Ягонагӣ. Фарз мекунем, ки ҳамвории дигари β′=β низ аз A мегузарад ва β′∥α.β′ ҳам a1-ро, ҳам b1-ро дар бар гирифта наметавонад (вагарна β′=β). Бигзор, масалан, a1⊂β′. Он гоҳ a1 ҳамвории β′-ро дар A мебурад, ва хати a∥a1 низ β′-ро мебурад (теоремаи хатҳои параллел ва ҳамвории буранда). Пас a⊂α бо β′ нуқтаи умумӣ дорад — зид бо α∥β′.■
Исбот. Бигзор α∥β, ҳамвории γ онҳоро аз рӯйи хатҳои a ва b мебурад. Хатҳои a ва b дар як ҳамвории γ мехобанд. Агар онҳо параллел набошанд, нуқтаи умумӣ доранд. Он ба α⊃a ҳам, ба β⊃b ҳам тааллуқ дорад — номумкин, чунки α∥β. Пас a∥b.■
Мисоли 1. Исбот кунед, ки агар хати рост яке аз ду ҳамвории параллелро бурад, он гоҳ дигарашро низ мебурад.
Ҳал. Бигзор α∥β ва хати c ҳамвории α-ро дар A мебурад. Фарз мекунем, ки c ва β нуқтаи умумӣ надоранд. Нуқтаи B∈β-ро мегирем. B∈/c, пас хат ва нуқта ҳамвории γ-ро муайян мекунанд. γ бо α ва β дар хатҳои l (аз A) ва m (аз B) мебурад, ва мувофиқи теоремаи хатҳои буриш l∥m. Дар γ хати c аз A мегузарад ва ба l ҳамҷоя нест. Агар c∥m, он гоҳ аз A ду хати c ва l ба m параллел мебуданд — номумкин. Пас c хати m⊂β-ро мебурад: c ва β нуқтаи умумӣ доранд — зид бо фарз. ■
Панҷ натиҷа
Сабабҳо: (1) агар хати l-и аз A гузаранда дар β набошад, он β-ро дар A мебурад, пас мувофиқи Мисоли 1 α-ро низ мебурад — зид бо l∥α; (2) ҳамворие, ки a-ро дар бар мегирад ва ба α параллел аст, аз нуқтаи A∈a мегузарад — ин танҳо β аст ва мувофиқи (1) a⊂β; (3) ин Мисоли 2-и дарси гузашта; (4) аз (5): агар γ бо α нуқтаи умумӣ дошта бошад ва β-ро набурад, он гоҳ γ∥β,α∥β, пас γ∥α — зид.
Исботи панҷум. Бигзор α∥γ ва β∥γ. Агар α ва β нуқтаи умумӣ доранд, аз ин нуқта ду ҳамвории гуногун ба γ параллел мегузарад — зид бо ягонагии теорема. Пас α∥β.■
Ҳал. Бигзор α∥β,AB∥DC,A,D∈α,B,C∈β. Хатҳои параллел AB ва DC ҳамвории γ-ро муайян мекунанд. γ бо α аз рӯйи AD, бо β аз рӯйи BC бурида мешавад. Мувофиқи теоремаи хатҳои буриш AD∥BC. Пас ABCD — параллелограмм, яъне AB=DC.■
Мисоли 3. Аз қуллаҳои секунҷаи ABC, ки дар яке аз ду ҳамвории параллел ҷойгир аст, хатҳои параллел гузаронида шудаанд, ки ҳамвории дуюмро дар A1,B1,C1 мебуранд. Нишон диҳед, ки секунҷаҳои ABC ва A1B1C1 баробаранд.
Ҳал. Мувофиқи Мисоли 2 (бо хатҳои параллел AA1,BB1) чоркунҷаи ABB1A1 параллелограмм аст: AB=A1B1. Ҳамин тавр BC=B1C1 ва AC=A1C1. Секунҷаҳо аз рӯйи се тараф баробаранд. ■
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Ҳамвориҳои α ва β ҳамдигарро мебуранд. Исбот кунед, ки ҳар гуна ҳамвории γ ақаллан яке аз ин ҳамвориҳоро мебурад.
2. Ду ҳамвории параллел дода шудаанд. Аз нуқтаҳои A ва B-и яке аз онҳо хатҳои параллел гузаронида шудаанд, ки ҳамвории дуюмро дар A1 ва B1 мебуранд. A1B1 чанд аст, агар AB=4 см?
Дар хона
3. Аз қуллаҳои параллелограмми ABCD, ки дар яке аз ду ҳамвории параллел ҷойгир аст, хатҳои параллел гузаронида шудаанд. Ин хатҳо ҳамвории дуюмро дар A1,B1,C1,D1 мебуранд. Исбот кунед, ки A1B1C1D1 низ параллелограмм аст.
