26. Муодилаи квадратии нопурра - Алгебра — синфи 8
Муодилаи квадратии нопурра
Агар дар муодилаи квадратии a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 b b b c c c муодилаи квадратии нопурра меноманд. Масалан, 2 x 2 = 0 , 2x^2 = 0,
навбатӣ 27. Ҳалли муодила бо ҷудо кардани квадрати пурра 1 соат
2 x 2 =
0 ,
− 3 x 2 + 5 = 0 -3x^2 + 5 = 0 − 3 x 2 + 5 = 0 7 x 2 − 8 x = 0 7x^2 - 8x = 0 7 x 2 − 8 x = 0 Муодилаҳои квадратии нопурра се хел мешаванд:
a x 2 = 0 ; ax^2 = 0; a x 2 = 0 ; a x 2 + c = 0 , ax^2 + c = 0, a x 2 + c = 0 , c ≠ 0 ; c \ne 0; c = 0 ; a x 2 + b x = 0 , ax^2 + bx = 0, a x 2 + b x = 0 , b ≠ 0. b \ne 0. b = 0. Ҳар се намудро бо хосиятҳои асосии муодилаҳо (1°–2°-и дарси гузашта) ҳал мекунем.
1) Муодилаи a x 2 = 0. ax^2 = 0. a x 2 = 0. Он ба муодилаи x 2 = 0 x^2 = 0 x 2 = 0 a a a x = 0 x = 0 x = 0
2) Муодилаи a x 2 + c = 0. ax^2 + c = 0. a x 2 + c = 0. Пеш аз формулаи умумӣ ду мисоли мушаххасро мебинем.
Мисоли 1. Муодилаи − 4 x 2 + 20 = 0 -4x^2 + 20 = 0 − 4 x 2 + 20 = 0
Узви озоди 20 20 20 − 4 -4 − 4
− 4 x 2 = − 20 , x 2 = 5. -4x^2 = -20, \qquad x^2 = 5. − 4 x 2 = − 20 , x 2 = 5. Решаҳои муодилаи x 2 = 5 x^2 = 5 x 2 = 5 − 5 -\sqrt{5} − 5 5 \sqrt{5} 5
Ҷавоб: x 1 = − 5 ; x_1 = -\sqrt{5}; x 1 = − 5 ; x 2 = 5 . x_2 = \sqrt{5}. x 2 = 5 .
Мисоли 2. Муодилаи 2 x 2 + 7 = 0 2x^2 + 7 = 0 2 x 2 + 7 = 0
Узви озодро ба қисми рост мегузаронем ва ҳар ду қисмро ба 2 2 2
2 x 2 = − 7 , x 2 = − 3,5. 2x^2 = -7, \qquad x^2 = -3{,}5. 2 x 2 = − 7 , x 2 = − 3 , 5. Квадрати адад манфӣ намешавад, пас муодилаи ҳосилшуда реша надорад. Муодилаи аввала низ, ки ба он баробарқувва аст, реша надорад.
Ҷавоб: муодила реша надорад.
Ҳамин тавр дар ҳолати умумӣ: бо гузаронидани c c c a a a a x 2 + c = 0 ax^2 + c = 0 a x 2 + c = 0
x 2 = − c a x^2 = -\dfrac{c}{a} x 2 = − a c меорем. Ду ҳолат имконпазир аст.
3) Муодилаи a x 2 + b x = 0 ax^2 + bx = 0 a x 2 + b x = 0 (b ≠ 0 b \ne 0 b = 0 Онро бо роҳи ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан ҳал мекунем: зарбкунандаи умумии x x x
x ( a x + b ) = 0. x(ax + b) = 0. x ( a x + b ) = 0. Ҳосили зарб ба сифр баробар аст, агар ва фақат агар ақаллан яке аз зарбкунандаҳо ба сифр баробар бошад:
x = 0 ё a x + b = 0. x = 0 \qquad \text{ё} \qquad ax + b = 0. x = 0 ё a x + b = 0. Аз муодилаи хаттии охирин x = − b a x = -\dfrac{b}{a} x = − a b a x 2 + b x = 0 ax^2 + bx = 0 a x 2 + b x = 0 b ≠ 0 b \ne 0 b = 0 x 1 = 0 x_1 = 0 x 1 = 0 x 2 = − b a . x_2 = -\dfrac{b}{a}. x 2 = − a b .
Мисоли 3. Муодилаи 4 x 2 + 7 x = 0 4x^2 + 7x = 0 4 x 2 + 7 x = 0
Дорем: 4 x 2 + 7 x = x ( 4 x + 7 ) = 0. 4x^2 + 7x = x(4x + 7) = 0. 4 x 2 + 7 x = x ( 4 x + 7 ) = 0. x = 0 x = 0 x = 0 4 x + 7 = 0. 4x + 7 = 0. 4 x + 7 = 0. x = − 7 4 = − 1,75. x = -\dfrac{7}{4} = -1{,}75. x = − 4 7 = − 1 , 75.
Ҷавоб: x 1 = 0 ; x_1 = 0; x 1 = 0 ; x 2 = − 1,75. x_2 = -1{,}75. x 2 = − 1 , 75.
Дар охир натиҷаҳоро барои ҳар се намуд ҷамъбаст мекунем:
Намуд Чӣ тавр ҳал мекунем Решаҳо a x 2 = 0 ax^2 = 0 a x 2 = 0 ба a a a як реша: x = 0 x = 0 x = 0 a x 2 + c = 0 , ax^2 + c = 0, a x 2 + c = 0 , c ≠ 0 c \ne 0 c = 0 x 2 = − c a x^2 = -\dfrac{c}{a} x 2 = − a c ду реша ± − c a , \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}, ± − a c , − c a > 0 ; -\dfrac{c}{a} > 0; a x 2 + b x = 0 , ax^2 + bx = 0, a x 2 + b x = 0 , b ≠ 0 b \ne 0 b = 0 x ( a x + b ) = 0 x(ax + b) = 0
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
а) 9 x 2 − 16 = 0 ; 9x^2 - 16 = 0; 9 x 2 − 16 = 0 ;
б) − x 2 + 6 = 0 ; -x^2 + 6 = 0; − x 2 + 6 = 0 ;
в) − 0,1 x 2 − 10 = 0 ; -0{,}1x^2 - 10 = 0; − 0 , 1 x 2 − 10 = 0 ;
г) y 2 − 1 25 = 0 ; y^2 - \dfrac{1}{25} = 0; y 2 − 25 1 = 0 ;
д) 3 v 2 + 17 = 0 ; 3v^2 + 17 = 0; 3 v 2 + 17 = 0 ;
е) 2 t 2 − 1 = 0. 2t^2 - 1 = 0. 2 t 2 − 1 = 0.
2. Решаҳои муодиларо ёбед:
а) 1 − 4 x 2 = 0 ; 1 - 4x^2 = 0; 1 − 4 x 2 = 0 ;
б) 49 − x 2 = 0 ; 49 - x^2 = 0; 49 − x 2 = 0 ;
в) 10 x 2 − 12,1 = 0 ; 10x^2 - 12{,}1 = 0; 10 x 2 − 12 , 1 = 0 ;
г) 10 x 2 = 0,4 ; 10x^2 = 0{,}4; 10 x 2 = 0 , 4 ;
д) 3 ( x 2 − 2 ) = 2 ( x 2 − 3 ) ; 3(x^2 - 2) = 2(x^2 - 3); 3 ( x 2 − 2 ) = 2 ( x 2 − 3 ) ;
е) 6 ( 3 − x 2 ) = 13 + 5 ( 1 − x 2 ) . 6(3 - x^2) = 13 + 5(1 - x^2). 6 ( 3 − x 2 ) = 13 + 5 ( 1 − x 2 ) .
а) 2 − 4 x + x 2 = 3 x 2 + 2 − 5 x ; 2 - 4x + x^2 = 3x^2 + 2 - 5x; 2 − 4 x + x 2 = 3 x 2 + 2 − 5 x ;
б) 10 − 3 x 2 = x 2 − x + 10 ; 10 - 3x^2 = x^2 - x + 10; 10 − 3 x 2 = x 2 − x + 10 ;
в) 4 x 2 − 3 x 2 = x 2 + 5 x 5 ; \dfrac{4x^2 - 3x}{2} = \dfrac{x^2 + 5x}{5}; 2 4 x 2 − 3 x = 5 x
г) 3 x 2 + 7 x 4 = 7 x 2 − 5 x 3 . \dfrac{3x^2 + 7x}{4} = \dfrac{7x^2 - 5x}{3}. 4 3 x 2 + 7 x = 3 7 x
а) ( x − 1 ) ( x + 2 ) = − 2 ; (x - 1)(x + 2) = -2; ( x − 1 ) ( x + 2 ) = − 2 ;
б) x ( x − 3 ) = 2 x ( x − 1,5 ) − 4 ; x(x - 3) = 2x(x - 1{,}5) - 4; x ( x − 3 ) = 2 x ( x − 1 , 5 ) − 4 ;
в) ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 2 ( x 2 − 3 ) ; (x - 3)(x + 3) = 2(x^2 - 3); ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 2 ( x 2 − 3 ) ;
г) 8 − ( x − 2 ) ( x − 4 ) = 5 x ; 8 - (x - 2)(x - 4) = 5x; 8 − ( x − 2 ) ( x − 4 ) = 5 x ;
д) ( x − 7 ) ( x + 3 ) + ( x − 1 ) ( x + 5 ) = 102 ; (x - 7)(x + 3) + (x - 1)(x + 5) = 102; ( x − 7 ) ( x + 3 ) + ( x − 1 ) ( x + 5 ) = 102 ;
е) ( 5 x − 1 ) 2 − 1 = 0. (5x - 1)^2 - 1 = 0. ( 5 x − 1 ) 2 − 1 = 0.
5. Ҳосили зарби ду адади натуралии пай дар пай аз квадрати адади якум 1,5 1{,}5 1 , 5
6. Агар аз квадрат секунҷаи масоҳаташ 36 см 2 36\ \text{см}^2 36 см 2 64 см 2 64\ \text{см}^2 64 см 2
7. Масоҳати доира 1 м 2 1\ \text{м}^2 1 м 2
8. Масоҳати квадрат ба масоҳати доираи радиусаш R R R
Дар хона
а) 2 x 2 − 5 x = 0 ; 2x^2 - 5x = 0; 2 x 2 − 5 x = 0 ;
б) − 3 x 2 + 4 x = 0 ; -3x^2 + 4x = 0; − 3 x 2 + 4 x = 0 ;
в) 8 x 2 + 7 x = 0 ; 8x^2 + 7x = 0; 8 x 2 + 7 x = 0 ;
г) 5 a 2 − 4 a = 0 ; 5a^2 - 4a = 0; 5 a 2 − 4 a = 0 ;
д) 9 t 2 − t = 0 ; 9t^2 - t = 0; 9 t 2 − t = 0 ;
е) 2 z + z 2 = 0. 2z + z^2 = 0. 2 z + z 2 = 0.
10. Муодиларо ҳал намоед:
а) 1,2 x + 6 x 2 = 0 ; 1{,}2x + 6x^2 = 0; 1 , 2 x + 6 x 2 = 0 ;
б) 2,7 x = 0,1 x 2 ; 2{,}7x = 0{,}1x^2; 2 , 7 x = 0 , 1 x 2 ;
в) x ( 2 − x ) = x ( 7 + x ) ; x(2 - x) = x(7 + x); x ( 2 − x ) = x ( 7 + x ) ;
г) 1 2 y + 1 8 y 2 = 0 ; \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{8}y^2 = 0; 2 1 y + 8 1 y 2 =
д) 2 3 z ( z + 6 ) = 1 5 z ( 5 z − 10 ) ; \dfrac{2}{3}z(z + 6) = \dfrac{1}{5}z(5z - 10); 3 2 z ( z + 6 ) = 5 1 z (
е) 3 x − 5 x 2 4 = 0. 3x - \dfrac{5x^2}{4} = 0. 3 x − 4 5 x 2 = 0.
Такрор 11. Қимати x x x
2 − x : 4 5 7 2 3 − 1,3 = 2,4 1 4 5 \dfrac{2 - x : \dfrac{4}{5}}{7\dfrac{2}{3} - 1{,}3} = \dfrac{2{,}4}{1\dfrac{4}{5}} 7 3 2 − 1 , 3 2 − x : 5 4 = 1 5 4 2 , 4 12. Ададҳоро муқоиса намоед:
а) 6 \sqrt{6} 6 2,4 ; 2{,}4; 2 , 4 ;
б) 2,1 2{,}1 2 , 1 4,21 . \sqrt{4{,}21}. 4 , 21 .
13. Исбот кунед, ки қимати ифодаи
( 5 a + 2 − 3 a − 2 + 20 a 2 − 4 ) ⋅ a − 2 2 \left(\dfrac{5}{a + 2} - \dfrac{3}{a - 2} + \dfrac{20}{a^2 - 4}\right) \cdot \dfrac{a - 2}{2} ( a + 2 5 − a − 2 3 + a 2 − 4 20 ) ⋅ 2 a − 2 барои ҳамаи қиматҳои имконпазири a a a a a a
14. Ба 96 сомонӣ 4 тӯб ва 6 ҷуфт пойафзоли варзишӣ ё 2 тӯб ва 7 ҷуфт пойафзол харидан мумкин аст. Тӯб ва пойафзол чанд сомонӣ меистанд?
★ Барои ҳавасмандон
а) x 2 − 4 = ( x + 4 ) ( 2 x − 1 ) ; x^2 - 4 = (x + 4)(2x - 1); x 2 − 4 = ( x + 4 ) ( 2 x − 1 ) ;
б) ( 2 x + 1 ) ( 3 x + 2 ) = 7 x + 20 ; (2x + 1)(3x + 2) = 7x + 20; ( 2 x + 1 ) ( 3 x + 2 ) = 7 x + 20 ;
в) x − ( x − 1 ) 2 = 2 x 2 − 1 ; x - (x - 1)^2 = 2x^2 - 1; x − ( x − 1 ) 2 = 2 x 2 − 1 ;
г) x ( 7 − 6 x ) = ( 1 − 3 x ) ( 1 + 2 x ) ; x(7 - 6x) = (1 - 3x)(1 + 2x); x ( 7 − 6 x ) = ( 1 − 3 x ) ( 1 + 2 x ) ;
д) 4 a 2 − ( a + 1 ) 2 = − 2 ( a − 1 ) ; 4a^2 - (a + 1)^2 = -2(a - 1); 4 a 2 − ( a + 1 ) 2 = − 2 ( a − 1 ) ;
е) ( 6 y + 1 ) ( y − 2 ) = − 11 ( y − 1 ) . (6y + 1)(y - 2) = -11(y - 1). ( 6 y + 1 ) ( y − 2 ) = − 11 ( y − 1 ) .
16. Касрро ихтисор кунед:
а) 8 + 2 7 1 + 7 ; \dfrac{8 + 2\sqrt{7}}{1 + \sqrt{7}}; 1 + 7 8 + 2 7 ;
б) 4 + 2 3 1 + 3 . \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}. 1 + 3 4 + 2 3
Нишондод Сурати касрро ба намуди квадрати ҷамъ ё фарқ нависед: масалан, 4 + 2 3 = 1 + 2 3 + 3. 4 + 2\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3. 4 + 2 3 = 1 + 2 3 + 3.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 9–14 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор»; машқҳои 15–16 — барои ҳавасмандон.
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 26 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Муодилаи нопурра: b = 0 b = 0 b = 0 c = 0. c = 0. c = 0. a x 2 = 0 , ax^2 = 0, a x 2 = 0 , a x 2 + c = 0 , ax^2 + c = 0, a x 2 + c = 0 , a x 2 + b x = 0. ax^2 + bx = 0. a x 2 + b x = 0.
a x 2 = 0 ax^2 = 0 a x 2 = 0 x = 0. x = 0. x = 0. a x 2 + c = 0 ax^2 + c = 0 a x 2 + c = 0 a x 2 + b x = 0 ax^2 + bx = 0 a x 2 + b x = 0 x ( a x + b ) = 0 , x(ax + b) = 0, x ( a x + b ) = 0 , 0 0 0 Дар ин дарс
Ман медонам , ки муодилаи квадратии нопурра чист ва се намуди он кадомҳоанд.Ман метавонам муодилаҳои a x 2 = 0 , ax^2 = 0, a x 2 = 0 , a x 2 + c = 0 ax^2 + c = 0 a x 2 + c = 0 a x 2 + b x = 0 ax^2 + bx = 0 a x 2 + b x = 0 Ман мефаҳмам , кай муодилаи нопурра ду реша, як реша дорад ё реша надорад. Такрор (2 дақиқа)
Ҳисоб кунед: 25 , \sqrt{25}, 25 , 0,49 , \sqrt{0{,}49}, 0 , 49 , 9 16 . \sqrt{\dfrac{9}{16}}. 16 9 .
Муодилаи x 2 = 7 x^2 = 7 x 2 = 7 x 2 = − 7 x^2 = -7 x 2 = − 7
Ҳосили зарби ду адад кай ба сифр баробар аст?
Ҷавобҳо
5 ; 5; 5 ; 0,7 ; 0{,}7; 0 , 7 ; 3 4 . \dfrac{3}{4}. 4 3 . x 2 = 7 x^2 = 7 x Вазъият барои андешаронӣ Муодилаи x 2 − 9 = 0 x^2 - 9 = 0 x 2 − 9 = 0 x 2 = 9. x^2 = 9. x 2 = 9. x 2 − 9 x = 0 x^2 - 9x = 0 x 2 − 9 x = 0 x x x
Ҳолати якум Агар c a > 0 \dfrac{c}{a} > 0 a c > 0 a a a c c c
Ҳолати дуюм Агар c a < 0 \dfrac{c}{a} < 0 a c < 0 a a a c c c − c a > 0 -\dfrac{c}{a} > 0 −
Дар хотир доред Муодилаи нопурра формулаи умумиро талаб намекунад: ё x 2 = − c a x^2 = -\dfrac{c}{a} x 2 = − a c − c a -\dfrac{c}{a} − a
Калимаҳои калидӣ муодилаи квадратии нопурра зарбкунандаи умумӣ ҳосили зарби сифр реша надорад
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро муодилаи x 2 + 9 = 0 x^2 + 9 = 0 x 2 + 9 = 0 x 2 − 9 = 0 x^2 - 9 = 0 x 2 −
Муодилаи a x 2 + c = 0 ax^2 + c = 0 a x 2 + c = 0 a a a c c c
Кадоме аз муодилаҳо реша надорад?
Як ҷавобро интихоб кунед A − 2 x 2 + 8 = 0 -2x^2 + 8 = 0 − 2 x 2 + 8 = 0
B 4 x 2 − 1 = 0 4x^2 - 1 = 0 4 x 2 − 1 = 0
C 3 x
D Ба ҳар як муодила решаҳояшро мувофиқ гузоред.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед 3 x 2 = 0 3x^2 = 0 3 x 2 = 0
→ … x = −2 ва x = 2 x = −4 ва x = 0 x = 0 (як реша) реша надорад 2 x 2 − 8 = 0 2x^2 - 8 = 0 2 x 2 − 8 = 0
→ … x = −2 ва x = 2 x = −4 ва x = 0 x = 0 (як реша) реша надорад 5 x 2 + 10 = 0 5x^2 + 10 = 0 5
→ … x = −2 ва x = 2 x = −4 ва x = 0 x = 0 (як реша) реша надорад → … x = −2 ва x = 2 x = −4 ва x = 0 x = 0 (як реша) реша надорад
−
a c
>
0 ;
− c a < 0 -\dfrac{c}{a} < 0 − a c < 0 x ( a x +
b ) =
0
ду реша: 0 0 0 − b a -\dfrac{b}{a} − a b
2
+
5
x
;
2
−
5
x
.
0
;
5
z
−
10 ) ;
.
x 2 = − c a x^2 = -\dfrac{c}{a} x 2 = − a c − c a > 0 ; -\dfrac{c}{a} > 0; − a c > 0 ; − c a < 0. -\dfrac{c}{a} < 0. − a c < 0. − a b .
2
=
7
− a c < 0
x 2 = − c a x^2 = -\dfrac{c}{a} x 2 = − a c a x 2 + c = 0 ax^2 + c = 0 a x 2 + c = 0 Масалан, x 2 + 1 = 0 , x^2 + 1 = 0, x 2 + 1 = 0 , − 3 x 2 − 5 = 0 , -3x^2 - 5 = 0, − 3 x 2 − 5 = 0 , 1 2 x 2 + 0,9 = 0 \dfrac{1}{2}x^2 + 0{,}9 = 0 2 1 x 2 + 0 , 9 = 0
a c
>
0
x 1 = − − c a , x 2 = − c a . x_1 = -\sqrt{-\dfrac{c}{a}}, \qquad x_2 = \sqrt{-\dfrac{c}{a}}. x 1 = − − a c , x 2 = − a c . Масалан, x 2 − 4 = 0 x^2 - 4 = 0 x 2 − 4 = 0 x 1 = − 2 x_1 = -2 x 1 = − 2 x 2 = 2 x_2 = 2 x 2 = 2 9 x 2 − 25 = 0 9x^2 - 25 = 0 9 x 2 − 25 = 0 x 1 = − 25 9 = − 5 3 x_1 = -\sqrt{\dfrac{25}{9}} = -\dfrac{5}{3} x 1 = − 9 25 x 2 = 5 3 x_2 = \dfrac{5}{3} x 2 = 3 5
c
a x 2 + b x = 0 ax^2 + bx = 0 a x 2 + b x = 0 9 =
0
x 2 − 5 x = 0 x^2 - 5x = 0 x 2 − 5 x = 0 Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман медонам, ки кадом муодилаи квадратӣ нопурра номида мешавад.
Ман се намуди муодилаҳои нопурраро ҳал карда метавонам.
Ман бе ҳал кардан фаҳмида метавонам, ки муодилаи a x 2 + c = 0 ax^2 + c = 0 a x 2 + c = 0
2 + 12 = 0 3x^2 + 12 = 0 3 x 2 + 12 = 0
x 2 + 12 x = 0 x^2 + 12x = 0 x 2 + 12 x = 0
x 2
+
10 =
0
x 2 + 4 x = 0 x^2 + 4x = 0 x 2 + 4 x = 0
=
− 3 5