25. Таърифи муодилаи квадратӣ - Алгебра — синфи 8
Муодилаи квадратӣ
Ҳар яке аз муодилаҳои
2 x 2 − 3 x + 1 = 0 , − x 2 + 4 x − 4 = 0 , 6 x 2 − 11 = 0 , 2 x 2 + 4 25 x = 0 2x^2 - 3x + 1 = 0, \qquad -x^2 + 4x - 4 = 0, \qquad 6x^2 - 11 = 0, \qquad 2x^2 + \dfrac{4}{25}x = 0 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 , − x 2 навбатӣ 26. Муодилаи квадратии нопурра 1 соат
+
4 x −
4 =
0 , 6 x 2 −
11 =
0 , 2 x 2 +
25 4 x =
0
намуди a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 x x x a , a, a , b , b, b , c c c a = 2 , a = 2, a = 2 , b = − 3 , b = -3, b = − 3 , c = 1 ; c = 1; c = 1 ; a = − 1 , a = -1, a = − 1 , b = 4 , b = 4, b = 4 , c = − 4 ; c = -4; c = − 4 ; a = 6 , a = 6, a = 6 , b = 0 , b = 0, b = 0 , c = − 11 ; c = -11; c = − 11 ; a = 2 , a = 2, a = 2 , b = 4 25 , b = \dfrac{4}{25}, b = 25 4 , c = 0. c = 0. c = 0. квадратӣ меноманд.
Муодилаҳои квадратӣ дар амалия хеле зиёд вомехӯранд: онҳо барои ҳалли масъалаҳои физика, геометрия ва иқтисод лозиманд. Мо ҳоло омӯзиши онҳоро оғоз мекунем.
Ададҳои a , a, a , b b b c c c коэффитсиентҳои муодила меноманд: a a a коэффитсиенти якум , b b b коэффитсиенти дуюм , c c c узви озод . Масалан, дар муодилаи 5 x 2 − x + 4 = 0 5x^2 - x + 4 = 0 5 x 2 − x + 4 = 0 5 , 5, 5 , − 1 , -1, − 1 , 4 4 4 2 x 2 − x + 3 = 0 ; 2x^2 - x + 3 = 0; 2 x 2 − x + 3 = 0 ; x 2 − 36 = 0. x^2 - 36 = 0. x 2 − 36 = 0.
Шарти a ≠ 0 a \ne 0 a = 0 a = 0 a = 0 a = 0 a x 2 ax^2 a x 2 b b b c c c
Муодилаи квадратиро муодилаи дараҷаи дуюм ҳам меноманд: қисми чапи он нисбат ба x x x a x + b = 0 ax + b = 0 a x + b = 0
Решаи муодила — чунин қимати номаълум аст, ки барояш муодила ба баробарии дуруст табдил меёбад. Масалан, адади 2 2 2 4 x 2 − 5 x − 6 = 0 4x^2 - 5x - 6 = 0 4 x 2 − 5 x − 6 = 0 x = 2 x = 2 x = 2 4 ⋅ 2 2 − 5 ⋅ 2 − 6 = 0 4 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 - 6 = 0 4 ⋅ 2 2 − 5 ⋅ 2 − 6 = 0 16 − 10 − 6 = 0. 16 - 10 - 6 = 0. 16 − 10 − 6 = 0.
Табдилҳои баробарқувва Дар синфи 7 ду хосияти асосии муодилаҳо омӯхта шуда буд. Онҳо баробарқуввагии муодиларо нигоҳ медоранд, яъне решаҳо тағйир намеёбанд:
Ба инҳо ислоҳи аъзои монанд, кушодани қавсҳо ва ба зарбкунандаҳо ҷудо кардани қисми муодила низ дохил мешаванд. Мо дар ҳалли муодилаҳои квадратӣ онҳоро пайваста истифода мебарем.
3 x 2 + 4 x = x 2 + 5 x + 6 3x^2 + 4x = x^2 + 5x + 6 3 x 2 + 4 x = x 2 + 5 x + 6 баъди ба тарафи чап гузаронидани ҳамаи аъзо ва ислоҳи аъзои монанд ба муодилаи квадратии 2 x 2 − x − 6 = 0 2x^2 - x - 6 = 0 2 x 2 − x − 6 = 0 a = 2 , a = 2, a = 2 , b = − 1 , b = -1, b = − 1 , c = − 6 c = -6 c = − 6
Мисоли 1. Барои кадом қимати m m m x 3 m + 5 − 3 x + 2 = 0 x^{3m+5} - 3x + 2 = 0 x 3 m + 5 − 3 x + 2 = 0
Барои квадратӣ будан бояд баландтарин дараҷаи x x x 2 2 2 3 m + 5 = 2. 3m + 5 = 2. 3 m + 5 = 2. 3 m = − 3 , 3m = -3, 3 m = − 3 , m = − 1. m = -1. m = − 1. m = − 1 m = -1 m = − 1 x 2 − 3 x + 2 = 0. x^2 - 3x + 2 = 0. x 2 − 3 x + 2 = 0.
Мисоли 2. Чунин қимати k k k 3 x 2 − x k − 2 + 1 = 0 3x^2 - x^{k-2} + 1 = 0 3 x 2 − x k − 2 + 1 = 0
Дараҷаи x k − 2 x^{k-2} x k − 2 0 , 0, 0 , 1 1 1 2 2 2 k − 2 ∈ { 0 ; 1 ; 2 } , k - 2 \in \{0; 1; 2\}, k − 2 ∈ { 0 ; 1 ; 2 } , k = 2 , k = 2, k = 2 , 3 3 3 4. 4. 4.
k = 2 k = 2 k = 2 x 0 = 1 , x^0 = 1, x 0 = 1 , 3 x 2 − 1 + 1 = 0 , 3x^2 - 1 + 1 = 0, 3 x 2 − 1 + 1 = 0 , 3 x 2 = 0 3x^2 = 0 3 x 2 = 0 k = 3 k = 3 k = 3 3 x 2 − x + 1 = 0 3x^2 - x + 1 = 0 3 x 2 − x + 1 = 0 k = 4 k = 4 k = 4 3 x 2 − x 2 + 1 = 0 , 3x^2 - x^2 + 1 = 0, 3 x 2 − x 2 + 1 = 0 , 2 x 2 + 1 = 0 Дар се ҳолат ҳам a ≠ 0 , a \ne 0, a = 0 ,
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Оё муодилаи зерин квадратӣ аст:
а) x 2 + 1 = 0 ; x^2 + 1 = 0; x 2 + 1 = 0 ;
б) 3 x 2 − 7 x + 2 = 0 ; 3x^2 - 7x + 2 = 0; 3 x 2 − 7 x + 2 = 0 ;
в) 4 − 2 x = 0 ; 4 - 2x = 0; 4 − 2 x = 0 ;
г) 3,2 x 2 − 2 x 4 + 0,8 = 0 ; 3{,}2x^2 - 2x^4 + 0{,}8 = 0; 3 , 2 x 2 − 2 x 4 + 0 , 8 = 0 ;
д) 4 x 2 − 3 = 0 ; 4x^2 - 3 = 0; 4 x 2 − 3 = 0 ;
е) − x 2 = 0 ; -x^2 = 0; − x 2 = 0 ;
ж) x − 1 4 = 0 ; x - \dfrac{1}{4} = 0; x − 4 1 = 0 ;
з) 2 x 3 − 3 = 0 ; 2x^3 - 3 = 0; 2 x 3 − 3 = 0 ;
и) x 2 + x = 0 ? x^2 + x = 0? x 2 + x = 0 ?
2. Коэффитсиентҳои муодилаи квадратиро нишон диҳед:
а) 5 x 2 − 8 x + 3 = 0 ; 5x^2 - 8x + 3 = 0; 5 x 2 − 8 x + 3 = 0 ;
б) 2 3 x 2 − 4 = 0 ; \dfrac{2}{3}x^2 - 4 = 0; 3 2 x 2 − 4 = 0 ;
в) 3 x 2 + 5 x = 0 ; 3x^2 + 5x = 0; 3 x 2 + 5 x = 0 ;
г) − 2 x 2 − 5 = 0 ; -2x^2 - 5 = 0; − 2 x 2 − 5 = 0 ;
д) x 2 − x − 1 = 0 ; x^2 - x - 1 = 0; x 2 − x − 1 = 0 ;
е) − 3 x 2 + 2 x − 7 = 0. -3x^2 + 2x - 7 = 0. − 3 x 2 + 2 x − 7 = 0.
3. Кадоме аз ададҳои − 3 , -3, − 3 , 0 , 0, 0 , 1 , 1, 1 , 2 2 2
а) x 2 − 9 = 0 ; x^2 - 9 = 0; x 2 − 9 = 0 ;
б) x 2 − x = 0 ; x^2 - x = 0; x 2 − x = 0 ;
в) x 2 − 3 x + 2 = 0 ; x^2 - 3x + 2 = 0; x 2 − 3 x + 2 = 0 ;
г) x 2 − 5 x − 4 = 0 ; x^2 - 5x - 4 = 0; x 2 − 5 x − 4 = 0 ;
д) x 2 − 5 x + 4 = 0 ; x^2 - 5x + 4 = 0; x 2 − 5 x + 4 = 0 ;
е) x 2 − 4 = 0 ? x^2 - 4 = 0? x 2 − 4 = 0 ?
4. Муодиларо бо муодилаи ба он баробарқувваи квадратӣ иваз кунед:
а) ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 2 x ( x + 2 ) ; (x - 1)(x + 1) = 2x(x + 2); ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 2 x ( x + 2 ) ;
б) x 2 + ( x − 1 ) ( x − 2 ) = x ; x^2 + (x - 1)(x - 2) = x; x 2 + ( x − 1 ) ( x − 2 ) = x ;
в) − x ( x + 3 ) = 2 ( x − 1 ) + 5 ; -x(x + 3) = 2(x - 1) + 5; − x ( x + 3 ) = 2 ( x − 1 ) + 5 ;
г) 2 ( x 2 − 3 x − 1 ) = 5 x ( x + 2 ) ; 2(x^2 - 3x - 1) = 5x(x + 2); 2 ( x 2 − 3 x − 1 ) = 5 x ( x + 2 ) ;
д) ( 2 x − 3 ) 2 = ( x + 2 ) ( x − 4 ) ; (2x - 3)^2 = (x + 2)(x - 4); ( 2 x − 3 ) 2 = ( x + 2 ) ( x − 4 ) ;
е) − 2 x 2 − 5 ( x − 1 ) = x 2 + 3 x . -2x^2 - 5(x - 1) = x^2 + 3x. − 2 x 2 − 5 ( x − 1 ) = x 2 + 3 x .
Дар хона 5. Аз рӯйи коэффитсиентҳои додашуда муодилаи квадратии a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0
а) a = 2 , a = 2, a = 2 , b = 3 , b = 3, b = 3 , c = 4 ; c = 4; c = 4 ;
б) a = − 2 , a = -2, a = − 2 , b = 5 , b = 5, b = 5 , c = 1 ; c = 1; c = 1 ;
в) a = − 1 , a = -1, a = − 1 , b = 0 , b = 0, b = 0 , c = 9 ; c = 9; c = 9 ;
г) a = 1 , a = 1, a = 1 , b = 0 , b = 0, b = 0 , c = 0. c = 0. c = 0.
Такрор
а) y = ( 1 − 2 ) x ; y = (1 - \sqrt{2})x; y = ( 1 − 2 ) x ;
б) y = ( 8 − 2,1 ) x y = (\sqrt{8} - 2{,}1)x y = ( 8 − 2 , 1 ) x
дар кадом чорякҳои координатӣ ҷойгир аст?
7. Қимати ифодаи 4 + 4 x + x 2 x + 2 + x \dfrac{4 + 4x + x^2}{x + 2} + \sqrt{x} x + 2 4 + 4 x + x 2 + x x = 0,25 x = 0{,}25 x = 0 , 25 x = 36 x = 36 x = 36
8. Нишон диҳед, ки системаҳои
{ 2 x + 7 y = 8 , 5 x − 3 y = − 21 ва { 7 x + 4 y = − 13 , 2 x + 7 y = 8 \begin{cases} 2x + 7y = 8, \\ 5x - 3y = -21 \end{cases} \qquad \text{ва} \qquad \begin{cases} 7x + 4y = -13, \\ 2x + 7y = 8 \end{cases} { 2 x + 7 y = 8 , 5 x − 3 y = − 21 ва { 7 x + 4 y = − 13 , 2 x + 7 y = 8 9. Даравгарон бояд гандумзорро дар 18 рӯз медаравиданд. Ҳар рӯз аз супориш 1,4 1{,}4 1 , 4 7,4 7{,}4 7 , 4
10. Сурати касри 2 + 1 3 \dfrac{\sqrt{2} + 1}{3} 3 2 + 1
★ Барои ҳавасмандон 11. Барои кадом қимати k k k
а) 1 k x 2 − 2 x + 3 = 0 ; \dfrac{1}{k}x^2 - 2x + 3 = 0; k 1 x 2 − 2 x + 3 = 0 ;
б) k x 2 − x k + 1 + 5 = 0 kx^2 - x^{k+1} + 5 = 0 k x 2 − x k + 1 + 5 = 0
Нишондод Дар банди б) ду шарт бояд ҳамзамон иҷро шавад: дараҷаи x k + 1 x^{k+1} x k + 1 0 , 0, 0 , 1 , 1, 1 , 2 2 2 x 2 x^2 x 2
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–10 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор»; машқи 11 — барои ҳавасмандон.
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 25 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Муодилаи квадратӣ: a x 2 + b x + c = 0 , ax^2 + bx + c = 0, a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 ; a \ne 0; a = 0 ; a a a b b b c c c
Решаи муодила — қимати номаълум, ки барояш муодила баробарии дуруст мешавад; барои санҷиш қимати онро ба муодила мегузорем.
Муодиларо бо хосиятҳои 1°–2° ба намуди a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0
Дар ин дарс
Ман медонам таърифи муодилаи квадратиро ва коэффитсиентҳои онро: a , a, a , b , b, b , c . c. c . Ман метавонам муодиларо ба намуди a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 a , a, a , b , b, b , c c c Ман метавонам санҷам, ки адади додашуда решаи муодилаи квадратӣ ҳаст ё не. Такрор (2 дақиқа)
Муодилаи 3 x − 5 = 7 3x - 5 = 7 3 x − 5 = 7
Қавсҳоро кушоед ва аъзои монандро ислоҳ кунед: ( x + 2 ) ( x − 3 ) . (x + 2)(x - 3). ( x + 2 ) ( x − 3 ) .
Оё адади 2 2 2 x − 2 = 0 x - 2 = 0 x − 2 = 0
Ҷавобҳо
3 x = 12 , 3x = 12, 3 x = 12 , x = 4. x = 4. x = 4. x 2 − 3 x + 2 x − 6 = x 2 − x − 6. x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6. x 2 − 3 x + 2 x Вазъият барои андешаронӣ Тарафҳои як кабудизор x x x x + 3 x + 3 x + 3 40 м 2 . 40\ \text{м}^2. 40 м 2 . x ( x + 3 ) = 40. x(x + 3) = 40. x ( x + 3 ) = 40.
Таъриф Муодилаи a x 2 + b x + c = 0 , ax^2 + bx + c = 0, a x 2 + b x + c = 0 , x x x
Хосият 1°. Узви дилхоҳи муодиларо аз як қисм ба қисми дигар бо тағйир додани аломат гузаронидан мумкин аст.
2°. Ҳар ду қисми муодиларо ба адади дилхоҳи ғайрисифр зарб ё тақсим кардан мумкин аст.
Оё медонед? Баъзан муодилае, ки «квадратӣ менамояд», пас аз соддакунӣ хаттӣ мешавад. Масалан, ( x − 1 ) ( x + 2 ) = x 2 (x - 1)(x + 2) = x^2 ( x − 1 ) ( x + 2 ) = x 2 x 2 + x − 2 = x 2 x^2 + x - 2 = x^2
Дар хотир доред Муодилаи квадратӣ: a x 2 + b x + c = 0 , ax^2 + bx + c = 0, a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0. a \ne 0. a = 0.
Калимаҳои калидӣ муодилаи квадратӣ коэффитсиент узви озод реша баробарқуввагӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро дар таърифи муодилаи квадратӣ a ≠ 0 a \ne 0 a = 0
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман таърифи муодилаи квадратӣ ва решаи онро баён карда метавонам.
Ман коэффитсиентҳои муодилаи квадратиро нишон дода метавонам.
Ман медонам, ки хосиятҳои асосии муодилаҳо кадомҳоанд.
Муодилаи x 2 = 0 x^2 = 0 x 2 = 0 b x bx b x
Кадом муодилаҳо квадратӣ мебошанд? Ҳамаи ҷавобҳои дурустро интихоб кунед.
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A x 2 + x = 0 x^2 + x = 0 x 2 + x = 0
B x 3 − x 2 + 1 = 0 x^3 - x^2 + 1 = 0 x 3 − x 2 +
C D E Муодилаи 5 x 2 + 2 x = 3 x 2 − x + 4 5x^2 + 2x = 3x^2 - x + 4 5 x 2 + 2 x = 3 x 2 − x + 4 a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
2x^2 + 1 = 0 2 x 2 + 1 = 0
−
6 =
x 2 −
x −
6.
a , a, a ,
муодилаи квадратӣ
x 2 +
x −
2 =
x 2
1 =
0
2 x 2 − 7 = 0 2x^2 - 7 = 0 2 x 2 − 7 = 0
( x − 1 ) ( x + 2 ) = x 2 (x - 1)(x + 2) = x^2 ( x − 1 ) ( x + 2 ) = x 2
x
2
+
b x +
c =
0
2 x 2 + x − 4 = 0 2x^2 + x - 4 = 0 2 x 2 + x − 4 = 0
2 x 2 + 3 x − 4 = 0 2x^2 + 3x - 4 = 0 2 x 2 + 3 x − 4 = 0
8 x 2 + x + 4 = 0 8x^2 + x + 4 = 0 8 x 2 + x + 4 = 0
2 x 2 − 3 x + 4 = 0 2x^2 - 3x + 4 = 0 2 x 2 − 3 x + 4 = 0