13 · 1/2. Муодилаҳои дараҷаи як, ду ва n - Алгебра — синфи 9
Муодилаи дараҷаи якум ва дуюм
А) Дараҷаи якум. Муодилаи ax+b=0 (a=0) ягона реша дорад: x=−
навбатӣ13 · 2/2. Ҳалли графикӣ ва тақрибӣ. Тартиб додани муодила аз рӯйи решаҳо
1 соат
ab
.
Б) Дараҷаи дуюм. Муодилаи ax2+bx+c=0 (a=0) — шумораи решаҳояш аз аломати дискриминанти D=b2−4ac вобаста аст:
| D | Шумораи решаҳо | Формула |
|---|
| D>0 | ду реша | x1,2=2a−b±D |
| D=0 | як реша | x=−2ab |
| D<0 | реша нест | — |
Агар ҳарду қисмро ба a тақсим кунем ва p=ab, q=ac гирем, муодилаи квадратии ислоҳшуда x2+px+q=0 ҳосил мешавад. Дискриминанти он D1=4p2−q, ва
| D1 | Шумораи решаҳо | Формула |
|---|
| D1>0 | ду реша | x1,2=−2p±D1 |
| D1=0 | як реша | x=−2p |
| D1<0 | реша нест | — |
Муодилаи дараҷаи дуюм аз ду реша зиёд надорад.
Муодилаи дараҷаи n ба намуди
anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0=0,an=0
меояд. Масалан, дараҷаи сеюм: a3x3+a2x2+a (a3=0).
Барои дараҷаи 3 ва 4 формулаҳои решаҳо хеле мураккабанд; барои дараҷаи аз 4 боло формулаи умумӣ вуҷуд надорад. Аммо ин маънои онро надорад, ки чунин муодилаҳоро ҳал кардан мумкин нест: усулҳои махсус ҳастанд — ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан, гузориш (дарси оянда) ва тарзи графикӣ (дарси дигар).
Мисоли 1. Муодилаи x4−x3−16x2+16x=0-ро ҳал мекунем.
Ҳал. Қисми чапро ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем:
x(x3−x2−16x+16)=x(x2(x−1)−16(x−1))=x(x−1)(x2−16)=x(x−1)(x−4)(x+4).
Ҳосили зарб ба нул баробар аст, агар як зарбкунанда ба нул баробар бошад: x=0, x=1, x=4, x=−4.
Ҷавоб: −4; 0; 1; 4.
Мисоли 2. Муодилаи x5−x(8x3+1)+8=0-ро ҳал мекунем.
Ҳал. Қавсро мекушоем: x5−8x4−x+8=x4(x−8)−(x−8)=(x−8)(x4−1)=(x−8)(x−1)(x+1)(x2+1). Муодилаи x2+1=0 реша надорад. Пас решаҳо: x=8, x=1, x=−1.
Ҷавоб: −1; 1; 8.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
- а) 2x+3=0;
- б) 4x+83x=5;
- в) 2,1y2=0;
- г) 32−y+61+3y=
- ғ) (x−1)(x−5)=2(x−1);
- д) x2−2ax+a2−b2=0;
- е) x(x+3)+a(a−3)=2(ax−1);
- ж) (1+ax)⋅x=(1−x)a+a+1.
- а) 2x(8x−13)−(4x−1)2=35;
- б) (18x−1)(1+18x)−8=0;
- в) 2y3=0,5(y2+y)
- г) 4x2(x2−1)−(4x4−1)=−3.
3. Барои кадом қиматҳои бутуни b решаи муодилаи:
- а) bx+24=0;
- б) −3bx+7=0
4. Барои кадом қиматҳои p решаи муодилаи:
- а) 3x+p=−13 адади манфӣ;
- б) 4x=4p−2,5 адади мусбат аст?
5. Барои кадом қиматҳои m муодила ду реша дорад:
- а) 3x2−12x+3m=0;
- б) 3x2−8x+m+6=0;
- в) 9x2−3x+m=0;
- г) x2+mx+4=0;
- ғ) x2+5x+6m=0;
- д) x2+3x+0,5m=0;
- е) 4x2−x−m=0;
- ё) mx2+6x−5=0?
6. Барои кадом қиматҳои k муодила як реша дорад:
- а) 4x2−3x+2k=0;
- б) kx2−x+1=0;
- в) x2−kx+20=0;
- г) 4x2+kx+4=0;
- ғ) x2+2(k−4)x+k2+6k=0;
- д) (2+k)x2+4kx+4k+1=0;
- е) x2+2(k−4)x+k2−4k+3=
- ё) (k−2)x2+(k−5)x−5=0?
Дар хона
- а) (1−6x)(x+6)−x=6+6x(x−11);
- б) 36x2−84x+73=(12x−11)(3x+1);
- в) 5(2−3x)+39=11(3−x);
- г) 2(x+1)2+3(x−5)=(1−x)(1+x
- ғ) x(x2−2x+1)+x(3−x)=7(1−x)
- д) (x3−1)2=x6−15.
8. Решаҳои муодиларо бо ёрии ба зарбкунандаҳо ҷудокунӣ ёбед:
- а) 4x3−8x2−x+2=0;
- б) 3x4−10x3+12x2−6x+1=0.
9. Барои кадом қиматҳои t муодила реша надорад:
- а) 3x2−5tx+12=0;
- б) 16x2−tx+9=0;
- в) x2−0,5tx+9=0;
- г) 6x2+tx+36=0;
- ғ) x2−2tx+1=0;
- д) 3x2−x−t=0;
- е) 8x2−32x+2t=0;
- ё) x2−12x+3t=0?
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 7–9 аз қисми «Дар хона».
Дар ин дарс
- Ман медонам, ки муодилаи дараҷаи n ҳадди аксар n реша дорад.
- Ман метавонам муодилаи квадратиро бо дискриминант ва формулаи Виет ҳал кунам ва шумораи решаҳоро аз D муайян кунам.
- Ман метавонам муодилаи дараҷаи аз ду баландро бо ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан ҳал кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Муодилаи x2−5x+6=0-ро ҳал кунед.
- Ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед: x3−4x.
- Чӣ вақт ҳосили зарби якчанд зарбкунанда ба нул баробар аст?
Ҷавобҳо
- D=25−24=1, x=25±1, 2) 3) Агар ақаллан як зарбкунанда ба нул баробар бошад.
Вазъият барои андешаронӣМуодилаи x2+1=0 реша надорад, x2−1=0 ду реша дорад, x2=0 як реша. Муодилаи дараҷаи сеюм ҳадди ақал чандто реша дорад ва ҳадди аксар чандто? Чӣ тавр бо усули «ҷудо кардани зарбкунандаҳо» ҳал мекунанд?
Теоремаи ВиетАгар x1 ва x2 решаҳои бошанд, пас
(Франсуа Виет, математики фаронсавӣ, 1540–1603.)
Далел (бе исбот)Муодилаи дараҷаи n аз n реша зиёд надорад: дараҷаи сеюм — аз 3, чорум — аз 4 ва ҳоказо. (Мо ин далелро бе исбот қабул мекунем.)
Дар хотир доредab=0 мешавад, агар a=0 ё b=0. Пас муодилаи P(x)=0-ро ба зарбкунандаҳои хаттӣ ва квадратӣ ҷудо карда, ҳар кадомро ба нул баробар мекунем. Барои ҷудо кардан: зарбкунандаи умумӣ аз қавс, гурӯҳбандӣ, формулаҳои зарби кӯтоҳ.
Муодилаи дараҷаи чорум ҳафт реша дошта метавонад.
Муодилаи 2x2−3x+5=0 чанд реша дорад?
Як ҷавобро интихоб кунед
1
x
+
a0=
0
161;
(
y
−
3)+
y+
5;
0;
)
+
96;
+
2;
x(x−2)(x+2). x2
+
px+
q=
0
x1+x2=−p,x1⋅x2=q.