28 · 1/3. Дискриминант ва формулаи решаҳо - Алгебра — синфи 83. Муодилаи квадратӣ
28 · 1/3. Дискриминант ва формулаи решаҳо
1 соат
- Назария
- Дарси 4 аз 20
- Хониш: 12 дақиқа
- Саволҳо: 5
Муодилаи квадратии дилхоҳи
ax2+bx+c=0,a=0(1)
-ро бо ҷудо кардани квадрати пурра ҳал мекунем — аммо ҳоло бо ҳарфҳо.
Муодилаи (2) ба муодилаи (1) баробарқувва аст. Шумораи решаҳои он аз аломати касри вобаста аст. Азбаски аст, — адади мусбат. Бинобар ин аломати ин каср бо аломати ифодаи якхела аст.
навбатӣ28 · 2/3. Формула барои коэффитсиенти дуюми ҷуфт
1 соат
4a2b2−4ac («Дискриминант» — калимаи лотинӣ буда, маънояш «фарқкунанда» аст: бо донистани аломати D мавҷудият ва миқдори решаҳоро фарқ мекунем.)
Се ҳолати имконпазир аст.
1) D>0. Он гоҳ D маъно дорад. Муодилаи (2)-ро чунин менависем:
(x+2ab)2=(2aD)2, аз он: x+2ab=−2aD ё x+2ab=2aD Пас муодилаи (1) ду реша дорад:
x1=2a−b−D,x2=2a−b+D. Ин ду навишти мухтасар қабул шудааст:
2) D=0. Муодилаи (2) чунин мешавад: (x+2ab)2=0. Аз ин ҷо x+2ab=0, яъне x=−2ab. Муодилаи (1) як реша дорад. Формулаи (3) дар ин ҳолат низ кор мекунад: x1,2=2a−b±0 яъне x1=x2=−2ab.
3) D<0. Тарафи рости (2) манфӣ аст, чунки D<0 ва 4a2>0. Квадрати адад манфӣ намешавад, пас муодилаи (2) ва муодилаи баробарқуввааш (1) реша надоранд.
Мисоли 1. Муодилаи 3x2−10x+3=0-ро ҳал мекунем.
Дар ин муодила a=3, b=−10, c=3. Аввал дискриминантро меёбем: D=(−10)2−4⋅3⋅3=100−36=64>0. Мувофиқи формулаи (3):
x1,2=2⋅3−(−10)±64=610±8,x1=610−8=31,x2=610+8=3. Ҷавоб: x1=31; x2=3.
Мисоли 2. Решаҳои муодилаи 4x2+12x+9=0-ро меёбем.
Дар ин ҷо a=4, b=12, c=9, D=122−4⋅4⋅9=144−144=0. Муодила як реша дорад:
x=2⋅4−12±0=8−12=−1,5. Мисоли 3. Муодилаи 5x2−11x+7=0-ро ҳал мекунем.
Дар ин ҷо a=5, b=−11, c=7, D=(−11)2−4⋅5⋅7=121−140=−19<0. Азбаски −19 маъно надорад, муодила реша надорад.
Ҷавоб: муодила реша надорад.
Озмоишгоҳи муодилаи квадратӣсанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Муодиларо ҳал накарда, муайян кунед, ки вай реша дорад ё не:
- а) 2x2+5x−7=0;
- б) 3x2−7x+11=0;
- в) 4x2+4x+1=0;
- г) t2−2t+2=0.
2. Муодиларо ҳал накарда, муайян кунед, ки вай дуто решаи гуногун дорад ё не:
- а) 5x2+7x−8=0;
- б) 7x2−6x+2=0;
- в) 9x2+12x+4=0;
- г) 6x2+13x+6=0.
3. Муодилаи квадратиро ҳал кунед:
- а) 3x2−7x+4=0;
- б) y2−10y−24=0;
- в) p2+p−90=0;
- г) 2x2−5x+2=0;
- д) 2x2−7x−4=0;
- е) 3x2−10x+3=0;
- ж) 5v2−8v+3=0;
- з) 4t2−4t+1=0.
- а) 9x2−6x+1=0;
- б) 7y2+7y+5=0;
- в) 3p2+9p+10=0;
- г) 18x2−15x+2=0;
- д) 50x2−35x+6=0;
- е) 12m2+36m+27=0;
- ж) 45t2+60t+20=0;
- з) x2−6x+8=0.
Дар хона
5. Муодиларо ҳал накарда, муайян кунед, ки вай як реша (дуто решаи якхела) дорад ё не:
- а) 16x2−24x+9=0;
- б) x2−5x+6=0;
- в) 9x2+30x+25=0;
- г) 9x2−3x+0,25=0.
6. Решаҳои муодиларо ёбед:
- а) 4x2+x−33=0;
- б) 2x2+x+1,4=0;
- в) −y2+3y+5=0;
- г) 18+3x2−x=0;
- д) 16x+12x2−3=0;
- е) 5−14x+8x2=0;
- ж) 1+36y2−12y=0;
- з) 5t−2+12t2=0.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 5–6 аз қисми «Дар хона». Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 28 дар саҳифаи сеюм аст.
- Як муодилаи дилхоҳро аз машқи 3 бо тарзи ҷудо кардани квадрати пурра низ ҳал кунед ва натиҷаро муқоиса намоед.
Дар ин дарс
- Ман медонам дискриминанти муодилаи квадратӣ чист ва бо кадом формула ҳисоб мешавад.
- Ман метавонам аз рӯйи аломати D шумораи решаҳоро муайян кунам.
- Ман метавонам муодилаи квадратиро бо формулаи решаҳо x1,2=2a−b±D ҳал кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Квадрати пурраро ҷудо кунед: x2+6x+5.
- Муодилаи ax+b=0-ро (a=0) ҳал кунед. Формулаи он чӣ гуна аст?
- Муодилаи x2=7 чанд реша дорад? x2=0 чӣ? x2= чӣ?
Ҷавобҳо
- x2+6x+9−9+5=(x+3)2 2) 3) Ду реша (); як реша (); реша надорад.
Вазъият барои андешаронӣТарзи ҷудо кардани квадрати пурра ҳамеша кор мекунад, вале баъзан хеле кӯшиш мехоҳад (масалан, 3x2−10x+3=0 ё 5x2−11x+7=0). Барои муодилаи хаттӣ ax+b=0 формулаи тайёри x=−ab ҳаст. Оё метавонем ҳамин амалро бо ҳарфҳо иҷро карда, формулаи решаҳоро барои ҳар гуна муодилаи квадратӣ ҳосил кунем?
- Ҳар ду қисми муодиларо ба a=0 тақсим мекунем (хосияти 2°): x2+abx+ac=0.
- Дар қисми чап квадрати пурраро ҷудо мекунем. Аъзои миёна abx=2⋅x⋅2ab аст, пас -ро илова ва тарҳ мекунем:
- Се аъзои аввал квадрати дуазваи x+2ab мебошанд; ac ва -ро ба тарафи рост мегузаронем:
- Тарафи ростро ба махраҷи умумӣ меорем: 4a2b2− Ҳамин тавр:
ТаърифИфодаи b2−4ac дискриминанти муодилаи квадратии ax2+ ном дорад ва бо ҳарфи ишора мешавад:
Формулаи решаҳои муодилаи квадратӣx1,2=2a−b± ХулосаМуодилаи квадратӣ вобаста ба аломати дискриминант: ду реша дорад (D>0), як реша дорад (D=0) ё реша надорад (D<0).
ЭзоҳФормулаи (3) ҳангоми D>0 ҳосил шуд ва ду реша медиҳад. Дар амал онро барои ҳар гуна муодилаи квадратӣ татбиқ мекунанд: ҳангоми D=0 ифодаи зери решаи квадратӣ сифр аст ва як реша ҳосил мешавад; ҳангоми D<0 ифодаи зери решаи квадратӣ манфӣ аст, формула маъно надорад — муодила реша надорад. Аз ин рӯ аввал D-ро ҳисоб мекунем, баъд қарор мегирем.
Дар хотир доред
- Муодиларо ба намуди ax2+bx+c=0 оред ва a, b, -ро бо аломаташон нависед. 2) -ро ҳисоб кунед. 3) — реша нест; — —
Агар D=0 бошад, формулаи решаҳо ҳамоно кор мекунад ва x=−2ab-ро медиҳад.
Қадамҳои ҳосил кардани формулаи решаҳоро ба тартиби дуруст гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед1Аъзои озодро ба рост мегузаронем ва ба махраҷи умумӣ меорем: (x+2ab)2=
2
3
4
Ба ҳар муодила шумораи решаҳояшро мувофиқ гузоред (бо D).
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедx2−2x+3=0
→x
→→
.
=
−2ab,
−
7
−
4.
x=−ab. (2ab)2
x2+2x⋅2ab+(2ab)2−(2ab)2+ac=0. (2ab)2
(x+2ab)2=(2ab)2−ac. 4a2
4ac
=
4a2b2−4ac.
(x+2ab)2=4a2b2−4ac. b
x
+
c=
0
D=b2−4ac.
=
c
D=b2−4ac x=−2ab; x1,2=2a−b±D. 4a2
b2−4ac
.
Квадрати пурраро ҷудо мекунем: (x+2ab)2−4a2b2+ac=0.
Муодиларо ба a тақсим мекунем: x2+abx+ac=0.
Аз аломати D=b2−4ac шумораи решаҳоро мефаҳмем; барои D≥0: x=2a−b±D.
2
−
6x+
9=
0
x2+3x−4=0