19 · 1/2. Системаҳои якҷинса - Алгебра — синфи 9
Бисёраъзогии якҷинс
Барои соддагии кор бисёраъзогии f ( x ; y ) = a x 2 + b x y + c y 2 f(x;\ y) = ax^2 + bxy + cy^2 f ( x ; y ) = a x 2 + b x y + c y 2 x
навбатӣ 19 · 2/2. Системаҳои симметрӣ 1 соат
x x
f ( x t ; y t ) = a ( x t ) 2 + b ( x t ) ( y t ) + c ( y t ) 2 = t 2 ( a x 2 + b x y + c y 2 ) = t 2 f ( x ; y ) . f(xt;\ yt) = a(xt)^2 + b(xt)(yt) + c(yt)^2 = t^2(ax^2 + bxy + cy^2) = t^2 f(x;\ y). f ( x t ; y t ) = a ( x t ) 2 + b ( x t ) ( y t ) + c ( y t ) 2 = t 2 ( a x 2 + b x y + c y 2 ) = t 2 f ( x ; y ) . Функсияҳоро, ки чунин хосият доранд, якҷинс меноманд. Масалан, f ( x ; y ) = x 2 + 2 3 x y + 5 y 2 f(x;\ y) = x^2 + \dfrac{2}{3}xy + 5y^2 f ( x ; y ) = x 2 + 3 2 x y + 5 y 2 F ( x ; y ) = x 2 + x y + y 2 F(x;\ y) = x^2 + xy + y^2 F ( x ; y ) = x 2 + x y + y 2 f ( x ; y ) = 2 x 2 + 3 x y 2 + 4 f(x;\ y) = 2x^2 + 3xy^2 + 4 f ( x ; y ) = 2 x 2 + 3 x y 2 + 4 F ( x ; y ) = − 2 x 3 + x y − y 2 F(x;\ y) = -2x^3 + xy - y^2 F ( x ; y ) = − 2 x 3 + x y − y 2
Ҳалли муодилаи якҷинс Нишон медиҳем, ки муодилаи a x 2 + b x y + c y 2 = 0 ax^2 + bxy + cy^2 = 0 a x 2 + b x y + c y 2 = 0 ( 0 ; 0 ) (0;\ 0) ( 0 ; 0 ) a ≠ 0 a \ne 0 a = 0 y = 0 y = 0 y = 0 a x 2 = 0 , ax^2 = 0, a x 2 = 0 , x = 0 x = 0 x = 0 ( 0 ; 0 ) . (0;\ 0). ( 0 ; 0 ) . y ≠ 0 , y \ne 0, y = 0 , y 2 y^2 y 2
a ( x y ) 2 + b ⋅ x y + c = 0. a\left(\dfrac{x}{y}\right)^2 + b \cdot \dfrac{x}{y} + c = 0. a ( y x ) 2 + b ⋅ y x + c = 0. Бо гузориши t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x a t 2 + b t + c = 0 at^2 + bt + c = 0 a t 2 + b t + c = 0 D D D
D > 0 D > 0 D > 0 t 1 , t_1, t 1 , t 2 ; t_2; t 2 ; x = t 1 y x = t_1y x = t 1 y x = t 2 y x = t_2y x = t 2 y D = 0 D = 0 D = 0 t 0 ; t_0; t 0 ; x = t 0 y ; x = t_0y; x = t 0 y ; D < 0 D < 0 D < 0 ( 0 ; 0 ) (0;\ 0) ( 0 ; 0 ) (Агар a = 0 a = 0 a = 0 y ( b x + c y ) = 0 y(bx + cy) = 0 y ( b x + cy ) = 0 y = 0 y = 0 y = 0 x x x
Системаи якҷинс Системаи якҷинс бо ёрии табдилдиҳӣ ва гузориши тағйирёбандаи нав ба муодилаи квадратӣ меояд. Нақша: муодилаи якумро ба d 2 , d_2, d 2 , d 1 d_1 d 1 0 0 0 t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x
Мисоли 1. Системаи { 3 x 2 − 2 x y = 160 , x 2 − 3 x y − 2 y 2 = 8 \begin{cases} 3x^2 - 2xy = 160, \\ x^2 - 3xy - 2y^2 = 8 \end{cases} { 3 x 2 − 2 x y = 160 , x 2 − 3 x y − 2 y 2 = 8 20 20 20
3 x 2 − 2 x y − ( 20 x 2 − 60 x y − 40 y 2 ) = 160 − 160 ⟹ 17 x 2 − 58 x y − 40 y 2 = 0. 3x^2 - 2xy - (20x^2 - 60xy - 40y^2) = 160 - 160 \;\Longrightarrow\; 17x^2 - 58xy - 40y^2 = 0. 3 x 2 − 2 x y − ( 20 x 2 − 60 x y − 40 y 2 ) = 160 − 160 ⟹ 17 x 2 − 58 x y − 40 y 2 = 0. Системаи { 3 x 2 − 2 x y = 160 , 17 x 2 − 58 x y − 40 y 2 = 0 \begin{cases} 3x^2 - 2xy = 160, \\ 17x^2 - 58xy - 40y^2 = 0 \end{cases} { 3 x 2 − 2 x y = 160 , 17 x 2 − 58 x y − 40 y 2 = 0 y = 0 , y = 0, y = 0 , x = 0 x = 0 x = 0 ( 0 ; 0 ) (0;\ 0) ( 0 ; 0 ) y ≠ 0 y \ne 0 y = 0 y 2 y^2 y 2 t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x 17 t 2 − 58 t − 40 = 0 , 17t^2 - 58t - 40 = 0, 17 t 2 − 58 t − 40 = 0 , t 1 = 4 , t_1 = 4, t 1 = 4 , t 2 = − 10 17 . t_2 = -\dfrac{10}{17}. t 2 = − 17 10 .
Ҳолати x = 4 y x = 4y x = 4 y 3 ⋅ 16 y 2 − 8 y 2 = 160 , 3 \cdot 16y^2 - 8y^2 = 160, 3 ⋅ 16 y 2 − 8 y 2 = 160 , 40 y 2 = 160 , 40y^2 = 160, 40 y 2 = 160 , y 2 = 4 , y^2 = 4, y 2 = 4 , y = ± 2 , y = \pm 2, y = ± 2 , x = ± 8. x = \pm 8. x = ± 8.
Ҳолати x = − 10 17 y x = -\dfrac{10}{17}y x = − 17 10 y 300 289 y 2 + 20 17 y 2 = 160 , \dfrac{300}{289}y^2 + \dfrac{20}{17}y^2 = 160, 289 300 y 2 + 17 20 y 2 = 160 , 640 289 y 2 = 160 , \dfrac{640}{289}y^2 = 160, 289 640 y 2 = 160 , y 2 = 289 4 , y^2 = \dfrac{289}{4}, y 2 = 4 289 , y = ± 17 2 , y = \pm\dfrac{17}{2}, y = ± 2 17 , x = ∓ 5. x = \mp 5. x = ∓ 5.
Ҷавоб: ( 8 ; 2 ) , (8;\ 2), ( 8 ; 2 ) , ( − 8 ; − 2 ) , (-8;\ -2), ( − 8 ; − 2 ) , ( − 5 ; 17 2 ) , \left(-5;\ \dfrac{17}{2}\right), ( − 5 ; 2 17 ) , ( 5 ; − 17 2 ) . \left(5;\ -\dfrac{17}{2}\right). ( 5 ; − 2 17 ) .
Мисоли 2. Системаи { 3 x 2 + x y − 2 y 2 = 0 , 2 x 2 − 3 x y + y 2 = − 1 \begin{cases} 3x^2 + xy - 2y^2 = 0, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = -1 \end{cases} { 3 x 2 + x y − 2 y 2 = 0 , 2 x 2 − 3 x y + y 2 = − 1 (0 0 0 дар рост). Ҷуфти ( 0 ; 0 ) (0;\ 0) ( 0 ; 0 ) y ≠ 0. y \ne 0. y = 0. t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x 3 t 2 + t − 2 = 0 , 3t^2 + t - 2 = 0, 3 t 2 + t − 2 = 0 , t 1 = − 1 , t_1 = -1, t 1 = − 1 , t 2 = 2 3 . t_2 = \dfrac{2}{3}. t 2 = 3 2 .
Агар x = − y x = -y x = − y 2 y 2 + 3 y 2 + y 2 = 6 y 2 = − 1 2y^2 + 3y^2 + y^2 = 6y^2 = -1 2 y 2 + 3 y 2 + y 2 = 6 y 2 = − 1 x = 2 3 y x = \dfrac{2}{3}y x = 3 2 y 8 9 y 2 − 2 y 2 + y 2 = − 1 9 y 2 = − 1 , \dfrac{8}{9}y^2 - 2y^2 + y^2 = -\dfrac{1}{9}y^2 = -1, 9 8 y 2 − 2 y 2 + y y 2 = 9 , y^2 = 9, y 2 = 9 , y = ± 3 , y = \pm 3, y = ± 3 , x = ± 2. x = \pm 2. x = ± 2. ( 2 ; 3 ) , (2;\ 3), ( 2 ; 3 ) , ( − 2 ; − 3 ) . (-2;\ -3). ( − 2 ; − 3 ) .
Мисоли 3. Системаи { x 2 + x y = 15 , x y + y 2 = 10 \begin{cases} x^2 + xy = 15, \\ xy + y^2 = 10 \end{cases} { x 2 + x y = 15 , x y + y 2 = 10 10 , 10, 10 , 15 15 15 10 x 2 − 5 x y − 15 y 2 = 0 , 10x^2 - 5xy - 15y^2 = 0, 10 x 2 − 5 x y − 15 y 2 = 0 , 2 x 2 − x y − 3 y 2 = 0. 2x^2 - xy - 3y^2 = 0. 2 x 2 − x y − 3 y 2 = 0. t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x (y = 0 y = 0 y = 0 ҳал нест): 2 t 2 − t − 3 = 0 , 2t^2 - t - 3 = 0, 2 t 2 − t − 3 = 0 , t 1 = 3 2 , t_1 = \dfrac{3}{2}, t 1 = 2 3 , t 2 = − 1. t_2 = -1. t 2 = − 1. x = − y x = -y x = − y x 2 + x y = 0 ≠ 15 , x^2 + xy = 0 \ne 15, x 2 + x y = 0 = 15 , x = 3 2 y x = \dfrac{3}{2}y x = 2 3 y 5 2 y 2 = 10 , \dfrac{5}{2}y^2 = 10, 2 5 y 2 = 10 , y = ± 2 , y = \pm 2, y = ± 2 , x = ± 3. x = \pm 3. x = ± 3. ( 3 ; 2 ) , (3;\ 2), ( 3 ; 2 ) , ( − 3 ; − 2 ) . (-3;\ -2). ( − 3 ; − 2 ) .
Системаи якҷинса: x² + xy = 15, xy + y² = 10
x² + xy = 15; xy + y² = 10 10(x² + xy) = 15(xy + y²)
2x² − xy − 3y² = 0; t = x/y
2t² − t − 3 = 0; t₁ = 3/2, t₂ = −1
x = 1,5y: 1,5y² + y² = 10; y = ±2
x = −y: x² + xy = 0 ≠ 15
Ҷавоб: (3; 2) ва (−3; −2)
Тарафҳои чапи ҳарду муодила — бисёраъзогиҳои якҷинси дараҷаи ду; тарафҳои рост — адад.
система x² + xy = 15; xy + y² = 10
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Кадоме аз ифодаҳои зерин якҷинсаанд:
а) a x 2 + 26 x y + 3 y 2 ; ax^2 + 26xy + 3y^2; a x 2 + 26 x y + 3 y 2 ;
б) 4 x − 3 x y − y 2 ; 4x - 3xy - y^2; 4 x − 3 x y − y 2 ;
в) 2 x 3 − x y 2 + 3 y ; 2x^3 - xy^2 + 3y; 2 x 3 − x y 2 + 3 y ;
г) 5 x y − y + 3 ; 5xy - y + 3; 5 x y − y + 3 ;
ғ) 4 x y − 2 x 2 y 2 + 3 y 4 ; 4xy - 2x^2y^2 + 3y^4; 4 x y − 2 x 2 y 2 + 3 y 4 ;
д) x 3 + y 3 − 3 x 2 y + 3 x y 2 x^3 + y^3 - 3x^2y + 3xy^2 x 3 + y 3 − 3 x 2 y + 3 x y 2
2. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
а) { x y = 2 , 9 x 2 + y 2 = 13 ; \begin{cases} xy = 2, \\ 9x^2 + y^2 = 13; \end{cases} { x y = 2 , 9 x 2 + y 2 = 13 ;
б) { x 2 ( x + y ) = 80 , 2 x 2 + 3 x 2 y = 80 ; \begin{cases} x^2(x + y) = 80, \\ 2x^2 + 3x^2y = 80; \end{cases} { x 2 ( x + y ) = 80 , 2 x 2 + 3
в) { x 4 − y 4 = 15 , x 3 y − x y 3 = 6 ; \begin{cases} x^4 - y^4 = 15, \\ x^3y - xy^3 = 6; \end{cases} { x 4 − y 4 = 15 , x 3 y
г) { x 3 + y 3 = 1 , x 2 y + 2 x y 2 + y 3 = 2 ; \begin{cases} x^3 + y^3 = 1, \\ x^2y + 2xy^2 + y^3 = 2; \end{cases} { x 3 + y 3 = 1 , x
ғ) { 6 x 2 + x y − 2 y 2 = 0 , 3 x 2 − x y − 2 y 2 = 0 ; \begin{cases} 6x^2 + xy - 2y^2 = 0, \\ 3x^2 - xy - 2y^2 = 0; \end{cases} { 6 x 2 + x y − 2 y 2 = 0 ,
д) { x 4 + 6 x 2 y 2 + y 4 = 136 , x 3 y + x y 3 = 30. \begin{cases} x^4 + 6x^2y^2 + y^4 = 136, \\ x^3y + xy^3 = 30. \end{cases} { x 4 + 6 x 2 y 2 +
Дар хона 3. Муодилаҳои якҷинсро ҳал кунед:
а) x 2 − 4 x y + 3 y 2 = 0 ; x^2 - 4xy + 3y^2 = 0; x 2 − 4 x y + 3 y 2 = 0 ;
б) 2 x 2 + 5 x y − 3 y 2 = 0 ; 2x^2 + 5xy - 3y^2 = 0; 2 x 2 + 5 x y − 3 y 2 = 0 ;
в) x 2 + x y + y 2 = 0. x^2 + xy + y^2 = 0. x 2 + x y + y 2 = 0.
4. Системаи якҷинсро ҳал кунед:
а) { 2 x 2 − 2 x y + y 2 = 5 , 3 x 2 + x y + y 2 = 15 ; \begin{cases} 2x^2 - 2xy + y^2 = 5, \\ 3x^2 + xy + y^2 = 15; \end{cases} { 2 x 2 − 2 x y + y 2 = 5 , 3 x 2 + x y + y 2 = 15 ;
б) { x 2 + x y + 3 y 2 = 15 , 2 x 2 − x y + 5 y 2 = 20. \begin{cases} x^2 + xy + 3y^2 = 15, \\ 2x^2 - xy + 5y^2 = 20. \end{cases} { x 2 + x y + 3 y 2 = 15 , 2
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 3 ва 4.
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 19 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад; он ба охири мавзӯъ тааллуқ дорад: 19 · 2/2 .
Хулоса
Бисёраъзогии якҷинси дараҷаи ду: a x 2 + b x y + c y 2 ; ax^2 + bxy + cy^2; a x 2 + b x y + c y 2 ; f ( x t ; y t ) = t 2 f ( x ; y ) . f(xt;\ yt) = t^2f(x;\ y). f ( x t ; y t ) = t 2 f ( x ; y ) .
Муодилаи якҷинс a x 2 + b x y + c y 2 = 0 ax^2 + bxy + cy^2 = 0 a x 2 + b x y + c y 2 = 0 t = x y t = \dfrac{x}{y} t =
Системаи якҷинс: тарафҳои рост баробар карда мешаванд, муодилаи якҷинси 0 0 0 t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x
Дар ин дарс
Ман медонам , ки бисёраъзогии якҷинси дараҷаи ду ва муодилаи якҷинс чист.Ман метавонам муодилаи якҷинси a x 2 + b x y + c y 2 = 0 ax^2 + bxy + cy^2 = 0 a x 2 + b x y + c y 2 = 0 t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x Ман метавонам системаи якҷинсро бо ёрии гузориш ҳал кунам. Такрор (2 дақиқа)
Муодиларо ҳал кунед: 2 t 2 − t − 3 = 0. 2t^2 - t - 3 = 0. 2 t 2 − t − 3 = 0.
Қимати ифодаи x 2 − 2 x y x^2 - 2xy x 2 − 2 x y x = 3 , x = 3, x = 3 , y = 1 y = 1 y = 1
Ҳар ду тарафи муодилаи 3 x 2 − 6 x y = 0 3x^2 - 6xy = 0 3 x 2 − 6 x y = 0 3 3 3 x x x
Ҷавобҳо
t = 3 2 t = \dfrac{3}{2} t = 2 3 t = − 1 t = -1 t = − 1 D = 1 + 24 = 25 D = 1 + 24 = 25 D = 1 + Вазъият барои андешаронӣ Дар f ( x ; y ) = x 2 + x y + y 2 f(x;\ y) = x^2 + xy + y^2 f ( x ; y ) = x 2 + x y + y 2 x x x y y y 2 x 2x 2 x 2 y 2y 2 y 3 x 3x 3 x 3 y 3y 3 y x 2 + x y + 1 x^2 + xy + 1 x 2 + x y + 1
Таъриф Муодилаи якҷинс — муодилаи дуномаълумаи f ( x ; y ) = 0 , f(x;\ y) = 0, f ( x ; y ) = 0 , f ( x ; y ) f(x;\ y) f ( x ; y ) a x 2 +
Таъриф Системаи якҷинс — системаи намуди
{ a 1 x 2 + b 1 x y + c 1 y 2 = d 1 , a 2 x 2 + b 2 x y + c 2 y 2 = d 2 , \begin{cases} a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 = d_1, \\ a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2 = d_2, \end{cases} { a 1 x Калимаҳои калидӣ бисёраъзогии якҷинс муодилаи якҷинс системаи якҷинс гузориши t = x/y дараҷаи ду
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро пеш аз ба y 2 y^2 y 2 y = 0 y = 0 y = 0 0 0 0
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман метавонам фаҳмонам, ки муодилаи якҷинс чист ва мисол орам.
Ман метавонам бо гузориши
Ҷуфти ( 0 ; 0 ) (0;\ 0) ( 0 ; 0 ) a x 2 + b x y + c y 2 = 0 ax^2 + bxy + cy^2 = 0 a x 2 + b x y + c y 2 =
Кадом бисёраъзогӣ якҷинси дараҷаи ду аст?
Як ҷавобро интихоб кунед A 3 x 2 − 4 x y + y 2 3x^2 - 4xy + y^2 3 x 2 − 4 x y + y 2
B 2 x 3 + x y 2x^3 + xy 2 x 3 +
C D Кадом система якҷинс аст?
Як ҷавобро интихоб кунед A { x + y = 4 , x y = 3 \begin{cases} x + y = 4, \\ xy = 3 \end{cases} { x + y = 4 , x y = 3
B { x 2 + x y = 4 , y = 3 \begin{cases} x^2 + xy = 4, \\ y = 3 \end{cases}
C D Муодилаи 3 x 2 − 2 x y − y 2 = 0 3x^2 - 2xy - y^2 = 0 3 x 2 − 2 x y − y 2 = 0 y ≠ 0 y \ne 0 y
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
2
=
− 9 1 y 2 =
− 1 ,
x
2
y
=
80
;
−
x
y 3
=
6
;
2
y
+
2
x
y 2
+
y 3
=
2
;
3 x 2 − x y − 2 y 2 = 0 ;
y
4
=
136
,
x 3 y + x y 3 = 30.
x
2
−
x
y
+
5
y 2
=
20.
y x
24 =
25
x 2 − 2 x y = 0. x^2 - 2xy = 0. x 2 − 2 x y = 0. b x y + c y 2 = 0. ax^2 + bxy + cy^2 = 0. a x 2 + b x y + c y 2 = 0.
2
+
b 1
x
y
+
c 1
y 2
=
d 1
,
a 2 x 2 + b 2 x y + c 2 y 2 = d 2 ,
ки тарафҳои чапи ҳарду муодилааш бисёраъзогиҳои якҷинси дараҷаи ду мебошанд.
t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x
Ман метавонам системаи якҷинсро ҳал кунам. 0
y x
x
y
x 2 + x y + 1 x^2 + xy + 1 x 2 + x y + 1
{ x 2 + x y = 4 , y = 3
{ x 2 + y = 4 , x y = 3 \begin{cases} x^2 + y = 4, \\ xy = 3 \end{cases} { x 2 + y = 4 , x y = 3
{ x 2 + x y = 4 , y 2 − x y = 3 \begin{cases} x^2 + xy = 4, \\ y^2 - xy = 3 \end{cases} { x 2 + x y = 4 , y 2 − x y = 3
=
0
t = x y t = \dfrac{x}{y} t = y x t = 3 t = 3 t = 3 t = − 1 t = -1 t = − 1
t = − 1 t = -1 t = − 1 t = 1 3 t = \dfrac{1}{3} t = 3 1
t = − 3 t = -3 t = − 3 t = 1 t = 1 t = 1
t = 1 t = 1 t = 1 t = − 1 3 t = -\dfrac{1}{3} t = − 3 1