3.1 · Кушодани қавс ва ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан - Математикаи SAT
Асосӣ Курсҳо Математикаи SAT 3. Алгебраи пешрафта
3.1 · Кушодани қавс ва ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан FOIL, ҳосили зарбҳои махсус, зарбкунандаҳои умумӣ, сеузваҳо ҳангоми a ≠ 1, гурӯҳбандӣ.
Кушодани қавс бо қоидаи FOIL
Тахт (тапчан) — супои баландшудаи чойхонаи душанбегӣ аст. Он квадрат аст, x x x x x x 5 5 5 2 2 2 ( x + 5 ) ( x + 2 ) (x + 5)(x + 2) ( x + 5 ) ( x + 2 )
FOIL ҳамон чор ҳосили зарб бо тартиб аст: F irst — узвҳои аввал,
навбатӣ 3.1 · Кор дар синф 1: қавс ва зарбкунандаҳо Қавсро мекушоем, ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем, ҳолатҳои махсус.
O
I
L
( x + 5 ) ( x + 2 ) = x 2 + 2 x + 5 x + 10 = x 2 + 7 x + 10 \begin{aligned} (x + 5)(x + 2) &= x^2 + 2x + 5x + 10 \\ &= x^2 + 7x + 10 \end{aligned} ( x + 5 ) ( x + 2 ) = x 2 + 2 x + 5 x + 10 = x 2 + 7 x + 10 Мисолҳои бештар. Ба аломатҳо диққат диҳед.
( x − 6 ) ( x + 3 ) = x 2 + 3 x − 6 x − 18 = x 2 − 3 x − 18 \begin{aligned} (x - 6)(x + 3) &= x^2 + 3x - 6x - 18 \\ &= x^2 - 3x - 18 \end{aligned} ( x − 6 ) ( x + 3 ) = x 2 + 3 x − 6 x − 18 = x 2 − 3 x − 18 ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 4 ) = 6 x 2 − 8 x − 3 x + 4 = 6 x 2 − 11 x + 4 \begin{aligned} (2x - 1)(3x - 4) &= 6x^2 - 8x - 3x + 4 \\ &= 6x^2 - 11x + 4 \end{aligned} ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 4 ) = 6 x 2 − 8 x − 3 x + 4 = 6 x 2 − 11 x + 4 Барои ( x + m ) ( x + n ) (x + m)(x + n) ( x + m ) ( x + n ) суммаи m + n m + n m + n ҳосили зарби m n mn mn ( x + m ) ( x + n ) = x 2 + ( m + n ) x + m n (x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn ( x + m ) ( x + n ) = x 2 + ( m + n ) x + mn
Ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан — кушодани қавс баръакс Ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан x 2 + 7 x + 10 x^2 + 7x + 10 x 2 + 7 x + 10 ( x + 5 ) ( x + 2 ) (x + 5)(x + 2) ( x + 5 ) ( x + 2 )
Аввал зарбкунандаи умумиро баровред. 3 x 2 + 15 x + 18 = 3 ( x 2 + 5 x + 6 ) 3x^2 + 15x + 18 = 3(x^2 + 5x + 6) 3 x 2 + 15 x + 18 = 3 ( x 2 + 5 x + 6 ) − 1 -1 − 1 Чорроҳаи X. Барои x 2 + b x + c x^2 + bx + c x 2 + b x + c ҳосили зарбашон c c c суммаашон b b b ( x + m ) ( x + n ) (x + m)(x + n) ( x + m ) ( x + n ) нависед .Бо кушодани қавс санҷед .
Барои x 2 − 3 x − 28 x^2 - 3x - 28 x 2 − 3 x − 28 − 28 -28 − 28 − 3 -3 − 3 − 7 -7 − 7 4 4 4 x 2 − 3 x − 28 = ( x − 7 ) ( x + 4 ) x^2 - 3x - 28 = (x - 7)(x + 4) x 2 − 3 x − 28 = ( x − 7 ) ( x + 4 ) − 7 ⋅ 4 = − 28 -7 \cdot 4 = -28 − 7 ⋅ 4 = − 28 − 7 + 4 = − 3 -7 + 4 = -3 − 7 + 4 = − 3
Адади охирин c c c Ду адад мусбат аломати якхела, аломати b b b манфӣ аломатҳои гуногун, адади қимати мутлақаш калон аломати b b b
Чаро ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунанд? Ҳосили зарб вақте ба нул баробар аст, ки яке аз зарбкунандаҳо нул бошад, бинобар ин зарбкунандаҳо нишон медиҳанд, ки ифода дар куҷо ба нул баробар аст. Ресторани қурутоби душанбегӣ фоидаи рӯзонаи худро бо сомонӣ ҳамчун P = − ( x − 5 ) ( x − 20 ) P = -(x - 5)(x - 20) P = − ( x − 5 ) ( x − 20 ) x x x − x 2 + 25 x − 100 -x^2 + 25x - 100 − x 2 + 25 x − 100 5 5 5 20 20 20 0 0 0 5 5 5 20 20 20 ( x − 5 ) ( x − 20 ) (x - 5)(x - 20) ( x − 5 ) ( x − 20 )
Вақте коэффитсиенти аввал ба 1 баробар нест: гурӯҳбандӣ Барои 2 x 2 + 7 x + 3 2x^2 + 7x + 3 2 x 2 + 7 x + 3 2 ⋅ 3 = 6 2 \cdot 3 = 6 2 ⋅ 3 = 6 6 6 6 7 7 7 1 1 1 6 6 6
2 x 2 + x + 6 x + 3 = x ( 2 x + 1 ) + 3 ( 2 x + 1 ) = ( 2 x + 1 ) ( x + 3 ) \begin{aligned} & 2x^2 + x + 6x + 3 \\ &= x(2x + 1) + 3(2x + 1) \\ &= (2x + 1)(x + 3) \end{aligned} 2 x 2 + x + 6 x + 3 = x ( 2 x + 1 ) + 3 ( 2 x + 1 ) = ( 2 x + 1 ) ( x + 3 ) Дар ҳар ду гурӯҳ ( 2 x + 1 ) (2x + 1) ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) ( x + 3 ) = 2 x 2 + 6 x + x + 3 (2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x + x + 3 ( 2 x + 1 ) ( x + 3 ) = 2 x 2 + 6 x + x + 3
Ду шакли махсус
Фарқи квадратҳо: a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) x 2 − 81 = ( x − 9 ) ( x + 9 ) x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9) x 2 − 81 = ( x − 9 ) ( x + 9 ) 25 x 2 − 16 y 2 = ( 5 x − 4 y ) ( 5 x + 4 y ) 25x^2 - 16y^2 = (5x - 4y)(5x + 4y) 25 x 2 − 16 y 2 = ( 5 x − 4 y ) ( 5 x + 4 y ) Квадрати пурра: a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 a Суммаи квадратҳо ба монанди x 2 + 9 x^2 + 9 x 2 + 9
Бинед: ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан бо масоҳатҳо Масоҳати катакҳо дода шудааст. Тарафҳоро ёбед.
Ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан бо масоҳатҳо санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф Боз шаш савол. Бо панҷ саволи саҳифаи гузашта натиҷаро аз 11 ҳисоб кунед. Натиҷаи аз 0 то 8: машқҳои синфиро бо муаллим кор кунед. Натиҷаи аз 9 то 11: машқҳои душвортар ва маҷмӯи SAT-ро санҷед.
Хулоса
Дараҷаҳои бисёрузва бутунанд. Танҳо узвҳои монандро якҷоя кунед. Минус пеш аз қавс ҳар аломати дохилро иваз мекунад.
Чунон зарб кунед, ки ҳар узв бо ҳар узв вомехӯрад. Модели масоҳат ҳисобро нигоҳ медорад.
( x + m ) ( x + n ) = x 2 + ( m + n ) x + m n (x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn ( x + m ) ( x + n ) = x 2 + ( m + n ) x + mn Бо ин тартиб ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед: зарбкунандаи умумӣ, чорроҳаи X (ҳосили зарб c c c b b b a ≠ 1 a \neq 1 a = 1
a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a 2 ± 2 a b + b 2 = ( a ± b ) 2 a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 Шакли ба зарбкунандаҳо ҷудошуда нишон медиҳад, ки ифода дар куҷо ба нул баробар аст.
Минбаъд: масъалаҳои синфӣ. Муаллим Вазифаи хонагии A ё B-ро таъин мекунад (онро дар қисми «Синфи ман» ёбед).
Дар ин дарс
шумо ду қавсро бо қоидаи FOIL мекушоед ва ду ҳосили зарби махсусро медонед;
шумо сеузваи квадратиро ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунед: аввал зарбкунандаи умумиро мебароред, баъд бо «чорроҳаи X»;
шумо a x 2 + b x + c ax^2 + bx + c a x 2 + b x + c a ≠ 1 a \neq 1 a = 1
шумо ҳар ҷавобро бо кушодани қавс месанҷед.
Такрор (2 дақиқа)
Қавсҳоро дар 3 ( x − 4 ) 3(x - 4) 3 ( x − 4 )
( 4 x 2 + 3 x ) − ( x 2 + 5 x ) (4x^2 + 3x) - (x^2 + 5x) ( 4 x 2 + 3 x ) − ( x 2 + 5 x ) x 2 ⋅ x 3 x^2 \cdot x^3 x 2 ⋅ x 3 Ҷавоб
3 x − 12 3x - 12 3 x − 12 3 x 2 − 2 x 3x^2 - 2x 3 x 2 − 2 x x 5 x^5 x 5 Квадрати кӯҳна, ду навор ва кунҷ. Ҳосили зарб дар боло, сумма дар поён, ду адад дар паҳлуҳо. Квадратҳо ва фарқи квадратҳо. Дар имтиҳон чунин навишта мешавад College Board инро ба малакаи Equivalent expressions дар соҳаи Advanced Math мебарад (Assessment Framework , ҷадвали 22). Дар саволи ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан сеузваи квадратӣ дода мешавад ва шакли ба зарбкунандаҳо ҷудошудаи ба он баробар пурсида мешавад. Ин курс чунин саволҳоро ҳамин тавр менависад: Which of the following is equivalent to 3 x 2 − 27 x + 60 3x^2 - 27x + 60 3 x 2 − 27 x + 60 Ин ҷумла ифодаи худи мост, на саволи College Board. Агар варианте «пурра ба зарбкунандаҳо ҷудо шудааст» бошад, дар дохили қавсҳо зарбкунандаи умумӣ намемонад.
Хатоҳое, ки бояд пешгирӣ кард Бе зарбкунандаи умумии аввал. 3 x 2 − 27 x + 60 3x^2 - 27x + 60 3 x 2 − 27 x + 60 3 ( x − 5 ) ( x − 4 ) 3(x - 5)(x - 4) 3 ( x − 5 ) ( x − 4 )
Калимаҳои калидӣ бисёрузва — polynomial узв коэффитсиент — coefficient дараҷа узвҳои монанд FOIL зарбкунанда зарбкунандаи умумӣ — common factor фарқи квадратҳо — difference of squares квадрати пурра — perfect square
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадоме аз ин чор хаторо шумо карда метавонед? Онро дар дафтари хатоҳо нависед ва тарзи дурустро ҳам нависед.
Худро санҷед (✓ ё ✗):
Ман бисёрузваҳоро бе гум кардани аломат ҷамъ ва тарҳ мекунам.
Ман ду қавсро мекушоям ва узвҳои миёнаро якҷоя мекунам.
Ман аввал зарбкунандаи умумиро мебароварам, баъд сеузваи квадратиро ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунам.
Ман 2 x 2 + 7 x + 3 2x^2 + 7x + 3 2 x 2 + 7 x + 3
Ман фарқи квадратҳо ва квадрати пурраро фавран мешиносам.
Кадоме аз инҳо ба x 2 + 10 x + 24 x^2 + 10x + 24 x 2 + 10 x + 24
Як ҷавобро интихоб кунед A ( x + 3 ) ( x + 8 ) (x + 3)(x + 8) ( x + 3 ) ( x + 8 )
B ( x − 4 ) ( x
C D Кадом ифода ба 3 x 2 − 27 x + 60 3x^2 - 27x + 60 3 x 2 − 27 x + 60
Як ҷавобро интихоб кунед A 3 ( x − 5 ) ( x − 4 ) 3(x - 5)(x - 4) 3 ( x − 5 ) ( x − 4 )
B
C D Масоҳати қолин x 2 − 14 x + 49 x^2 - 14x + 49 x 2 − 14 x + 49
Як ҷавобро интихоб кунед A Ин росткунҷа бо тарафҳои x − 49 x - 49 x − 49 x − 1 x - 1 x − 1
B Ин квадрат бо тарафи
C D Кадоме аз инҳо ба 36 x 2 − 49 y 2 36x^2 - 49y^2 36 x 2 − 49 y 2
Як ҷавобро интихоб кунед A ( 6 x − 7 y ) ( 6 x + 7 y ) (6x - 7y)(6x + 7y) ( 6 x − 7 y ) ( 6 x + 7
B C D 2 − 2 a b + b 2 = ( a − b ) 2 a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 a 2 − 2 ab + b 2 = ( a − b ) 2
x 2 − 20 x + 100 x^2 - 20x + 100 x 2 − 20 x + 100 ( − 10 ) 2 = 100 (-10)^2 = 100 ( − 10 ) 2 = 100 a 2 ± 2 ab + b 2 = ( a ± b ) 2
( 3 x − 15 ) ( x − 4 ) (3x - 15)(x - 4) ( 3 x − 15 ) ( x − 4 )
Аломатҳои нодуруст. Суммаро санҷед: ( x + 4 ) ( x − 6 ) (x + 4)(x - 6) ( x + 4 ) ( x − 6 ) − 2 x -2x − 2 x + 2 x +2x + 2 x
Ҳосили зарб дуруст, сумма нодуруст. ( x + 2 ) ( x + 12 ) (x + 2)(x + 12) ( x + 2 ) ( x + 12 ) 24 24 24 2 + 12 = 14 2 + 12 = 14 2 + 12 = 14
Квадрати сумма. ( x + 5 ) 2 (x + 5)^2 ( x + 5 ) 2 x 2 + 10 x + 25 x^2 + 10x + 25 x 2 + 10 x + 25 x 2 + 25 x^2 + 25 x 2 + 25
Санҷишро фурӯ гузоштан. Ҷавоби худро кушоед. Ин даҳ сония мегирад.
k
a
+
b
− 6 ) (x - 4)(x - 6) ( x − 4 ) ( x − 6 )
( x + 2 ) ( x + 12 ) (x + 2)(x + 12) ( x + 2 ) ( x + 12 )
( x + 4 ) ( x + 6 ) (x + 4)(x + 6) ( x + 4 ) ( x + 6 )
( 3 x − 15 ) ( x − 4 ) (3x - 15)(x - 4) ( 3 x − 15 ) ( x − 4 )
3 ( x − 10 ) ( x − 2 ) 3(x - 10)(x - 2) 3 ( x − 10 ) ( x − 2 )
3 ( x + 5 ) ( x + 4 ) 3(x + 5)(x + 4) 3 ( x + 5 ) ( x + 4 )
x + 7 x + 7 x + 7
Ин росткунҷа бо тарафҳои x − 7 x - 7 x − 7 x + 7 x + 7 x + 7
Ин квадрат бо тарафи x − 7 x - 7 x − 7
y
)
6 x ( 6 x − 49 y 2 ) 6x(6x - 49y^2) 6 x ( 6 x − 49 y 2 )
( 18 x − 24.5 y ) ( 18 x + 24.5 y ) (18x - 24.5y)(18x + 24.5y) ( 18 x − 24.5 y ) ( 18 x + 24.5 y )
( 6 x − 7 y ) 2 (6x - 7y)^2 ( 6 x − 7 y ) 2
