19 · 2/2. Системаҳои симметрӣ - Алгебра — синфи 9
Ифодаҳои симметрӣ
Ифодаи аз ду тағйирёбандаи x ва y вобаста симметрӣ аст, агар бо ивази x ба y ва y ба x қимати он тағйир наёбад. Масалан, симметрианд, лекин ва не.
навбатӣ20 · 1/3. Масъалаҳои ададӣ
1 соат
x2
−
6xy+
y2,
x+y2, (x+y)+5xy+x1+y1 Бисёраъзогиҳои симметрии содда: u=x+y ва v=x⋅y. Онҳо асосианд: ҳар бисёраъзогии симметриро ба воситаи u ва v навиштан мумкин аст. Масалан,
x2+y2=(x+y)2−2xy=u2−2v, x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=u(u2−3v). Бо ҳамин роҳ ифодаҳои дигарро низ ҳосил мекунем:
x4+y4x5+y5x2+xy Формулаҳои боло — формулаҳои (1).
Системаҳоеро, ки ҳамаи муодилаҳояшон бисёраъзогиҳои симметриянд, системаи симметрӣ меноманд. Онҳоро бо гузориши x+y=u, xy=v ва формулаҳои (1) ҳал мекунанд.
Мисоли 1. Системаи {x4+x2y2+y4=91,x2−xy+y2=7-ро ҳал мекунем. Система симметрӣ аст. Бо формулаҳои (1): x4+x2y2+y Системаи нав:
{(u2−2v)2−v2=91,u2−3v=7. Аз муодилаи дуюм u2=3v+7. Ба якум мегузорем: (v+7)2−v2=91, 14v+49=91, v=3, u2=16, u=±4.
Ду система: {x+y=4,xy=3 ва {x+y=−4,xy=3. Бо Виет ҳалҳо: (1; 3), (3; 1) ва (−1; −3), (−3; −1). Санҷиш барои (1; 3): 1+9+81=91, 1−3+9=7.
Мисоли 2. Системаи ⎩⎨⎧yx2+xy2=12,x1+y1=31-ро ҳал мекунем. Бояд x=0, y=0. Бо ин шарт система ба намуди {x3+y3=12xy,3(x+y) меояд — симметрӣ. Гузориш: {u3−3uv=12v,3u=v. Аз дуюм v=3u ва u3−9u2=36u, u(u2−9u−36)=0. Азбаски x=0, y=0, аз v=3u ва v=0 мегирем u=0, пас u2−9u−36=0, u1=12, u2=−3. Мувофиқан v1=36, v2=−9.
Системаҳо: x+y=12, xy=36 медиҳад t2−12t+36=0, t=6: ҳал (6; 6). Системаи x+y=−3, xy=−9 медиҳад t2+3t−9=0, t=2−3±35. Ҷавоб:
(6; 6),(2−3+35; 2−3−35),(2−3−35; 2−3+3. Мисоли 3. Системаи {x2+y2=34,x+y=8-ро ҳал мекунем. Аз x2+y2=u2−2v ва u=8: 34=64−2v, v=15. Решаҳои t2−8t+15=0: t=3 ва t=5. Ҷавоб: (3; 5) ва (5; 3).
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Оё муодилаҳои зерин симметриянд:
- а) x1+y1+2xy=0;
- б) x2+y2+xy2=3;
- в) yx2+xy2
- г) 2(x2+y2)+3xy=0;
- ғ) x+x2+y2=
- д) x2+y2x+y=?
2. Системаи муодилаҳои симметриро ҳал кунед:
- а) {x3+y3=19,(xy+8)(x+y)=2;
- б) ⎩⎨⎧xy(x
- в) {x+y=5,x4+y4=97;
- г) {x2+y2=7+xy,x
- ғ) ⎩⎨⎧
- д) {x3+y3=35,x2y
Дар хона
3. Системаҳоро ҳал кунед:
- а) {x2−xy+y2=1,3x2−2xy+3y2=4;
- б) {2x2−5xy+2y2=20,
- в) {x2+xy=36,xy+y2=
- г) {x2−2xy=1,25,y2+4x
- ғ) {x2+xy+y2=28,x+
- д) {x2−xy+y2=19,x−
- е) ⎩⎨⎧x
- ё) {x2+y2+x+y=26,x
- ж) {x2+y2=100,xy−48=0.
4. Касрро сода кунед: a2−a−6a⋅∣a−3∣.
5. Барои кадом қиматҳои x ифодаҳои а) −x; б) x+3; в) (x−6)2 маъно доранд?
- а) 132−122;
- б) 3132−3122;
- в) 4,9⋅360;
- г) 160⋅3,6;
- ғ) 0,09+0,16
- д) 0,01−0,09
7. Системаҳои муодилаҳои хаттии зеринро ҳал накарда, муайян кунед, ки кадоме аз онҳо ҳалли ягона дорад, ҳал надорад ва ё ҳалли бешумор дорад:
- а) {2x+7y=16,−x+y=1;
- б) {x+4y=11,2x+8y=5;
- в) {x−11y=3,4x−44y=12.
8. Муодилаи x2+2y2−24=0 дода шудааст, ки дар он y аз x ду маротиба хурд аст. Ҷуфти ададҳои мусбати (x; y)-ро ёбед, ки онҳо муодиларо қаноат менамоянд.
9. Барои кадом қиматҳои x баробарии (x−7)2=x−7 ҷой дорад?
10. Махраҷи касри одии дуруст нисбат ба сураташ як воҳид калон аст. Агар ба сурат 3 ва ба махраҷ 7-ро ҷамъ кунем, касре ҳосил мешавад, ки фарқаш аз касри аввала ба 61 баробар аст. Касрро ёбед.
11. Экстремуми функсияи y=−3x2+24x−1-ро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 3–11 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 19 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Ифодаи симметрӣ бо иваз кардани x ва y тағйир намеёбад; u=x+y ва v=xy — бисёраъзогиҳои симметрии асосӣ: x2+y2=u2−2v, x3+y3=u(u2−3v).
- Системаи симметрӣ бо гузориши u, v ба системаи содда меояд; сипас x ва y — решаҳои t2−ut+
- Ҷуфтҳои (x; y) ва (y; x) ҳар дуро нависед; агар u2−4v<0, ҳалли ҳақиқӣ нест.
Дар ин дарс
- Ман медонам, ки ифода ва бисёраъзогии симметрӣ чист ва чаро x+y ва xy асосианд.
- Ман метавонам x2+y2, x3+y3 ва дигар ифодаҳои симметриро ба воситаи u=x+y ва v=xy нависам.
- Ман метавонам системаи симметриро бо гузориши u ва v ва теоремаи Виет ҳал кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Квадрати суммаро кушоед: (x+y)2.
- Системаро ҳал кунед: x+y=7, xy=12. Кадом муодилаи квадратӣ решаҳояш x ва y мебошанд?
- Кадом ифода: x2+y2 ё x2−y — ҳангоми иваз кардани x ва бетағйир мемонад?
Ҷавобҳо
- x2+2xy+y2. 2) x ва y — решаҳои (Виет), яъне ва : ва 3)
Вазъият барои андешаронӣАгар x+y=8 ва xy=15 бошад, ададҳои x ва y кадомҳоянд? Қимати x2+y2-ро бе ёфтани x ва y ҳисоб карда метавонед?
ТаърифБисёраъзогии P(x; y) симметрӣ аст, агар P(x; y)=P(y;
Дар хотир доредНақшаи ҳал: 1) муодилаҳоро ба воситаи u=x+y ва v=xy менависем; 2) системаи u, v-ро ҳал мекунем; 3) барои ҳар ҷуфти системаи -ро ҳал мекунем: ва — решаҳои муодилаи (теоремаи Виет). Агар бошад, ҷуфти ҳақиқӣ нест. Ҷуфтҳои ва ҳар дуро нависед.
Калимаҳои калидӣифодаи симметрӣбисёраъзогии симметрӣсистемаи симметрӣгузориши u = x + y, v = xyтеоремаи Виет
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро ҳар як ҳалли системаи симметрӣ бо ҷуфти баръакс ҳам ҳал аст? Кай системаи x+y=u, xy=v ҳал надорад?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман метавонам фаҳмонам, ки ифода ва бисёраъзогии симметрӣ чист.
- Ман метавонам -ро ба воситаи ва нависам.
Ифодаи x−y симметрӣ аст.
Системаи {x+y=4,xy=5 чандто ҳали ҳақиқӣ дорад?
Як ҷавобро интихоб кунед
Кадом ифода симметрӣ аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
+
y2
x2−xy+y2
=(x2+y2)2−2x2y2=(u2−2v)2−2v2=u4−4u2v+2v2,=(x2+y2)(x3+y3)−x2y=(x+y)2−xy=u2−v,=(x+y)2−3xy=u2−3v.
4
=
(x2+
y2)2−
x2y2=
(u2−
2v)2−
v2.
=
x
y
)
=
1;
1+
xy;
y
x
+
y
)
=
20
,
x1+y1=45;
3
+
y3
=
6
x
y
−
1
;
x
1
+
y1
=
41
,
x+y=18;
+
x
y2
=
30.
5x2+8xy+5y2=9;
45
;
y
+
1
=
0
;
x
y
+
y
=
14
;
x
y
+
y
=
7
;
2
y
+
x
y2
=
540
,
x1+y1=125;
+
y
=
0
,
75
x
y
;
;
.
v
=
0.
y
t2−7t+12=0
x
)
.
(u; v)
t2−ut+v=0 u2−4v<0 x2+y2
Ман метавонам системаи симметриро бо гузориши u ва v ҳал кунам. Ман метавонам фаҳмонам, чаро ҷуфти (x; y) ва (y; x) ҳам ҳал аст. 2
2
2
(
x
+
y
)
=
u5
−
5
u3
v
+
5
u
v2
,