^2-6x+99}. A B = ( 3 − x ) 2 + ( 1 − 4 ) 2 +
Мисоли 2. Дар тири O x Ox O x A ( 1 ; 2 ; 3 ) A(1;\,2;\,3) A ( 1 ; 2 ; 3 ) B ( − 2 ; 1 ; 1 ) B(-2;\,1;\,1) B ( − 2 ; 1 ; 1 )
Ҳал. Нуқтаи матлуб C ( x ; 0 ; 0 ) . C(x;\,0;\,0). C ( x ; 0 ; 0 ) . A C = B C , AC=BC, A C = BC , A C 2 = B C 2 : AC^2=BC^2: A C 2 = B C 2 : ( x − 1 ) 2 + 2 2 + 3 2 = ( x + 2 ) 2 + 1 2 + 1 2 , (x-1)^2+2^2+3^2=(x+2)^2+1^2+1^2, ( x − 1 ) 2 + 2 2 + 3 2 = ( x x 2 − 2 x + 14 = x 2 + 4 x + 6 ⇒ 6 x = 8 , x = 4 3 . x^2-2x+14=x^2+4x+6\ \Rightarrow\ 6x=8,\quad x=\dfrac43. x 2 − 2 x + 14 = x 2 + 4 x + 6 ⇒ Ҷавоб: C ( 4 3 ; 0 ; 0 ) . C\left(\dfrac43;\,0;\,0\right). C ( 3 4 ; 0 ; 0 ) .
Кор дар синф
Машқҳо 1. Масофаи байни нуқтаҳои: 1) A ( 4 ; 0 ; − 2 ) A(4;\,0;\,-2) A ( 4 ; 0 ; − 2 ) B ( 2 ; − 1 ; 3 ) ; B(2;\,-1;\,3); B ( 2 ; − 1 ; 3 ) ; A ( − 2 ; 4 ; 6 ) A(-2;\,4;\,6) A ( − 2 ; 4 ; 6 ) B ( 2 ; − 2 ; 5 ) B(2;\,-2;\,5) B ( 2 ; − 2 ; 5 )
2. Кадоме аз нуқтаҳои A ( 4 ; − 5 ; 1 ) A(4;\,-5;\,1) A ( 4 ; − 5 ; 1 ) B ( 2 ; 1 ; 7 ) B(2;\,1;\,7) B ( 2 ; 1 ; 7 )
3. Кадоме аз нуқтаҳои A ( − 3 ; 3 ; 1 ) A(-3;\,3;\,1) A ( − 3 ; 3 ; 1 ) B ( 4 ; − 2 ; 1 ) B(4;\,-2;\,1) B ( 4 ; − 2 ; 1 )
4. Масофаро аз нуқтаи A ( 2 ; 1 ; − 3 ) A(2;\,1;\,-3) A ( 2 ; 1 ; − 3 )
Нишондод Масофа то ҳамворӣ — қимати мутлақи як координата. Масофа то тир — масофаи байни A A A
5. Дар тири O y Oy O y A ( 2 ; 3 ; 0 ) A(2;\,3;\,0) A ( 2 ; 3 ; 0 ) B ( − 1 ; 2 ; − 5 ) B(-1;\,2;\,-5) B ( − 1 ; 2 ; − 5 )
6. Нуқтаҳои A ( − 2 ; 3 ; 5 ) , A(-2;\,3;\,5), A ( − 2 ; 3 ; 5 ) , B ( 1 ; 2 ; 4 ) , B(1;\,2;\,4), B ( 1 ; 2 ; 4 ) , C ( 4 ; − 3 ; 6 ) C(4;\,-3;\,6) C ( 4 ; − 3 ; 6 )
7. Оё нуқтаҳои A ( 2 ; − 1 ; 0 ) , A(2;\,-1;\,0), A ( 2 ; − 1 ; 0 ) , B ( 0 ; 1 ; − 4 ) , B(0;\,1;\,-4), B ( 0 ; 1 ; − 4 ) , C ( 1 ; − 4 ; 1 ) C(1;\,-4;\,1) C ( 1 ; − 4 ; 1 )
Нишондод Се нуқта қуллаҳои секунҷа мебошанд, агар суммаи ду тарафи ёфташуда аз тарафи сеюм зиёд бошад (нобаробарии секунҷа) барои ҳар се ҷуфт.
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 5–7. Дар дафтар масофаро аз формула ба шакли N \sqrt{N} N 0,01 0{,}01 0 , 01
Дар ин дарс
Ман медонам формулаи масофаи байни ду нуқта дар фазо ва метавонам онро аз теоремаи Пифагор бароварам.Ман метавонам масофаро байни нуқтаҳо, то ибтидои координатаҳо, ва то тирҳо ва ҳамвориҳои координатӣ ҳисоб кунам.Ман метавонам нуқтаеро ёбам, ки аз ду нуқтаи додашуда баробар дур аст. Такрор (2 дақиқа)
Масофаи байни нуқтаҳои A 1 ( x 1 ; y 1 ) A_1(x_1;\,y_1) A 1 ( x 1 ; y 1 ) A 2 ( x 2 ; y 2 ) A_2(x_2;\,y_2) A 2 ( x 2 ; y 2 )
Теоремаи Пифагорро барои секунҷаи росткунҷа нависед.
Проексияи нуқтаи A ( x ; y ; z ) A(x;\,y;\,z) A ( x ; y ; z ) O x y Oxy O x y
Ҷавобҳо
A 1 A 2 = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ; A_1A_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}; A 1 A 2 = ( x 2 Вазъият барои андешаронӣ Фурудгоҳ дар нуқтаи ( 0 ; 0 ; 0 ) , (0;\,0;\,0), ( 0 ; 0 ; 0 ) , ( 3 ; 4 ; 12 ) (3;\,4;\,12) ( 3 ; 4 ; 12 )
Теорема ∣ A 1 A 2 ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 . |A_1A_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. ∣ A 1 A 2 Расми 1. Секунҷаи росткунҷаи A₁CA₂: A₁C параллел ба Oz, CA₂ параллел ба Oxy. A₁′ ва A₂′ — проексияҳо дар Oxy.
Нуқтаҳои A 1 A_1 A 1 A 2 A_2 A 2 O x y Oxy O x y A 1 ′ ( x 1 ; y 1 ; 0 )
Дар хотир доред Масофа аз ибтидои координатаҳо то нуқтаи A ( x ; y ; z ) A(x;\,y;\,z) A ( x ; y ; z ) O A = x 2 + y 2 + z 2 . \;OA=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. O A = x 2
Расми 2. Нуқтаи C(x; 0; 0) дар Ox, ки CA = CB. Агар ду нуқта дар ҳамвории O x y Oxy O x y (z 1 = z 2 = 0 z_1=z_2=0 z 1 = z 2 = 0 формулаи масофа дар фазо ба формулаи масофа дар ҳамворӣ табдил меёбад.
Нуқтаҳои A ( 0 ; 0 ; 0 ) , A(0;\,0;\,0), A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( 3 ; 4 ; 0 ) , B(3;\,4;\,0), B ( 3 ; 4 ; 0 ) , C ( 3 ; 4 ; 12 ) C(3;\,4;\,12) C ( 3 ; 4 ;
Кадоме аз нуқтаҳои A ( 1 ; − 2 ; 2 ) A(1;\,-2;\,2) A ( 1 ; − 2 ; 2 ) B ( − 2 ; 2 ; − 2 ) B(-2;\,2;\,-2) B ( − 2 ; 2 ; − 2 )
Як ҷавобро интихоб кунед A A A A
B бе расм гуфтан мумкин нест C аз ҳарду як хел D B B
1
∣
,
(
4
+
5
) 2
=
+
2 ) 2 +
1 2 +
1 2 ,
6 x =
8 , x =
3 4 .
−
x 1
) 2
+
(
y 2
−
y 1
) 2
;
c 2 = a 2 + b 2 ; c^2=a^2+b^2; c 2 = a 2 + b 2 ; ( x ; y ; 0 ) . (x;\,y;\,0). ( x ; y ; 0 ) .
∣
=
( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 . , A_1'(x_1;\,y_1;\,0), A 1 ′ ( x 1 ; y 1 ; 0 ) ,
A 2 ′ ( x 2 ; y 2 ; 0 ) . A_2'(x_2;\,y_2;\,0). A 2 ′ ( x 2 ; y 2 ; 0 ) . Ҳамвории аз A 2 A_2 A 2 O x y Oxy O x y A 1 A 1 ′ A_1A_1' A 1 A 1 ′ C ( x 1 ; y 1 ; z 2 ) C(x_1;\,y_1;\,z_2) C ( x 1 ; y 1 ; z 2 ) A 1 C ∥ O z , A_1C\parallel Oz, A 1 C ∥ O z , A 1 C ⊥ O x y , A_1C\perp Oxy, A 1 C ⊥ O x y , A 1 C ⊥ C A 2 A_1C\perp CA_2 A 1 C ⊥ C A 2 C A 2 ∥ O x y CA_2\parallel Oxy C A 2 ∥ O x y A 1 C A 2 A_1CA_2 A 1 C A 2 C C C A 1 C = ∣ z 2 − z 1 ∣ . A_1C=|z_2-z_1|. A 1 C = ∣ z 2 − z 1 ∣. C A 2 A 2 ′ A 1 ′ CA_2A_2'A_1' C A 2 A 2 ′ A 1 ′ C A 2 = A 1 ′ A 2 ′ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 CA_2=A_1'A_2'=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} C A 2 = A 1 ′ A 2 ′ = ( x Теоремаи Пифагор: A 1 A 2 2 = A 1 C 2 + C A 2 2 = ( z 2 − z 1 ) 2 + ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 . A_1A_2^2=A_1C^2+CA_2^2=(z_2-z_1)^2+(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2. A 1 A 2 2 = A 1 C 2 + C A 2 2 = ( z 2 − z 1 ) 2 + ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 . +
y 2
+
z 2
.
B ( − 3 ; 2 ; − 2 )
12
)
B
2
−
x 1
) 2
+
(
y 2
−
y 1
) 2
