Такрор ва санҷиш: фаслҳои 15–20 · 1/3. Системаҳои муодилаҳо - Алгебра — синфи 9
Қоидаҳои асосӣ
Мавзӯъ Дар хотир доред Муодилаи дуномаълума ҳал — ҷуфти ( x ; y ) ; (x;\ y); ( x ; y ) ; Давра ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = R 2 , (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, ( x − a )
навбатӣ Такрор ва санҷиш: фаслҳои 15–20 · 2/3. Кори санҷишӣ ва санҷиши нимсола 1 соат
2
+
( y −
b ) 2 =
R 2 ,
x 2 + y 2 + p x + q y + r = 0 x^2 + y^2 + px + qy + r = 0 x 2 + y 2 + p x + q y + r = 0 Тарзи графикӣ графикҳоро дар як ҳамворӣ месозем, нуқтаҳои умумиро мехонем ва бо ҷойгузорӣ месанҷем
Гузориш ва ҷамъкунӣ аз муодилаи дараҷаи якум як номаълумро ифода мекунем; ё муодилаҳоро ҷамъ ва тарҳ мекунем; ё ( x − y ) ( x + y ) (x - y)(x + y) ( x − y ) ( x + y )
Системаи якҷинс муодилаи якҷинси 0 0 0 t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x (y ≠ 0 y \ne 0 y = 0 санҷида мешавад)
Системаи симметрӣ u = x + y , u = x + y, u = x + y , v = x y ; v = xy; v = x y ; x 2 + y 2 = u 2 − 2 v ; x^2 + y^2 = u^2 - 2v; x 2 + y 2 = u 2 − 2 v ; x x x y y y t 2 − u t + v = 0 t^2 - ut + v = 0 t 2 − u t + v = 0
Масъалаи матнӣ модел, ҳал, санҷиш ва ҷавоб бо калом; ҳалҳои манфӣ ва нодуруст дур мепартоем
Мисолҳо Мисоли 1. Муодилаи x 2 + y 2 + 8 x − 6 y + 9 = 0 x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0 x 2 + y 2 + 8 x − 6 y + 9 = 0 ( x + 4 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 16 − 9 + 9 = 16 (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 16 - 9 + 9 = 16 ( x + 4 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 16 − 9 + 9 = 16 x 2 + 8 x = ( x + 4 ) 2 − 16 , x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16, x 2 + 8 x = ( x + 4 ) 2 − 16 , y 2 − 6 y = ( y − 3 ) 2 − 9 y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 y 2 − 6 y = ( y − 3 ) 2 − 9 ( − 4 ; 3 ) , (-4;\ 3), ( − 4 ; 3 ) , 4. 4. 4.
Мисоли 2. Системаи { y = x + 1 , x 2 + y 2 = 25 \begin{cases} y = x + 1, \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} { y = x + 1 , x 2 + y 2 = 25 x 2 + ( x + 1 ) 2 = 25 , x^2 + (x + 1)^2 = 25, x 2 + ( x + 1 ) 2 = 25 , 2 x 2 + 2 x − 24 = 0 , 2x^2 + 2x - 24 = 0, 2 x 2 + 2 x − 24 = 0 , x 2 + x − 12 = 0 , x^2 + x - 12 = 0, x 2 + x − 12 = 0 , x 1 = 3 , x_1 = 3, x 1 = 3 , x 2 = − 4. x_2 = -4. x 2 = − 4. y 1 = 4 , y_1 = 4, y 1 = 4 , y 2 = − 3. y_2 = -3. y 2 = − 3. ( 3 ; 4 ) , (3;\ 4), ( 3 ; 4 ) , ( − 4 ; − 3 ) . (-4;\ -3). ( − 4 ; − 3 ) .
Мисоли 3. Системаи якҷинси { x 2 − 3 x y + 4 y 2 = 22 , 2 x 2 + 2 x y − y 2 = 11 \begin{cases} x^2 - 3xy + 4y^2 = 22, \\ 2x^2 + 2xy - y^2 = 11 \end{cases} { x 2 − 3 x y + 4 y 2 = 22 , 2 x 2 + 2 x y − y 2 = 11 1 , 1, 1 , 2 2 2 ( x 2 − 3 x y + 4 y 2 ) − 2 ( 2 x 2 + 2 x y − y 2 ) = 22 − 22 , (x^2 - 3xy + 4y^2) - 2(2x^2 + 2xy - y^2) = 22 - 22, ( x 2 − 3 x y + 4 y 2 ) − 2 ( 2 x − 3 x 2 − 7 x y + 6 y 2 = 0 , -3x^2 - 7xy + 6y^2 = 0, − 3 x 2 − 7 x y + 6 y 2 = 0 , 3 x 2 + 7 x y − 6 y 2 = 0. 3x^2 + 7xy - 6y^2 = 0. 3 x 2 + 7 x y − 6 y 2 = 0. t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x (y = 0 y = 0 y = 0 ҳал нест): 3 t 2 + 7 t − 6 = 0 , 3t^2 + 7t - 6 = 0, 3 t 2 + 7 t − 6 = 0 , D = 49 + 72 = 121 , D = 49 + 72 = 121, D = 49 + 72 = 121 , t 1 = − 3 , t_1 = -3, t 1 = − 3 , t 2 = 2 3 . t_2 = \dfrac{2}{3}. t 2 = 3 2 . x = − 3 y x = -3y x = − 3 y 9 y 2 + 9 y 2 + 4 y 2 = 22 y 2 = 22 , 9y^2 + 9y^2 + 4y^2 = 22y^2 = 22, 9 y 2 + 9 y 2 + 4 y 2 = 22 y y = ± 1 , y = \pm 1, y = ± 1 , x = ∓ 3. x = \mp 3. x = ∓ 3. x = 2 3 y x = \dfrac{2}{3}y x = 3 2 y 4 9 y 2 − 2 y 2 + 4 y 2 = 22 9 y 2 = 22 , \dfrac{4}{9}y^2 - 2y^2 + 4y^2 = \dfrac{22}{9}y^2 = 22, 9 4 y 2 − 2 y 2 + 4 y y = ± 3 , y = \pm 3, y = ± 3 , x = ± 2. x = \pm 2. x = ± 2. ( − 3 ; 1 ) , (-3;\ 1), ( − 3 ; 1 ) , ( 3 ; − 1 ) , (3;\ -1), ( 3 ; − 1 ) , ( 2 ; 3 ) , (2;\ 3), ( 2 ; 3 ) , ( − 2 ; − 3 ) . (-2;\ -3). ( − 2 ; − 3 ) .
Кор дар синф
Машқҳо Машқҳо аз рӯйи мавзӯъ гурӯҳбандӣ шудаанд. Дар синф: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13; дар хона: 2, 4, 6, 8, 10, 12.
Муодилаи дуномаълума ва графики он 1. Оё ҷуфти қиматҳои а) x = 1 , x = 1, x = 1 , y = 3 ; y = 3; y = 3 ; x = 0 , x = 0, x = 0 , y = 0 ; y = 0; y = 0 ; x = − 2 , x = -2, x = − 2 , y = 2 ; y = 2; y = 2 ; x = − 1 , x = -1, x = − 1 , y = − 3 y = -3 y = − 3 x 2 − y = 4 x^2 - y = 4 x 2 − y = 4
2. Нишон диҳед, ки муодилаи:
а) ( x + 5 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = − 9 (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = -9 ( x + 5 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = − 9
б) ( x − 7 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 0 (x - 7)^2 + (y + 3)^2 = 0 ( x − 7 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 0
3. Графики муодилаи дуномаълумаро созед:
а) 3 x + 4 y − 12 = 0 ; 3x + 4y - 12 = 0; 3 x + 4 y − 12 = 0 ;
б) − 2 x + 3 y + 6 = 0 ; -2x + 3y + 6 = 0; − 2 x + 3 y + 6 = 0 ;
в) x 2 − y + 1 = 0 ; x^2 - y + 1 = 0; x 2 − y + 1 = 0 ;
г) ( x − 1 ) 2 + y 2 = 2 1 4 ; (x - 1)^2 + y^2 = 2\dfrac{1}{4}; ( x − 1 ) 2 + y 2 = 2 4 1 ;
ғ) x 2 + ( y − 2 ) 2 = 9 ; x^2 + (y - 2)^2 = 9; x 2 + ( y − 2 ) 2 = 9 ;
д) ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 9 4 . (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = \dfrac{9}{4}. ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 4
Муодилаи давра 4. Аз рӯйи муодилаи давраи додашуда координатаҳои марказ ва дарозии радиусро ёбед:
а) x 2 + y 2 − 20 = 0 ; x^2 + y^2 - 20 = 0; x 2 + y 2 − 20 = 0 ;
б) x 2 + y 2 − 2 x − 10 = 0 ; x^2 + y^2 - 2x - 10 = 0; x 2 + y 2 − 2 x − 10 = 0 ;
в) x 2 + y 2 − x − y = 15,5 ; x^2 + y^2 - x - y = 15{,}5; x 2 + y 2 − x − y = 15 , 5 ;
г) x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 23 = 0. x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0. x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 23 = 0.
Системаҳои муодилаҳо 5. Системаи муодилаҳоро бо тарзи графикӣ ҳал кунед:
а) { x 2 + y 2 = 4 , x − 3 y = − 4 ; \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x - 3y = -4; \end{cases} { x 2 + y 2 = 4 , x − 3 y = − 4 ;
б) { ( x − 2 ) 2 + y 2 = 9 , y = 3 ; \begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 9, \\ y = 3; \end{cases} { ( x − 2 ) 2 + y 2 = 9 , y = 3
в) { x 2 + y 2 = 16 , x 2 + ( y − 1 ) 2 = 16 ; \begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x^2 + (y - 1)^2 = 16; \end{cases} { x 2 + y 2 = 16 , x
г) { x 2 + y 2 = 1 , y − 1 = 0. \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y - 1 = 0. \end{cases} { x 2 + y 2 = 1 , y − 1 = 0.
6. Графикҳоро насохта, координатаҳои нуқтаҳои буриши хатҳои зеринро ёбед:
а) параболаи y = 2 x 2 − 5 x + 4 y = 2x^2 - 5x + 4 y = 2 x 2 − 5 x + 4 7 x − y − 6 = 0 ; 7x - y - 6 = 0; 7 x − y − 6 = 0 ;
б) параболаи y = 4 x 2 − x + 1,5 y = 4x^2 - x + 1{,}5 y = 4 x 2 − x + 1 , 5 y = 4,5 ; y = 4{,}5; y = 4 , 5 ;
в) давраи x 2 + y 2 = 68 x^2 + y^2 = 68 x 2 + y 2 = 68 3 x + y = 14 ; 3x + y = 14; 3 x + y = 14 ;
г) давраи x 2 + y 2 = 29 x^2 + y^2 = 29 x 2 + y 2 = 29 x − 2 y 2 = − 3 ; x - 2y^2 = -3; x − 2 y 2 =
ғ) гиперболаи x y = 2 xy = 2 x y = 2 2 x 2 + 7 x − 2 y = 5. 2x^2 + 7x - 2y = 5. 2 x 2 + 7 x − 2 y = 5.
7. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
а) { x 2 + x y = 9 + 3 y , 3 x + 2 y = − 1 ; \begin{cases} x^2 + xy = 9 + 3y, \\ 3x + 2y = -1; \end{cases} { x 2 + x y = 9 + 3 y , 3 x + 2 y = − 1 ;
б) { x + 2 y = 4 , x 2 + x y = y − 5 ; \begin{cases} x + 2y = 4, \\ x^2 + xy = y - 5; \end{cases} { x + 2 y = 4 , x 2 + x y = y − 5 ;
в) { x 2 y 2 + 2 x y = 80 , x − y = 2 ; \begin{cases} x^2y^2 + 2xy = 80, \\ x - y = 2; \end{cases} { x 2 y 2 + 2 x y = 80 , x − y =
г) { 2 x 2 + 3 y 2 = 5 , 2 x + y = 3 ; \begin{cases} 2x^2 + 3y^2 = 5, \\ 2x + y = 3; \end{cases} { 2 x 2 + 3 y 2 = 5 , 2 x + y = 3
ғ) { 3 x 2 − 4 y 2 = − 1 , x + y = 2 ; \begin{cases} 3x^2 - 4y^2 = -1, \\ x + y = 2; \end{cases} { 3 x 2 − 4 y 2 = − 1 , x + y = 2
д) { x 2 + 2 y 2 − 3 x y + 4 x − 3 y = 5 , x + y = 3 ; \begin{cases} x^2 + 2y^2 - 3xy + 4x - 3y = 5, \\ x + y = 3; \end{cases} { x 2 + 2 y 2 − 3 x y + 4 x −
е) { 2 x 2 + y 2 + 3 x + y = 33 , x 2 − y 2 + 2 x − y = 9 ; \begin{cases} 2x^2 + y^2 + 3x + y = 33, \\ x^2 - y^2 + 2x - y = 9; \end{cases} { 2 x 2 + y 2 + 3 x + y =
ё) { 2 ( x + y ) 2 − 3 ( x + y ) = 35 , x y − ( x + y ) = 1 ; \begin{cases} 2(x + y)^2 - 3(x + y) = 35, \\ xy - (x + y) = 1; \end{cases} { 2 ( x + y ) 2 − 3 ( x + y ) = 35 ,
ж) { x 2 − x y = 3 , x y + y 2 = 2 ; \begin{cases} x^2 - xy = 3, \\ xy + y^2 = 2; \end{cases} { x 2 − x y = 3 , x y + y 2 = 2
з) { ( x + y ) 2 + 2 ( x + y ) = 99 , ( x − y ) 2 − ( x − y ) = 2 ; \begin{cases} (x + y)^2 + 2(x + y) = 99, \\ (x - y)^2 - (x - y) = 2; \end{cases} { ( x + y ) 2 + 2 ( x + y ) = 99 ,
и) { x 2 − 3 x y + 9 y 2 = 67 , x 2 + 3 x y + 9 y 2 = 103 ; \begin{cases} x^2 - 3xy + 9y^2 = 67, \\ x^2 + 3xy + 9y^2 = 103; \end{cases} { x 2 − 3 x y + 9 y 2 = 67 ,
к) { x 2 + x y = 36 , x y + y 2 = 45. \begin{cases} x^2 + xy = 36, \\ xy + y^2 = 45. \end{cases} { x 2 + x y = 36 , x y + y 2 = 45.
8. Бо истифодаи формулаҳо барои x 2 + y 2 , x^2 + y^2, x 2 + y 2 , x 3 + y 3 , x^3 + y^3, x 3 + y 3 , x 4 + y 4 x^4 + y^4 x 4 + y 4 19 · 2/2 ) системаҳои симметриро ҳал кунед:
а) { x + y = 5 2 x y , x 3 + y 3 = 8 1 8 ; \begin{cases} x + y = \dfrac{5}{2}xy, \\ x^3 + y^3 = 8\dfrac{1}{8}; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + y = 2 5 x y , x 3 + y 3 = 8 8 1 ;
б) { x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 133 , x 2 − x y + y 2 = 7 ; \begin{cases} x^4 + x^2y^2 + y^4 = 133, \\ x^2 - xy + y^2 = 7; \end{cases} { x 4 + x 2 y 2 +
в) { x 2 + y 2 + x y = 21 , x + y + x y = 9 ; \begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 21, \\ x + y + xy = 9; \end{cases} { x 2 + y 2 + x y = 21 , x +
г) { x 2 + y 2 + 2 x + 2 y = 30 , x 2 + y 2 + x y = 27 ; \begin{cases} x^2 + y^2 + 2x + 2y = 30, \\ x^2 + y^2 + xy = 27; \end{cases} { x 2 + y 2 + 2 x + 2 y = 30
ғ) { x 2 y + y 2 x = 6 , 1 x + 1 y = 2 3 ; \begin{cases} \dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{x} = 6, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧
д) { x 2 y + y 2 x = 18 2 3 , x + y = 8. \begin{cases} \dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{x} = 18\dfrac{2}{3}, \\ x + y = 8. \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧
Бисёраъзогӣ ва масъалаҳо 9. Агар сеаъзогии квадратии a x 2 − 3 x + 2 b ax^2 - 3x + 2b a x 2 − 3 x + 2 b x 2 + 2 a x − 3 x^2 + 2ax - 3 x 2 + 2 a x − 3 x 3 x^3 x 3 x 2 x^2 x 2 5 5 5 10 10 10 a a a b b b
10. Суммаи ду адад ба 20 20 20 75 75 75
11. Периметри росткунҷа ба 24 24 24 2 2 2 3 3 3 2 2 2
12. Масоҳати росткунҷа ба 12 12 12 2 ^2 2 1 1 1
13. Дарозии тарафҳои ду квадрат бо ададҳои 5 5 5 4 4 4 3 3 3 24 24 24 2 ^2 2
Вазифаи хонагӣ Дар ин дарс
Ман метавонам қоидаҳои фаслҳои 15–20-ро ба хотир орам: муодилаи дуномаълума, давра, ҳалли графикӣ, гузориш, ҷамъкунӣ, системаҳои якҷинс ва симметрӣ, масъалаҳои матнӣ.Ман метавонам системаҳои муодилаҳои дараҷаи дуюмро бо тарзҳои гуногун ҳал кунам.Ман мефаҳмам , кадом мавзӯъро пеш аз кори санҷишӣ ё санҷиши нимсола бояд такрор кунам. Оё медонед? То асри XVII муодилаи дараҷаи якумро ба намуди a x = b ax = b a x = b a x + b = 0 ax + b = 0 a x + b = 0 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f ( x
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадом мавзӯъ барои ман душвортар аст: давра, системаи якҷинс ё симметрӣ, ё масъалаи матнӣ? Бо кадом қадам ба худ кумак мекунам?
Ҷуфти ( − 1 ; 3 ) (-1;\ 3) ( − 1 ; 3 ) x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 6 = 0 x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0 x 2 + y 2 + 2 x − 6 y
Системаи { x 2 + y 2 = 25 , y = 7 \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = 7 \end{cases} { x 2 + y 2 = 25 , y = 7
Як ҷавобро интихоб кунед A ду ҳал B ҳал надорад C чор ҳал D як ҳал
2
+
2 x y −
y 2 ) =
22 −
22 ,
2
=
22 ,
2
=
9 22 y 2 =
22 ,
9
.
;
2
+
(
y
−
1
) 2
=
16
;
− 3 ;
2
;
;
;
3
y
=
5
,
x + y = 3 ;
33
,
x 2 − y 2 + 2 x − y = 9 ;
x
y
−
(
x
+
y
)
=
1
;
;
( x − y ) 2 − ( x − y ) = 2 ;
x 2 + 3 x y + 9 y 2 = 103 ;
y
4
=
133
,
x 2 − x y + y 2 = 7 ;
y
+
x
y
=
9
;
,
x 2 + y 2 + x y = 27 ;
y x 2
+
x y 2
=
6
,
x 1 + y 1 = 3 2 ;
y
x 2
+
x y 2
=
18
3 2
,
x + y = 8.
)
=
0
+
6 =
0