31 · 1/2. Муодилаҳои бутун ва касрӣ - Алгебра — синфи 8
Муодилаи ратсионалӣ
Муодилаҳое, ки қисми чап ё рост, ё ҳар ду қисми онҳо ифодаҳои ратсионалианд, муодилаҳои ратсионалӣ ном доранд. Масалан, ин чор муодила ратсионалианд:
2 x + 1 3 = 3 ( 7 − x ) , 3 x 2 − 2 x = 1 , x − 6 x = − 3 x − 2 , x − 3 2 x + 3 = 2 x − 7 x + 7 . \dfrac{2x + 1}{3} = 3(7 - x), \qquad 3x^2 - 2x = 1, \qquad x - \dfrac{6}{x} = -3x - 2, \qquad \dfrac{x - 3}{2x + 3} = \dfrac{2x - 7}{x + 7}. 3 2 x + 1 = 3 ( 7 навбатӣ 31 · 2/2. Схемаи ҳалли муодилаи касрӣ 1 соат
−
x ) , 3 x 2 −
2 x =
1 , x −
x 6 =
− 3 x −
2 , 2 x + 3 x − 3 =
x + 7 2 x − 7 .
Дар синфҳои пештара мо муодилаҳоеро дидем, ки қисмҳои чап ва рости онҳо ифодаҳои бутун буданд: махраҷҳои онҳо тағйирёбанда надоштанд.
Дар чор муодилаи боло дутои аввал бутунанд: дар махраҷ тағйирёбанда нест. Дутои охир касриянд: дар 6 x \dfrac{6}{x} x 6 x − 3 2 x + 3 \dfrac{x - 3}{2x + 3} 2 x + 3 x − 3
Муодилаи бутун бо махраҷҳои ададӣ Мисоли 1. Муодилаи бутуни
2 x − 1 4 + x 3 = 2,5 x \dfrac{2x - 1}{4} + \dfrac{x}{3} = 2{,}5x 4 2 x − 1 + 3 x = 2 , 5 x Ҳар ду қисми муодиларо ба хурдтарин махраҷи умумии касрҳо, яъне ба 12 12 12
3 ( 2 x − 1 ) + 4 x = 30 x . 3(2x - 1) + 4x = 30x. 3 ( 2 x − 1 ) + 4 x = 30 x . Қавсро мекушоем: 6 x − 3 + 4 x = 30 x , 6x - 3 + 4x = 30x, 6 x − 3 + 4 x = 30 x , 10 x − 3 = 30 x , 10x - 3 = 30x, 10 x − 3 = 30 x , − 20 x = 3. -20x = 3. − 20 x = 3. x = − 3 20 . x = -\dfrac{3}{20}. x = − 20 3 .
Санҷиш: 2 ⋅ ( − 0,15 ) − 1 4 + − 0,15 3 = − 0,325 − 0,05 = − 0,375 \dfrac{2 \cdot (-0{,}15) - 1}{4} + \dfrac{-0{,}15}{3} = -0{,}325 - 0{,}05 = -0{,}375 4 2 ⋅ ( − 0 , 15 ) − 1 + 3 − 0 , 15 = − 0 , 325 − 0 , 05 = − 0 , 375 2,5 ⋅ ( − 0,15 ) = − 0,375. 2{,}5 \cdot (-0{,}15) = -0{,}375. 2 , 5 ⋅ ( − 0 , 15 ) = − 0 , 375.
Муодилаи касрӣ: решаи бегона Мисоли 2. Муодилаи ратсионалии касрии
4 x 2 − 4 − 1 x − 2 = 3 ( 1 ) \dfrac{4}{x^2 - 4} - \dfrac{1}{x - 2} = 3 \qquad (1) x 2 − 4 4 − x − 2 1 = 3 ( 1 ) Мисли мисоли пешина ҳар ду қисмро ба махраҷи умумии касрҳо зарб мекунем. Азбаски x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) , x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2), x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) , x 2 − 4 x^2 - 4 x 2 − 4
4 − ( x + 2 ) = 3 ( x 2 − 4 ) . ( 2 ) 4 - (x + 2) = 3(x^2 - 4). \qquad (2) 4 − ( x + 2 ) = 3 ( x 2 − 4 ) . ( 2 ) Ҳар як решаи муодилаи (1) решаи муодилаи (2) мебошад. Вале муодилаи (2) метавонад бо муодилаи (1) баробарқувва набошад : мо ҳар ду тарафро на ба адади аз сифр фарқкунанда, балки ба ифодаи дорои тағйирёбанда зарб кардем, ва ин ифода барои ягон қимат ба сифр баробар мешавад. Аз ин рӯ на ҳар як решаи муодилаи (2) ҳатман решаи муодилаи (1) аст.
Муодилаи (2)-ро сода мекунем: 4 − x − 2 = 3 x 2 − 12 , 4 - x - 2 = 3x^2 - 12, 4 − x − 2 = 3 x 2 − 12 ,
3 x 2 + x − 14 = 0. 3x^2 + x - 14 = 0. 3 x 2 + x − 14 = 0. Решаҳои он: x 1 = − 2 1 3 x_1 = -2\dfrac{1}{3} x 1 = − 2 3 1 x 2 = 2. x_2 = 2. x 2 = 2.
Ҳангоми x = − 2 1 3 x = -2\dfrac{1}{3} x = − 2 3 1 x 2 − 4 x^2 - 4 x 2 − 4 − 2 1 3 -2\dfrac{1}{3} − 2 3 1
Ҳангоми x = 2 x = 2 x = 2 x 2 − 4 x^2 - 4 x 2 − 4 4 x 2 − 4 \dfrac{4}{x^2 - 4} x 2 −
Ҷавоб: − 2 1 3 . -2\dfrac{1}{3}. − 2 3 1 .
Чунин решаи муодилаи бутун, ки махраҷи умумиро ба сифр мубаддал мекунад, решаи бегона номида мешавад. Он аз зарб ба ифодаи дорои тағйирёбанда ба вуҷуд меояд ва ба муодилаи касрӣ тааллуқ надорад.
Муодилаи шуруъ (x x − 3 = 3 x − 3 \dfrac{x}{x - 3} = \dfrac{3}{x - 3} x − 3 x = x − 3 3 x = 3 x = 3 x = 3
Худатон ҳал кунед: дар ҳар қадам амали дурустро интихоб кунед. Дар охир ҳар решаро санҷед.
Муодилаи касриро қадам ба қадам ҳал кунед санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
а) x 2 x + 4 = x x + 4 ; \dfrac{x^2}{x + 4} = \dfrac{x}{x + 4}; x + 4 x 2 = x + 4 x ;
б) x 2 − 3 x + 5 2 x − 1 = − x 2 − 2 x + 8 2 x − 1 ; \dfrac{x^2 - 3x + 5}{2x - 1} = \dfrac{-x^2 - 2x + 8}{2x - 1}; 2 x − 1 x 2 − 3 x + 5 =
в) y 2 y 2 − 4 = 5 y − 6 y 2 − 4 ; \dfrac{y^2}{y^2 - 4} = \dfrac{5y - 6}{y^2 - 4}; y 2 − 4 y 2 =
г) y 2 y − 2 = − 7 y + 6 2 − y ; \dfrac{y^2}{y - 2} = \dfrac{-7y + 6}{2 - y}; y − 2 y 2 = 2 − y
д) 1 + 3 x 1 − 2 x = 5 − 3 x 1 + 2 x ; \dfrac{1 + 3x}{1 - 2x} = \dfrac{5 - 3x}{1 + 2x}; 1 − 2 x 1 + 3 x = 1 + 2 x 5 −
е) 2 y + 1 1 + y = 3 y ; \dfrac{2y + 1}{1 + y} = \dfrac{3}{y}; 1 + y 2 y + 1 = y 3 ;
ж) 10 x − 3 = 8 + x x ; \dfrac{10}{x - 3} = \dfrac{8 + x}{x}; x − 3 10 = x 8 + x ;
з) x − 1 2 x + 3 = 2 x − 1 3 − 2 x ; \dfrac{x - 1}{2x + 3} = \dfrac{2x - 1}{3 - 2x}; 2 x + 3 x − 1 = 3 − 2 x 2 x −
и) x + 1 x − 1 = x − 5 1 − x . \dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{x - 5}{1 - x}. x − 1 x + 1 = 1 − x x − 5
а) 1 x − 3 + 1 x + 3 = 5 8 ; \dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{1}{x + 3} = \dfrac{5}{8}; x − 3 1 + x + 3 1 = 8 5 ;
б) 4 x − 2 + 4 x + 2 = 1,5 ; \dfrac{4}{x - 2} + \dfrac{4}{x + 2} = 1{,}5; x − 2 4 + x + 2 4 = 1 ,
в) 3 x + 1 x + 2 − x − 1 x − 2 = 1 ; \dfrac{3x + 1}{x + 2} - \dfrac{x - 1}{x - 2} = 1; x + 2 3 x + 1 − x − 2 x − 1
г) 2 y − 3 y + 3 + y + 3 y − 3 = 5 ; \dfrac{2y - 3}{y + 3} + \dfrac{y + 3}{y - 3} = 5; y + 3 2 y − 3 + y − 3 y
д) 6 x 2 − 1 − 2 x − 1 = x − 2 x + 1 ; \dfrac{6}{x^2 - 1} - \dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x - 2}{x + 1}; x 2 − 1 6 − x − 1
е) 2 x 2 − 4 + x − 4 x ( x + 2 ) = 1 x ( x − 2 ) ; \dfrac{2}{x^2 - 4} + \dfrac{x - 4}{x(x + 2)} = \dfrac{1}{x(x - 2)}; x 2 − 4 2 + x ( x +
ж) x + 3 x − 3 + x − 3 x + 3 = 10 3 ; \dfrac{x + 3}{x - 3} + \dfrac{x - 3}{x + 3} = \dfrac{10}{3}; x − 3 x + 3 + x + 3 x −
з) 1 4 x 2 − 1 + 1 54 = 1 2 ( 2 x − 1 ) . \dfrac{1}{4x^2 - 1} + \dfrac{1}{54} = \dfrac{1}{2(2x - 1)}. 4 x 2 − 1 1 + 54 1
3. Барои кадом қиматҳои x x x
а) қимати функсияи y = 3 x − 2 x + 6 y = \dfrac{3x - 2}{x + 6} y = x + 6 3 x − 2 − 4 ; -4; − 4 ; 0 ; 0; 0 ; 2 2 2
б) қимати функсияи y = x 2 − 2 x + 3 x + 3 y = \dfrac{x^2 - 2x + 3}{x + 3} y = x + 3 x 2 − 2 x + 3 − 16 ; -16; − 16 ;
Дар хона
а) 3 x − 2 x + 1 − 1 = 0 ; \dfrac{3x - 2}{x + 1} - 1 = 0; x + 1 3 x − 2 − 1 = 0 ;
б) 5 2 x − 3 = x − 6 ; \dfrac{5}{2x - 3} = x - 6; 2 x − 3 5 = x − 6 ;
в) 10 7 − x = x ; \dfrac{10}{7 - x} = x; 7 − x 10 = x ;
г) x 2 − 9 3 = 3 ( x − 3 ) 2 ; \dfrac{x^2 - 9}{3} = \dfrac{3(x - 3)}{2}; 3 x 2 − 9 = 2 3 ( x − 3
д) 6 x = 2 x − 1 ; \dfrac{6}{x} = 2x - 1; x 6 = 2 x − 1 ;
е) x 2 + 2 x x + 1 = 2 x 5 ; \dfrac{x^2 + 2x}{x + 1} = \dfrac{2x}{5}; x + 1 x 2 + 2 x = 5 2 x
ж) x 2 − 3 x + 2 8 x − 4 = 0 ; \dfrac{x^2 - 3x + 2}{8x - 4} = 0; 8 x − 4 x 2 − 3 x + 2 = 0 ;
з) 16 x 3 − x x + 3,2 = 0 ; \dfrac{16x^3 - x}{x + 3{,}2} = 0; x + 3 , 2 16 x 3 − x = 0 ;
и) 2 x = 8 x + 3 . 2x = \dfrac{8}{x + 3}. 2 x = x + 3 8 .
а) 15 x − 2 = 14 x + 1 ; \dfrac{15}{x - 2} = \dfrac{14}{x} + 1; x − 2 15 = x 14 + 1 ;
б) 2 x − 3 + 14 x = 3 ; \dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{14}{x} = 3; x − 3 2 + x 14 = 3 ;
в) 1 x − 3 + 1 x = 5 4 ; \dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{4}; x − 3 1 + x 1 =
г) 1 x + 1 x + 3 = 3 20 ; \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 3} = \dfrac{3}{20}; x 1 + x + 3 1 =
д) 40 x − 20 − 40 x = 1 ; \dfrac{40}{x - 20} - \dfrac{40}{x} = 1; x − 20 40 − x 40 = 1 ;
е) 120 x − 120 x + 4 = 1 ; \dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{x + 4} = 1; x 120 − x + 4 120 = 1 ;
ж) 180 x − 1 = 180 x + 6 ; \dfrac{180}{x} - 1 = \dfrac{180}{x + 6}; x 180 − 1 = x + 6 180 ;
з) 2 x − 1 + 4 x = 4. \dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{4}{x} = 4. x − 1 2 + x 4 = 4.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4 ва 5.
Вазифаи онлайн оид ба банди 31 дар охири дарси дуюм аст; агар омӯзгор онро супорида бошад, дар саҳифаи «Супоришҳо» мебинед.
Дар ин дарс
Ман медонам , ки муодилаи ратсионалӣ чист ва муодилаи бутун аз муодилаи касрӣ чӣ фарқ дорад.Ман метавонам муодилаи бутунро бо зарб ба махраҷи умумӣ ҳал кунам.Ман мефаҳмам , чаро баъди зарб ба ифодаи тағйирёбандадор «решаи бегона» пайдо шуда метавонад. Такрор (2 дақиқа)
Муодилаи x 2 − 5 x + 6 = 0 x^2 - 5x + 6 = 0 x 2 − 5 x + 6 = 0
Махраҷи умумии хурдтарини касрҳои 1 6 \dfrac{1}{6} 6 1 3 4 \dfrac{3}{4} 4 3
Ифодаи x 2 − 4 x^2 - 4 x 2 − 4
Ҷавобҳо
x 1 = 2 , x_1 = 2, x 1 = 2 , x 2 = 3. x_2 = 3. x 2 = 3. 12. 12. 12. x Вазъият барои андешаронӣ Муодилаи x x − 3 = 3 x − 3 \dfrac{x}{x - 3} = \dfrac{3}{x - 3} x − 3 x = x − 3 3 x − 3 x - 3 x − 3 x = 3. x = 3. x = 3. 3 3 3 x x x 3 3 3
Таъриф Муодилаи ратсионалие, ки махраҷҳояш тағйирёбанда надоранд, муодилаи бутун ном дорад. Муодилаи ратсионалие, ки қисми чап ё қисми росташ (ё ҳар ду қисм) ифодаи касрӣ аст, яъне дар махраҷ тағйирёбанда дорад, муодилаи касрӣ ном дорад.
Дар хотир доред Баъди зарб ба ифодаи тағйирёбандадор муодилаи нав метавонад решаи бегона дошта бошад. Бинобар ин ҳар як решаро санҷед: ба ҷойи x x x
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро баъди зарб ба ифодаи тағйирёбандадор решаро санҷидан лозим аст? Фарқи муодилаи бутун ва касриро бо мисол фаҳмонед.
Муодилаи бутун, ки аз зарб ба x − 3 x - 3 x − 3
Кадоме аз муодилаҳо касрӣ аст?
Як ҷавобро интихоб кунед A x 2 − x 3 = 1 \dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{3} = 1 2 x − 3 x = 1
B x − 1 4 = 2 x \dfrac{x - 1}{4} = 2x
C D Кадоме аз ададҳо наметавонад решаи муодилаи x + 1 ( x − 2 ) ( x + 3 ) = 1 x − 2 \dfrac{x + 1}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{1}{x - 2} ( x − 2 ) ( x + 3 ) x + 1 = x −
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A B C D
4
4
1 x − 2 \dfrac{1}{x - 2} x − 2 1 2 x − 1
− x 2 − 2 x + 8
;
y
2
−
4
5 y − 6
;
−
7
y
+
6
;
3
x
;
1
;
.
5
;
=
1 ;
+
3
=
5 ;
2
=
x + 1 x − 2 ;
2
)
x − 4
=
x ( x − 2 ) 1 ;
3
=
3 10 ;
=
2 ( 2 x − 1 ) 1 .
)
;
;
4
5
;
20
3
;
2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) . x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) .
x
+
10
4 x − 1 = 2 x
x 2 7 = 2 x − 1 \dfrac{x^2}{7} = 2x - 1 7 x 2 = 2 x − 1
5 x − 2 = 3 \dfrac{5}{x - 2} = 3 x − 2 5 = 3
2
1