30 · 2/2. Теоремаи баръакси Виет ва татбиқи он - Алгебра — синфи 83. Муодилаи квадратӣ
30 · 2/2. Теоремаи баръакси Виет ва татбиқи он
1 соат
- Назария
- Дарси 10 аз 20
- Хониш: 14 дақиқа
- Саволҳо: 5
Теоремаи баръакси Виет
Исбот. Аз шарт m+n=−p ва mn=q аст. Пас муодилаи x2+px-ро ба намуди
навбатӣТакрор ва санҷиш: бандҳои 25–30 · 1/2. Муодилаи квадратӣ: формула, масъалаҳо ва теоремаи Виет
1 соат
+
q=
0
x2−(m+n)x+mn=0 Теорема исбот шуд. (Агар m=n бошад, ин решаи ягона аст.)
Теоремаи баръакси Виет имкон медиҳад, ки дурустии решаҳои ёфташударо санҷем ва решаҳоро интихоб кунем.
Мисоли 2. Муодилаи x2+3x−54=0-ро ҳал карда, дурустии решаҳоро аз рӯйи теоремаи баръакс месанҷем.
Мувофиқи формулаи (5): x1,2=−23±49+54=−23±4225=−23±215. Аз ин ҷо x1=−9, x2=6.
Санҷиш: дар муодила p=3, q=−54. Суммаи ададҳои ёфташуда: −9+6=−3=−p, ҳосили зарб: −9⋅6=−54=q. Мувофиқи теоремаи баръакс ин ададҳо решаҳои муодилаи x2+3x−54=0-анд.
Баъзан решаҳоро ба тарзи интихоб ёфтан мумкин аст: ду адад меҷӯем, ки ҳосили зарбашон q, суммаашон −p бошад.
Мисоли 3. Бе ҳал кардани муодилаҳо аломати решаҳоро муайян мекунем:
а) 6x2−x−12=0; б) 6x2−17x+12=0.
а) Азбаски a=6>0 ва c=−12<0 аст, пас D=b2−4ac>0, яъне муодила ду решаи гуногун дорад. Ҳосили зарби ин решаҳо ба ac=−2 баробар аст, ки манфӣ мебошад. Бинобар ин решаҳо аломати гуногун доранд.
б) Азбаски D=(−17)2−4⋅6⋅12=289−288=1>0 аст, пас муодила ду реша дорад. Ҳосили зарби решаҳо ба адади мусбати 612=2 баробар аст, бинобар ин аломати решаҳо якхела аст. Суммаи решаҳо 617 — адади мусбат, пас ҳар ду реша мусбатанд.
Аз теоремаи баръакси Виет истифода бурда, аз рӯйи ду адади дилхоҳи додашуда муодилаи квадратие сохтан мумкин аст, ки ин ададҳо решаҳои он бошанд.
Мисоли 4. Муодилаи квадратиро месозем, ки решаҳояш x1=−4 ва x2=6 бошанд.
Мувофиқи додашудаҳо x1+x2=−4+6=2, x1x2=−4⋅6=−24. Муодилаи матлуб x2−2x−24=0 мебошад.
Қайд мекунем, ки барои ҳар гуна a=0 ададҳои −4 ва 6 решаҳои муодилаи a(x2−2x−24)=0 низ ҳастанд.
Мисоли 5. Муодилаи квадратиро месозем, ки решаҳояш x1=−98 ва x2=65 бошанд.
x1+x2=−98+65=−181,x1x2=−98⋅65=−2720. Муодилаи матлуб x2+181x−2720=0 ё (ба 54 зарб карда) 54x2+3x−40=0 мебошад.
Фарқи решаҳо ва ифодаҳо аз решаҳо
Бо теоремаи Виет бисёр масъалаҳоро бе ёфтани решаҳо ҳал кардан мумкин аст.
Мисоли 6. Фарқи решаҳои муодилаи x2−9x+q=0 ба 3 баробар аст. Решаҳо ва q-ро меёбем.
Мувофиқи теорема x1+x2=9. Аз шарт x1−x2=3. Ин ду баробариро ҷамъ мекунем: 2x1=12, x1=6, x2=3. Пас q=x1x2=18. Санҷиш: x2−9x+18=(x−3)(x−6).
Мисоли 7. Решаҳои муодилаи x2−5x+3=0 ададҳои x1 ва x2 мебошанд (D=25−12=13>0). Қимати x12+x22 ва x11+x2-ро бе ёфтани решаҳо ҳисоб мекунем.
Дорем x1+x2=5, x1x2=3. Пас
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=25−6=19,x11+x21=x1x2x1+x2=35. Муодилаи ислоҳшуда аз рӯйи решаҳосанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Муодиларо ҳал накарда, аломати решаҳояшро муайян намоед:
- а) x2+4x−5=0;
- б) x2+5x+3=0;
- в) x2−5x+3=0;
- г) x2−8x−7=0;
- д) 5x2+17x+16=0;
- е) 3x2−12x−73
- ж) x2−5x+1=0;
- з) 3x2+6x−5=0.
2. Фарқи решаҳои муодилаи квадратии x2−12x+q=0 ба 2 баробар аст. Решаҳо ва q-ро ёбед.
3. Нишон диҳед, ки муодила решаҳои аломаташ якхеларо надорад:
- а) 4x2+231x−1=0;
- б) 2x2−437x−7=0.
4. Муодилаи квадратии ислоҳшударо аз рӯйи решаҳои додашудааш созед:
- а) 5 ва 7;
- б) −2 ва 3;
- в) −4 ва −0,4;
- г) 2,5 ва −3;
- д) −54 ва 54;
- е) 151 ва 0,2;
- ж) 0,2 ва −3,2;
- з) −0,1 ва 0,2;
- и) 0,5 ва −0,3.
Дар хона
5. Муодиларо ҳал намуда, дурустии решаҳоро аз рӯйи теоремаи баръакси Виет санҷед:
- а) 4x2−5x−6=0;
- б) 5x2−8x−4=0;
- в) x2−2x−15=0;
- г) 2x2+5x−3=0;
- д) 12x2−4x−1=0;
- е) x2−8=0;
- ж) 3x2−7=0;
- з) 7x2−9x=0.
6. Фарқи решаҳои муодилаи квадратии 2x2−x+c=0 ба 6 баробар аст. Решаҳо ва c-ро ёбед.
Такрор
- а) 2x+34x2−9;
- б) 6−2a(a−3)2.
x+xy+1(x−y)2+4xy -ро ҳангоми x=4 ва y=6 будан ҳисоб кунед.
- а) 6x(x−3)−2x=0;
- б) 3x(x+3)+48+x=2.
10. Графикро насохта, координатаҳои нуқтаҳои буриши графики функсияи y=11x−2,2-ро бо тирҳои координатӣ муайян намоед.
★ Барои ҳавасмандон
11. Решаҳои x1 ва x2-и муодилаи 3x2−8x−15=0-ро ҳал накарда, қимати ифодаро ёбед:
- а) x11+x21;
- б) x12+x22.
Нишондод
Аввал суммаю ҳосили зарби решаҳоро бо теоремаи Виет нависед. Баъд ифодаро аз онҳо ҳосил кунед: x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2; x11+x
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 5–10 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор»; машқи 11 — барои ҳавасмандон.
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 30 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Муодилаи ислоҳшуда: x2+px+q=0. Теоремаи Виет: x1+x2=−p, x1x2=q (барои ax2+bx+c=0: −ab ва ac). Танҳо барои муодилаи решадор (D≥0).
- Теоремаи баръакс: агар m+n=−p ва mn=q бошад, m ва n — решаҳои -анд.
- Аз ин ҷо: аломати решаҳоро муайян кардан, решаҳоро интихоб кардан, муодиларо аз рӯйи решаҳо сохтан, ифодаҳои x12+x22 ва -ро ҳисоб кардан.
Дар ин дарс
- Ман медонам теоремаи баръакси Виетро ва исботи онро.
- Ман метавонам аломати решаҳоро бе ҳал кардан муайян кунам ва решаҳоро аз рӯйи суммаю ҳосили зарб интихоб намоям.
- Ман метавонам муодилаи квадратиро аз рӯйи решаҳои додашуда созам.
Такрор (2 дақиқа)
- Теоремаи Виетро барои x2+px+q=0 баён кунед.
- Суммаю ҳосили зарби решаҳои x2−8x+15=0-ро бе ҳал кардан ёбед.
- Барои 3x2−5x−2=0 суммаю ҳосили зарби решаҳо чӣ гуна аст?
Ҷавобҳо
- x1+x2=−p, x 2) ва (решаҳо: ва ). 3) Сумма ҳосили зарб
Вазъият барои андешаронӣАгар решаҳои 2 ва 5-ро медонем, чӣ гуна муодилаи ислоҳшуда месозем? Суммаашон 7, ҳосили зарбашон 10 аст. Оё x2−7x+10=0 ҳамон муодилаест, ки мо мехоҳем? Чӣ тавр бе ҳал кардан инро исбот кунем?
Теоремаи баръакси ВиетАгар суммаи ададҳои m ва n ба −p ва ҳосили зарбашон ба q баробар бошад, он гоҳ онҳо решаҳои муодилаи ислоҳшудаи x2+px+q=0 мебошанд.
- Ба ҷойи x адади m-ро мегузорем: m2−(m+n)m+mn= Баробарӣ дуруст аст, яъне — решаи муодила.
Аломати решаҳоАгар D≥0 бошад (D-ро ҳатман санҷед!), он гоҳ: ҳосили зарби ac<0 — решаҳо аломати гуногун доранд; — аломати якхела, ва агар суммаи бошад, ҳарду мусбат, агар бошад, ҳарду манфӣ.
Калимаҳои калидӣмуодилаи ислоҳшудатеоремаи Виеттеоремаи баръакси Виеталомати решаҳосумма ва ҳосили зарби решаҳо
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро пеш аз истифодаи теоремаи Виет D≥0 будани муодиларо санҷидан лозим аст? Кай интихоби решаҳо аз ҳал бо формула тезтар аст?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман теоремаи Виет ва теоремаи баръаксро баён карда метавонам.
- Ман метавонам сумма ва ҳосили зарби решаҳои муодилаи квадратиро ба осонӣ ёбам.
- Ман метавонам муодилаи квадратиро аз рӯйи решаҳои он созам ва аломати решаҳоро муайян кунам.
- Ман метавонам татбиқи ин теоремаҳоро дар мисолҳо нишон диҳам.
Кадом муодилаи ислоҳшуда решаҳои 3 ва −5-ро дорад?
Як ҷавобро интихоб кунед Ба ҳар муодила аломати решаҳояшро мувофиқ гузоред.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедx2−7x+10=0
→x2+7x+
→→
1
=
0;
2
1
=
x1x2x1+x2.
x
2
+
px+
q=
0
x1
1
+
x21
1
x2
=
q.
m2−
m2−
mn+
mn=
0.
Ба ҷойи x адади n-ро мегузорем: n2−(m+n)n+mn=n2−mn−n2+mn=0. Ҳамин тавр, n низ решаи муодила аст. ac>0
−ab>0 −ab<0 x
2
x12+x22-ро
x2
+
2x−
15=
0
x2+2x+15=0
x2−2x−15=0
10=
0
x2+3x−10=0