27. Ҳалли муодила бо ҷудо кардани квадрати пурра - Алгебра — синфи 8
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 8 3. Муодилаи квадратӣ
27. Ҳалли муодила бо ҷудо кардани квадрати пурра 1 соат
Муодилаи квадратии пурра
Муодилаи квадратии a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 a , a, a , b b b c c c
навбатӣ 28 · 1/3. Дискриминант ва формулаи решаҳо 1 соат
муодилаи квадратии пурра
ҷудо кардани квадрати пурра
Мисоли 1. Муодилаи x 2 − 4 x − 5 = 0 x^2 - 4x - 5 = 0 x 2 − 4 x − 5 = 0
Қисми чапро ҳамчун ҳосили ҷамъи ду ифода тасвир мекунем, ки яке аз онҳо квадрати дуазва аст:
x 2 − 4 x − 5 = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2 2 − 2 2 − 5 = ( x − 2 ) 2 − 9. x^2 - 4x - 5 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2 - 5 = (x - 2)^2 - 9. x 2 − 4 x − 5 = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2 2 − 2 2 − 5 = ( x − 2 ) 2 − 9. Ҳамин тавр, муодилаи аввала ба муодилаи ( x − 2 ) 2 − 9 = 0 , (x - 2)^2 - 9 = 0, ( x − 2 ) 2 − 9 = 0 , ( x − 2 ) 2 = 9 (x - 2)^2 = 9 ( x − 2 ) 2 = 9 x − 2 = − 9 = − 3 x - 2 = -\sqrt{9} = -3 x − 2 = − 9 = − 3 x − 2 = 9 = 3 x - 2 = \sqrt{9} = 3 x − 2 = 9 = 3 x 1 = 2 − 3 = − 1 , x_1 = 2 - 3 = -1, x 1 = 2 − 3 = − 1 , x 2 = 2 + 3 = 5. x_2 = 2 + 3 = 5. x 2 = 2 + 3 = 5.
Ҷавоб: x 1 = − 1 ; x_1 = -1; x 1 = − 1 ; x 2 = 5. x_2 = 5. x 2 = 5.
Мисоли 2. Муодилаи x 2 + 8 x − 9 = 0 x^2 + 8x - 9 = 0 x 2 + 8 x − 9 = 0
Ифодаи x 2 + 8 x = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 4 x^2 + 8x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 x 2 + 8 x = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 4 4 2 = 16 4^2 = 16 4 2 = 16 x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 4 + 16 x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 16 x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 4 + 16 x + 4 x + 4 x + 4 16 16 16
x 2 + 8 x + 16 − 16 − 9 = 0 ё x 2 + 8 x + 16 − 25 = 0. x^2 + 8x + 16 - 16 - 9 = 0 \qquad \text{ё} \qquad x^2 + 8x + 16 - 25 = 0. x 2 + 8 x + 16 − 16 − 9 = 0 ё x 2 + 8 x + 16 − 25 = 0. Муодилаи охиринро табдил дода, ( x + 4 ) 2 = 25 (x + 4)^2 = 25 ( x + 4 ) 2 = 25 x + 4 = − 5 x + 4 = -5 x + 4 = − 5 x + 4 = 5 , x + 4 = 5, x + 4 = 5 , x 1 = − 4 − 5 = − 9 , x_1 = -4 - 5 = -9, x 1 = − 4 − 5 = − 9 , x 2 = 5 − 4 = 1. x_2 = 5 - 4 = 1. x 2 = 5 − 4 = 1.
Ҷавоб: x 1 = − 9 ; x_1 = -9; x 1 = − 9 ; x 2 = 1. x_2 = 1. x 2 = 1.
Расм нишон медиҳад, ки чаро ҳамин адади 16 16 16 x 2 , x^2, x 2 , 4 x 4x 4 x 4 x 4x 4 x 4 ⋅ 4 = 16 4 \cdot 4 = 16 4 ⋅ 4 = 16
Мисоли 3. Муодилаи x 2 − 7 x + 5 = 0 x^2 - 7x + 5 = 0 x 2 − 7 x + 5 = 0
Табдилоти зарурӣ мегузаронем: x 2 − 7 x = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3,5 , x^2 - 7x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3{,}5, x 2 − 7 x = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 , 5 , 3,5 2 3{,}5^2 3 , 5 2
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3,5 + 3,5 2 − 3,5 2 + 5 = 0 , ( x − 3,5 ) 2 − 12,25 + 5 = 0 , ( x − 3,5 ) 2 = 7,25. \begin{aligned} x^2 - 2 \cdot x \cdot 3{,}5 + 3{,}5^2 - 3{,}5^2 + 5 &= 0, \\ (x - 3{,}5)^2 - 12{,}25 + 5 &= 0, \\ (x - 3{,}5)^2 &= 7{,}25. \end{aligned} x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 , 5 + 3 , 5 2 − 3 , 5 2 + 5 ( x − 3 , 5 ) 2 − 12 , 25 + 5 ( x − 3 , 5 ) 2 = 0 , = 0 , = 7 , 25. Аз ин ҷо x − 3,5 = − 7,25 x - 3{,}5 = -\sqrt{7{,}25} x − 3 , 5 = − 7 , 25 x − 3,5 = 7,25 . x - 3{,}5 = \sqrt{7{,}25}. x − 3 , 5 = 7 , 25 . 7,25 = 29 4 , 7{,}25 = \dfrac{29}{4}, 7 , 25 = 4 29 , 7,25 = 29 2 \sqrt{7{,}25} = \dfrac{\sqrt{29}}{2} 7 , 25 = 2 29
x 1 = 3,5 − 29 2 = 7 − 29 2 , x 2 = 3,5 + 29 2 = 7 + 29 2 . x_1 = 3{,}5 - \dfrac{\sqrt{29}}{2} = \dfrac{7 - \sqrt{29}}{2}, \qquad x_2 = 3{,}5 + \dfrac{\sqrt{29}}{2} = \dfrac{7 + \sqrt{29}}{2}. x 1 = 3 , 5 − 2 29 = 2 7 − 29 , x 2 = 3 , 5 + 2 29 = 2 7 + 29 . Ҷавоб: x 1 = 7 − 29 2 ; x_1 = \dfrac{7 - \sqrt{29}}{2}; x 1 = 2 7 − 29 ; x 2 = 7 + 29 2 . x_2 = \dfrac{7 + \sqrt{29}}{2}. x 2 = 2 7 + 29
Мисоли 4. Решаҳои муодилаи x 2 − 2 x + 5 = 0 x^2 - 2x + 5 = 0 x 2 − 2 x + 5 = 0
x 2 − 2 x + 1 − 1 + 5 = 0 , ( x − 1 ) 2 + 4 = 0 , ( x − 1 ) 2 = − 4. \begin{aligned} x^2 - 2x + 1 - 1 + 5 &= 0, \\ (x - 1)^2 + 4 &= 0, \\ (x - 1)^2 &= -4. \end{aligned} x 2 − 2 x + 1 − 1 + 5 ( x − 1 ) 2 + 4 ( x − 1 ) 2 = 0 , = 0 , = − 4. Квадрати адад манфӣ намешавад, пас муодила реша надорад.
Ҷавоб: муодила реша надорад.
Мисоли 5. Решаҳои муодилаи 3 x 2 − 7 x + 2 = 0 3x^2 - 7x + 2 = 0 3 x 2 − 7 x + 2 = 0
Дар ин муодила коэффитсиенти якум 3 3 3 1 1 1 3 3 3 x 2 − 7 3 x + 2 3 = 0 x^2 - \dfrac{7}{3}x + \dfrac{2}{3} = 0 x 2 − 3 7 x + 3 2 = 0 7 3 x = 2 ⋅ x ⋅ 7 6 \dfrac{7}{3}x = 2 \cdot x \cdot \dfrac{7}{6} 3 7 x = 2 ⋅ x ⋅ 6 7
x 2 − 2 x ⋅ 7 6 + ( 7 6 ) 2 − ( 7 6 ) 2 + 2 3 = 0 , ( x − 7 6 ) 2 − 49 36 + 2 3 = 0 , ( x − 7 6 ) 2 = 25 36 . \begin{aligned} x^2 - 2x \cdot \dfrac{7}{6} + \left(\dfrac{7}{6}\right)^2 - \left(\dfrac{7}{6}\right)^2 + \dfrac{2}{3} &= 0, \\ \left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 - \dfrac{49}{36} + \dfrac{2}{3} &= 0, \\ \left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 &= \dfrac{25}{36}. \end{aligned} x 2 − 2 x ⋅ 6 7 + ( 6 7 ) 2 − ( 6 7 ) 2 + 3 2 ( x − 6 7 ) 2 − 36 49 + 3 ( x − 6 7 ) 2 = 0 , = 0 , = 36 25 . Аз ин ҷо x − 7 6 = − 5 6 x - \dfrac{7}{6} = -\dfrac{5}{6} x − 6 7 = − 6 5 x − 7 6 = 5 6 , x - \dfrac{7}{6} = \dfrac{5}{6}, x − 6 7 = 6 5 , x 1 = 1 3 , x_1 = \dfrac{1}{3}, x 1 = 3 1 , x 2 = 2. x_2 = 2. x 2 = 2.
Ҷавоб: x 1 = 1 3 ; x_1 = \dfrac{1}{3}; x 1 = 3 1 ; x 2 = 2. x_2 = 2. x 2 = 2.
Ҳамин тавр, қадамҳо чунинанд: (1) агар a ≠ 1 a \ne 1 a = 1 a a a x x x x x x ( x + m ) 2 = n (x + m)^2 = n ( x + m ) 2 = n n < 0 n < 0 n < 0 n ≥ 0 n \ge 0 n ≥ 0 x = − m ± n . x = -m \pm \sqrt{n}. x = − m ± n .
Квадрати пурра аз майдонҳо санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Чунин адади m m m
а) x 2 + 4 x + m ; x^2 + 4x + m; x 2 + 4 x + m ;
б) x 2 + 15 x + m ; x^2 + 15x + m; x 2 + 15 x + m ;
в) x 2 − m x + 9 ; x^2 - mx + 9; x 2 − m x + 9 ;
г) x 2 + m x + 4 ; x^2 + mx + 4; x 2 + m x + 4 ;
д) x 2 + m x + 1 4 ; x^2 + mx + \dfrac{1}{4}; x 2 + m x + 4 1 ;
е) x 2 − 0,5 x + m . x^2 - 0{,}5x + m. x 2 − 0 , 5 x + m .
2. Аз ифода квадрати пурраро ҷудо кунед:
а) x 2 + 2 x + 5 ; x^2 + 2x + 5; x 2 + 2 x + 5 ;
б) x 2 + 8 x − 7 ; x^2 + 8x - 7; x 2 + 8 x − 7 ;
в) 5 x 2 − 4 x + 3 ; 5x^2 - 4x + 3; 5 x 2 − 4 x + 3 ;
г) x 2 − x 2 + 1. x^2 - \dfrac{x}{2} + 1. x 2 − 2 x + 1.
а) x 2 + 10 x + 25 = 0 ; x^2 + 10x + 25 = 0; x 2 + 10 x + 25 = 0 ;
б) x 2 − x + 1 4 = 0. x^2 - x + \dfrac{1}{4} = 0. x 2 − x + 4 1 = 0.
4. Решаҳои муодиларо ёбед:
а) x 2 − 6 x − 7 = 0 ; x^2 - 6x - 7 = 0; x 2 − 6 x − 7 = 0 ;
б) x 2 + 8 x − 1 = 0 ; x^2 + 8x - 1 = 0; x 2 + 8 x − 1 = 0 ;
в) x 2 − 4 x + 10 = 0 ; x^2 - 4x + 10 = 0; x 2 − 4 x + 10 = 0 ;
г) x 2 − 8 x − 9 = 0. x^2 - 8x - 9 = 0. x 2 − 8 x − 9 = 0.
а) x 2 − 5 x + 6 = 0 ; x^2 - 5x + 6 = 0; x 2 − 5 x + 6 = 0 ;
б) x 2 + 2 x + 1 = 0 ; x^2 + 2x + 1 = 0; x 2 + 2 x + 1 = 0 ;
в) x 2 − 2 x − 3 = 0 ; x^2 - 2x - 3 = 0; x 2 − 2 x − 3 = 0 ;
г) x 2 − 5 x − 6 = 0. x^2 - 5x - 6 = 0. x 2 − 5 x − 6 = 0.
6. Решаҳои муодиларо ёбед:
а) 3 x 2 − 7 x + 2 = 0 ; 3x^2 - 7x + 2 = 0; 3 x 2 − 7 x + 2 = 0 ;
б) 2 x 2 − x − 3 = 0 ; 2x^2 - x - 3 = 0; 2 x 2 − x − 3 = 0 ;
в) 5 x 2 + 4 x − 12 = 0 ; 5x^2 + 4x - 12 = 0; 5 x 2 + 4 x − 12 = 0 ;
г) 3 x 2 + 2 x − 5 = 0. 3x^2 + 2x - 5 = 0. 3 x 2 + 2 x − 5 = 0.
Дар хона
а) x 2 + x + 1 4 = 0 ; x^2 + x + \dfrac{1}{4} = 0; x 2 + x + 4 1 = 0 ;
б) x 2 + 4 x − 12 = 0 ; x^2 + 4x - 12 = 0; x 2 + 4 x − 12 = 0 ;
в) x 2 + x − 6 = 0 ; x^2 + x - 6 = 0; x 2 + x − 6 = 0 ;
г) x 2 − 2 x − 1 = 0. x^2 - 2x - 1 = 0. x 2 − 2 x − 1 = 0.
Такрор 8. Нишон диҳед, ки қимати ифодаҳои a 2 + 1 ; a^2 + 1; a 2 + 1 ; ( a + 3 ) 2 ; (a + 3)^2; ( a + 3 ) 2 ; 3 a 2 + 5 ; 3a^2 + 5; 3 a 2 + 5 ; ( a − 5 ) 2 + 4 (a - 5)^2 + 4 ( a − 5 ) 2 + 4 a a a
а) ( 21 + 14 − 2 35 ) ⋅ 7 7 + 20 ; \left(\sqrt{21} + \sqrt{14} - 2\sqrt{35}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20}; ( 21 + 14 − 2 35 ) ⋅ 7 7 + 20 ;
б) ( 6 − 3 − 18 ) ( 6 − 3 ) + 108 . \left(\sqrt{6} - \sqrt{3} - \sqrt{18}\right)\left(\sqrt{6} - \sqrt{3}\right) + \sqrt{108}. ( 6 − 3
10. Ифодаро ба зарбкунандаҳо ҷудо намоед:
а) 16 − x 4 ; 16 - x^4; 16 − x 4 ;
б) 16 x 4 − 81 y 4 . 16x^4 - 81y^4. 16 x 4 − 81 y 4 .
11. Касрро ихтисор кунед:
а) ( 2 x − 4 ) 2 ( 2 − x ) 2 ; \dfrac{(2x - 4)^2}{(2 - x)^2}; ( 2 − x ) 2 ( 2 x − 4 ) 2 ;
б) a 2 + 6 a + 9 ( 2 a + 6 ) 2 . \dfrac{a^2 + 6a + 9}{(2a + 6)^2}. ( 2 a + 6 ) 2 a 2 + 6 a + 9 .
12. Нишон диҳед, ки қимати ифодаи ( 4 + 2 3 + 4 − 2 3 ) 2 \left(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\right)^2 ( 4 + 2 3 + 4 − 2 3 ) 2
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 7–12 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 27 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Муодилаи квадратии пурра: a , a, a , b , b, b , c c c
x 2 + 2 a x + a 2 = ( x + a ) 2 x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2 x 2 + 2 a x + a 2 = ( x + a ) 2 x 2 + b x x^2 + bx x 2 + b x ( b 2 ) 2 \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 ( 2 b ) 2 Агар a ≠ 1 a \ne 1 a = 1 a a a
Баъди ҷудо кардан муодилаи ( x + m ) 2 = n (x + m)^2 = n ( x + m ) 2 = n n < 0 n < 0 n < 0 n ≥ 0 n \ge 0 n ≥ 0 x = − m ± n
Дар ин дарс
Ман медонам , ки муодилаи квадратии пурра чист ва чаро квадрати пурраро ҷудо мекунанд.Ман метавонам аз се аъзо квадрати дуазваро ҷудо кунам: x 2 + 2 a x + a 2 = ( x + a ) 2 . x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2. x 2 + 2 a x + a 2 = ( x + a ) 2 . Ман метавонам муодилаи квадратиро бо ҷудо кардани квадрати пурра ҳал кунам, ҳатто агар коэффитсиенти якум аз як фарқ кунад. Такрор (2 дақиқа)
Қавсро кушоед: ( x − 3 ) 2 . (x - 3)^2. ( x − 3 ) 2 . ( x + 5 ) 2 . (x + 5)^2. ( x + 5 ) 2 .
Ифодаи x 2 + 6 x + 9 x^2 + 6x + 9 x 2 + 6 x + 9
Муодилаи ( x − 2 ) 2 = 9 (x - 2)^2 = 9 ( x − 2 ) 2 = 9
Ҷавобҳо
x 2 − 6 x + 9 ; x^2 - 6x + 9; x 2 − 6 x + 9 ; x 2 + 10 x + 25. x^2 + 10x + 25. x 2 + 10 x + 25. ( Вазъият барои андешаронӣ Муодилаи x 2 + 8 x = 9 x^2 + 8x = 9 x 2 + 8 x = 9 x 2 x^2 x 2 x , x, x , 8 x 8x 8 x x x x 4. 4. 4.
Квадрат бо тарафи x + 4: майдонаш x² + 4x + 4x + 16 = (x + 4)². Эзоҳ Аз ҳалли муодилаҳои 1–5 маълум шуд: барои ҷудо кардани квадрати пурра аз дуазваи x 2 + 2 a x x^2 + 2ax x 2 + 2 a x a 2 a^2 a 2 x 2 + a x x^2 + ax
Калимаҳои калидӣ муодилаи квадратии пурра квадрати пурра квадрати дуазва нисфи коэффитсиент
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро барои x 2 + 8 x x^2 + 8x x 2 + 8 x 16 16 16 8 8 8 3 x 2 − 7 x + 2 = 0 3x^2 - 7x + 2 = 0
Муодилаи x 2 + 4 x + 7 = 0 x^2 + 4x + 7 = 0 x 2 + 4 x + 7 = 0
Кадом адад ифодаи x 2 − 3 x x^2 - 3x x 2 − 3 x
Як ҷавобро интихоб кунед A 3 2 \dfrac{3}{2} 2 3
B 9 9 9
C 3 3
D Барои ҳалли муодилаи 2 x 2 − 8 x + 3 = 0 2x^2 - 8x + 3 = 0 2 x 2 − 8 x + 3 = 0
Як ҷавобро интихоб кунед A узви озодро ба қисми чап гузаронд B муодиларо ба 2 2 2
C аз муодила решаи квадратӣ гирифт D ба муодила 8 x 8x 8 x
.
2
−
)
+
. x = -m \pm \sqrt{n}. x + 3 ) 2 . (x + 3)^2. ( x + 3 ) 2 .
x − 2 = − 3 , x - 2 = -3, x − 2 = − 3 , x 2 +
a x
( a 2 ) 2 = a 2 4 \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2}{4} ( 2 a ) 2 = 4 a 2 нисфи коэффитсиенти x x x 3 x 2 −
7 x +
2 =
0
x 2 − 7 x + 2 = 0 x^2 - 7x + 2 = 0 x 2 − 7 x + 2 = 0 Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман формулаҳои зарби мухтасарро барои ҷудо кардани квадрати пурра истифода карда метавонам.
Ман муодилаи квадратиро бо ҷудо кардани квадрати пурра ҳал карда метавонам.
Ман медонам, ки чаро баъзан муодила реша надорад.
3
