30 · 1/2. Муодилаи ислоҳшуда ва теоремаи Виет - Алгебра — синфи 83. Муодилаи квадратӣ
30 · 1/2. Муодилаи ислоҳшуда ва теоремаи Виет
1 соат
- Назария
- Дарси 9 аз 20
- Хониш: 10 дақиқа
- Саволҳо: 5
Муодилаи квадратии ислоҳшуда
Масалан, муодилаҳои x2−7x+10=0 ва x2+10x− ислоҳшудаанд. Дар муодилаи ислоҳшуда коэффитсиенти дуюмро бо ҳарфи ва узви озодро бо ҳарфи ишора мекунанд:
навбатӣ30 · 2/2. Теоремаи баръакси Виет ва татбиқи он
1 соат
25
=
0
x2+px+q=0.(4) Формулаҳои решаҳои ин муодиларо меорем. Барои ин аз формулаи (3)-и банди 28 истифода мебарем, ки он решаҳои муодилаи умумии ax2+bx+c=0-ро ифода мекунад: x1,2=2a−b±b2−4ac. Муодилаи (4) бо муодилаи умумӣ яке аст, агар a=1, b=p, c=q бошад (дискриминанти он D=p2−4q). Бинобар ин формулаи решаҳои (4) чунин мешавад:
x1,2=2−p±p2−4qёx1,2=−2p±(2p)2−q.(5) Дуюмаш мувофиқ аст, агар p ҷуфт бошад: масалан, барои x2−14x+40=0: x=7±49−40=7±3.
Теоремаи Виет
Байни коэффитсиентҳои муодилаи квадратии ислоҳшудаи (4) ва решаҳои он вобастагие ҳаст, ки онро риёзидони машҳури фаронсавӣ Франсуа Виет (1540–1603) ёфтааст.
Исбот. Бигузор x1 ва x2 решаҳои муодилаи (4) бошанд. Бояд нишон диҳем, ки x1+x2=−p ва x1x2=q. Аз формулаи (5) (бигузор s=(2p)2−q):
x1=−2p−s,x2=−2p+s. Ҳамин тавр, x1+x2=−p ва x1x2=q. Теорема исбот шуд.
Теоремаи Виет танҳо ҳангоми реша доштани муодила кор мекунад: аввал D≥0 будани онро санҷед. Масалан, x2+x+5=0 реша надорад (D=1−20<0), пас «суммаи решаҳо» ва «ҳосили зарби решаҳо» маъно надоранд.
Мисоли 1. Суммаю ҳосили зарби решаҳои муодилаи 4x2−7x+3=0-ро меёбем.
Дискриминанти муодила D=(−7)2−4⋅4⋅3=49−48=1 — адади мусбат. Пас муодила ду реша дорад. Мувофиқи эзоҳи 2: сумма x1+x2=47=14 ҳосили зарб x1x2=43.
(Санҷиш: x1,2=87±1, яъне 1 ва 43. Сумма 1+43=47, ҳосили зарб 43.)
Мисоли 2. Дар муодилаи x2+px+20=0 яке аз решаҳо ба 4 баробар аст. Решаи дигарро ва коэффитсиенти p-ро меёбем.
Мувофиқи теорема x1x2=20, пас x2=420=5. Сумма x1+x2=4+5=9=−p, яъне p=−9. Санҷиш: x2−9x+20=(x−4)(x−5).
Ҷавоб: x2=5; p=−9.
Решаҳо аз суммаю ҳосили зарбсанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Суммаю ҳосили зарби решаҳои муодиларо ёбед:
- а) 2x2−9x+10=0;
- б) y2−10y+14=0;
- в) x2−270x=0;
- г) 5x2+12x+7=0;
- д) −x2+x=0;
- е) x2−14x+46=0;
- ж) x2+12x+31=0;
- з) x2+9x−6=0.
2. Дар муодилаи x2+px−24=0 яке аз решаҳо ба 6 баробар аст. Решаи дигар ва коэффитсиенти p-ро ёбед.
3. Яке аз решаҳои муодилаи 3x2+bx+15=0 ба 7 баробар аст. Решаи дигар ва коэффитсиенти b-ро ёбед.
Дар хона
4. Яке аз решаҳои муодилаи x2−12x+q=0 ба 12,5 баробар аст. Решаи дигар ва коэффитсиенти q-ро ёбед.
5. Яке аз решаҳои муодилаи 8x2−12,5x+c=0 ба 2 баробар аст. Решаи дигар ва коэффитсиенти c-ро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 4–5 аз қисми «Дар хона». Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 30 дар саҳифаи дуюм аст.
Дар ин дарс
- Ман медонам муодилаи квадратии ислоҳшуда x2+px+q=0 чист ва формулаи решаҳои он чӣ гуна аст.
- Ман медонам теоремаи Виетро ва исботи онро: x1+x2=−p, x1x2=q.
- Ман метавонам суммаю ҳосили зарби решаҳоро бе ҳал кардан ёбам ва решаи дигарро аз як реша муайян кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Қавсҳоро кушоед: (x−2)(x+3).
- Формулаи зарби мухтасарро нависед: (a−b)(a+b).
- Муодилаи x2+x−6=0-ро ҳал кунед ва суммаю ҳосили зарби решаҳояшро ёбед.
Ҷавобҳо
- x2+3x−2x−6=x2+x−6. 2) 3) ва Сумма ҳосили зарб
Вазъият барои андешаронӣДар такрор шумо дидед: решаҳои муодилаи x2+x−6=0 ададҳои 2 ва −3 мебошанд. Суммаашон −1 аст (коэффитсиенти дуюм бо аломати баръакс), ҳосили зарбашон −6 (узви озод). Тасодуф аст ё қонун? Муодилаи x2−7x+12=0-ро санҷед: решаҳояш 3 ва 4.
ТаърифМуодилаи квадратие, ки коэффитсиенти якуми он ба 1 баробар аст, муодилаи квадратии ислоҳшуда номида мешавад.
Теоремаи ВиетСуммаи решаҳои муодилаи квадратии ислоҳшудаи (4) ба коэффитсиенти дуюм бо аломати муқобил гирифташуда баробар аст, ҳосили зарби решаҳо — ба узви озод:
x1+x2=−p,x
- Суммаро ҳисоб мекунем: x1+x2=−2 ( ва нест мешаванд.)
Эзоҳи 1Ҳангоми D=p2−4q=0 муодилаи (4) як реша дорад. Агар чунин ҳисоб кунем, ки ҳангоми D=0 муодилаи квадратӣ ду решаи баробар дорад, яъне он гоҳ ва (Ин ҷо зеро ) Ҳамин тавр, дар ин ҳолат ҳам теоремаи Виет дуруст аст.
Эзоҳи 2Аз теоремаи Виет истифода бурда, вобастагии байни решаҳо ва коэффитсиентҳои муодилаи умумии ax2+bx+c=0-ро мебароранд. Он ба муодилаи ислоҳшудаи x баробарқувва аст (ҳар ду қисмро ба тақсим кардем). Бинобар ин мувофиқи теоремаи Виет:
Оё медонед?Франсуа Виет (1540–1603) ҳуқуқшиноси фаронсавӣ буд ва дар вақти холӣ математика меомӯхт. Вай аввалин шуда барои ададҳои номаълум ва маълум ҳарфҳоро истифода кард, барои ҳамин ӯро «падари алгебраи ҳарфӣ» меноманд. Ёфтани вобастагии байни коэффитсиентҳо ва решаҳо яке аз муваффақиятҳои ӯст.
Барои муодилаи x2+x+5=0 суммаи решаҳо −1 ва ҳосили зарби онҳо 5 аст.
3
,
a2−b2.
D=1+24=25, x=2−1±5: 1
⋅
x2=
q.
p
−
s−
2p+
s=
−p.
Ҳосили зарбро ҳисоб мекунем: x1x2=(−2p−s)(−2p+s)=(−2p)2−s2. (Формулаи фарқи квадратҳо.) s2=(2p)2−q-ро гузорем: x1x2=4p2−( x1=x2=−2p,
x1+x2=−2p−2p=−p x1x2=(−2p)(−2p)=4p2=44q=q. 2
+
abx+
ac=
0
x1+x2=−ab,x1x2=ac. x
2
(x1+x2)2−2x1x2-ро 4
p2
−
q
)
=
4p2−
4p2+
q=
q.