17. Тарзи графикии ҳалли системаи муодилаҳо - Алгебра — синфи 9
Ҳалли система ва графикҳо
Аз синфи 7 медонем: ҳалли системаи ду муодилаи дуномаълума — ҷуфти ададҳои ( x ; y ) , (x;\ y), ( x ; y ) , баробарқувва меноманд.
Системаи хаттиро дар синфи 7 бо тарзи гузориш, ҷамъкунии алгебравӣ ва график ҳал мекардем. Акнун системае дида мебароем, ки як муодилааш дараҷаи якум ва дигараш дараҷаи дуюм аст (хат ва парабола, хат ва давра) ё ҳарду муодила дараҷаи дуюманд. Бо тарзи графикӣ ҳал кардан чунин аст:
Сабаб: нуқтаи графики як муодила — ҷуфтест, ки он муодиларо қаноат мекунад. Нуқтаи ба ҳар ду график тааллуқдошта ҳар ду муодиларо қаноат мекунад, яъне ҳал аст. Шумораи нуқтаҳои умумӣ ба шумораи ҳалҳо баробар аст.
Мисоли 1. Системаи { ( x − 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 9 , x − 1 = 0 \begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 9, \\ x - 1 = 0 \end{cases} {
навбатӣ 18 · 1/2. Тарзи гузориш 1 соат
( x − 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 9 , x − 1 = 0
Санҷиш: барои ( 1 ; 0 ) (1;\ 0) ( 1 ; 0 ) 0 + 9 = 9 , 0 + 9 = 9, 0 + 9 = 9 , 1 − 1 = 0. 1 - 1 = 0. 1 − 1 = 0. ( 1 ; 6 ) (1;\ 6) ( 1 ; 6 ) 0 + 9 = 9 , 0 + 9 = 9, 0 + 9 = 9 , 1 − 1 = 0. 1 - 1 = 0. 1 − 1 = 0. ( 1 ; 0 ) (1;\ 0) ( 1 ; 0 ) ( 1 ; 6 ) . (1;\ 6). ( 1 ; 6 ) .
Мисоли 2. Системаи { 2 x 2 − y = 0 , y − x − 1 = 0 \begin{cases} 2x^2 - y = 0, \\ y - x - 1 = 0 \end{cases} { 2 x 2 − y = 0 , y − x − 1 = 0 y = 2 x 2 y = 2x^2 y = 2 x 2 ( 0 ; 0 ) (0;\ 0) ( 0 ; 0 ) y = x + 1 y = x + 1 y = x + 1 ( − 1 ; 0 ) (-1;\ 0) ( − 1 ; 0 ) ( 0 ; 1 ) (0;\ 1) ( 0 ; 1 )
Нуқтаҳои буриш: ( 1 ; 2 ) (1;\ 2) ( 1 ; 2 ) ( − 1 2 ; 1 2 ) . \left(-\dfrac{1}{2};\ \dfrac{1}{2}\right). ( − 2 1 ; 2 1 ) . 2 ⋅ 1 2 = 2 , 2 \cdot 1^2 = 2, 2 ⋅ 1 2 = 2 , 2 − 1 − 1 = 0 ; 2 - 1 - 1 = 0; 2 − 1 − 1 = 0 ; 2 ⋅ 1 4 = 1 2 , 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}, 2 ⋅ 4 1 = 2 1 , 1 2 + 1 2 = 1 = 1. \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 = 1. 2 1 + 2 1 = 1 = 1. x 1 = 1 , x_1 = 1, x 1 = 1 , y 1 = 2 ; y_1 = 2; y 1 = 2 ; x 2 = − 1 2 , x_2 = -\dfrac{1}{2}, x 2 = − 2 1 , y 2 = 1 2 . y_2 = \dfrac{1}{2}. y 2 = 2 1 .
Мисоли 3. Системаи { y − x 2 = 0 , x y − 4 = 0 \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ xy - 4 = 0 \end{cases} { y − x 2 = 0 , x y − 4 = 0 ( x ≠ 0 ) (x \ne 0) ( x = 0 ) y = x 2 y = x^2 y = x 2 y = 4 x . y = \dfrac{4}{x}. y = x 4 . x ≈ 1,6 , x \approx 1{,}6, x ≈ 1 , 6 , y ≈ 2,5. y \approx 2{,}5. y ≈ 2 , 5.
Тақрибӣ ҷавоб: ( 1,6 ; 2,5 ) . (1{,}6;\ 2{,}5). ( 1 , 6 ; 2 , 5 ) . x 3 = 4 , x^3 = 4, x 3 = 4 , x = 4 3 ≈ 1,587 , x = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587, x = 3 4 ≈ 1 , 587 , y = x 2 ≈ 2,52. y = x^2 \approx 2{,}52. y = x 2 ≈ 2 , 52.
Мисоли 4. Системаи { x y = 6 , x + y = 1 \begin{cases} xy = 6, \\ x + y = 1 \end{cases} { x y = 6 , x + y = 1 x y = 6 xy = 6 x y = 6 x + y = 1 x + y = 1 x + y = 1 ( 0 ; 1 ) (0;\ 1) ( 0 ; 1 ) ( 1 ; 0 ) (1;\ 0) ( 1 ; 0 ) x y = x ( 1 − x ) ≤ 1 4 < 6. xy = x(1 - x) \le \dfrac{1}{4} < 6. x y = x ( 1 − x ) ≤ 4 1 < 6.
Системаро аз рӯйи график ҳал кунед санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Системаи муодилаҳоро бо тарзи графикӣ ҳал кунед:
а) { x + y = 6 , x ⋅ y = 8 ; \begin{cases} x + y = 6, \\ x \cdot y = 8; \end{cases} { x + y = 6 , x ⋅ y = 8 ;
б) { x − y = 5 , x y = 6 ; \begin{cases} x - y = 5, \\ xy = 6; \end{cases} { x − y = 5 , x y = 6 ;
в) { y = x 2 , 2 x − y + 5 = 0 ; \begin{cases} y = x^2, \\ 2x - y + 5 = 0; \end{cases} { y = x 2 , 2 x − y + 5 = 0 ;
г) { y − x 2 = 3 , x + y = 5 ; \begin{cases} y - x^2 = 3, \\ x + y = 5; \end{cases} { y − x 2 = 3 , x + y = 5 ;
ғ) { x 2 + y 2 = 4 , x − 2 = 0 ; \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x - 2 = 0; \end{cases} { x 2 + y 2 = 4 , x − 2 = 0 ;
д) { x + y 2 = 11 , 2 x − y = 7 ; \begin{cases} x + y^2 = 11, \\ 2x - y = 7; \end{cases} { x + y 2 = 11 , 2 x − y = 7 ;
е) { x ⋅ y = − 12 , x − y = 7 ; \begin{cases} x \cdot y = -12, \\ x - y = 7; \end{cases} { x ⋅ y = − 12 , x − y = 7 ;
ё) { x + y = − 8 , x 2 + y 2 + 6 x + 2 y = 0 ; \begin{cases} x + y = -8, \\ x^2 + y^2 + 6x + 2y = 0; \end{cases} { x + y = − 8 , x 2 + y 2 +
ж) { x − y = 1 , x 2 + y 2 = 41 ; \begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 + y^2 = 41; \end{cases} { x − y = 1 , x 2 + y 2 = 41 ;
з) { x 2 + y 2 = 36 , y = x 2 − 5 ; \begin{cases} x^2 + y^2 = 36, \\ y = x^2 - 5; \end{cases} { x 2 + y 2 = 36 , y = x
и) { ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 9 , y − x 2 = 0 ; \begin{cases} (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9, \\ y - x^2 = 0; \end{cases} { ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 =
к) { y = x 2 + 1 , y = 2 ⋅ ∣ x ∣ . \begin{cases} y = x^2 + 1, \\ y = 2 \cdot |x|. \end{cases} { y = x 2 + 1 , y = 2 ⋅ ∣ x ∣.
2. Ду ҳал доштани системаи { ( x − 1 ) 2 + y 2 = 9 , y = x 2 − 6 \begin{cases} (x - 1)^2 + y^2 = 9, \\ y = x^2 - 6 \end{cases} { ( x − 1 ) 2 + y 2 = 9 , y = x 2 − 6
3. Системаи { x 2 + y 2 = 25 , y = x 2 − 5 \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x^2 - 5 \end{cases} { x 2 + y 2 = 25 , y = x 2 − 5
4. Системаро бо тарзи графикӣ ҳал кунед ва ҳалро бо ҷойгузорӣ санҷед:
а) { x 2 + y 2 = 25 , x + y = 1 ; \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x + y = 1; \end{cases} { x 2 + y 2 = 25 , x + y = 1 ;
б) { x y = 6 , y = x + 1 ; \begin{cases} xy = 6, \\ y = x + 1; \end{cases} { x y = 6 , y = x + 1 ;
в) { y = x 2 , y = 2 x + 3. \begin{cases} y = x^2, \\ y = 2x + 3. \end{cases} { y = x 2 , y = 2 x + 3.
Дар хона 5. Қимати ифодаи a 2 − 3 a + 6 a^2 - 3a + 6 a 2 − 3 a + 6 a = − 1 3 a = -\dfrac{1}{3} a = − 3 1
6. Оё таносуби 3,75 : 10,4 = 3 11 13 : 10 2 3 3{,}75 : 10{,}4 = 3\dfrac{11}{13} : 10\dfrac{2}{3} 3 , 75 : 10 , 4 = 3 13 11 : 10 3 2
7. Нишон диҳед, ки барои ҳар гуна адади натуралии k k k ( 8 k + 1 + 8 k ) 2 4 k − 4 k − 1 \dfrac{(8^{k+1} + 8^k)^2}{4^k - 4^{k-1}} 4 k − 4 k − 1 ( 8 k + 1 + 8 k ) 2 192 192 192
а) 45 2 − 31 2 45^2 - 31^2 4 5 2 − 3 1 2 44 2 − 30 2 ; 44^2 - 30^2; 4 4 2 − 3 0 2 ;
б) 297 ⋅ 299 297 \cdot 299 297 ⋅ 299 298 2 ; 298^2; 29 8 2 ;
в) 26 3 − 24 3 26^3 - 24^3 2 6 3 − 2 4 3 ( 26 − 24 ) 3 ; (26 - 24)^3; ( 26 − 24 ) 3 ;
г) ( 17 + 13 ) 3 (17 + 13)^3 ( 17 + 13 ) 3 17 3 + 13 3 . 17^3 + 13^3. 1 7 3 + 1 3 3 .
9. Системаи муодилаҳоро бо тарзи ҷамъкунии алгебравӣ ё гузориш ҳал кунед:
а) { 2 x + 7 y = 9 , y − 2 x = − 1 ; \begin{cases} 2x + 7y = 9, \\ y - 2x = -1; \end{cases} { 2 x + 7 y = 9 , y − 2 x = − 1 ;
б) { 3 x + y = 7 , 2 x − y = 3 ; \begin{cases} 3x + y = 7, \\ 2x - y = 3; \end{cases} { 3 x + y = 7 , 2 x − y = 3 ;
в) { 5 x − 2 y = 6 , x − y = 0 ; \begin{cases} 5x - 2y = 6, \\ x - y = 0; \end{cases} { 5 x − 2 y = 6 , x − y = 0 ;
г) { x + 4 y = 21 , 2 x − y = 6. \begin{cases} x + 4y = 21, \\ 2x - y = 6. \end{cases} { x + 4 y = 21 , 2 x − y = 6.
10. Қаиқ бояд 34 34 34 3 3 3 40 40 40 2 2 2
11. Нишон диҳед, ки функсияи y = 0,1 x 3 + 1 y = 0{,}1x^3 + 1 y = 0 , 1 x 3 + 1
12. Экстремуми функсияи квадратиро ёбед:
а) y = 3 x 2 − 7 ; y = 3x^2 - 7; y = 3 x 2 − 7 ;
б) y = x 2 − 4 x ; y = x^2 - 4x; y = x 2 − 4 x ;
в) y = − 3 x 2 + 18 x − 11. y = -3x^2 + 18x - 11. y = − 3 x 2 + 18 x − 11.
13. Муодилаи биквадратиро ҳал кунед:
а) x 4 − 7 x 2 + 6 = 0 ; x^4 - 7x^2 + 6 = 0; x 4 − 7 x 2 + 6 = 0 ;
б) 3 x 4 − 5 x 2 + 2 = 0. 3x^4 - 5x^2 + 2 = 0. 3 x 4 − 5 x 2 + 2 = 0.
14. Оё графики 2 x 2 + y 2 + 9 x + 9 = 0 2x^2 + y^2 + 9x + 9 = 0 2 x 2 + y 2 + 9 x + 9 = 0 O y Oy O y
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–14 аз қисми «Дар хона».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 17 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Ҳалли системаи ду муодилаи дуномаълума — ҷуфтест, ки ҳарду муодиларо қаноат мекунад. Бо графикҳо: нуқтаҳои умумии графикҳо — ҳалҳо.
Тарзи графикӣ: ҳарду графикро дар як ҳамворӣ месозем, нуқтаҳои умумиро мехонем ва бо ҷойгузорӣ месанҷем.
Ҳалли графикӣ — одатан тақрибӣ; ҳисоби алгебравӣ ҷавоби аниқ медиҳад. Шумораи ҳалҳоро аз расм фаҳмидан осон аст.
Хат ва давра, хат ва парабола ё ду параболаи гуногун метавонанд 0 , 0, 0 , 1 1 1 2 2 2
Дар ин дарс
Ман медонам , ки ҳалли системаи ду муодилаи дуномаълума ҷуфтест, ки ҳарду муодиларо қаноат мекунад, ва метавонам онро аз графикҳо хонам.Ман метавонам системаи якмуодилаи дараҷаи якум ва дуюм ё ду муодилаи дараҷаи дуюмро бо тарзи графикӣ ҳал кунам.Ман метавонам аз расм муайян кунам, ки система чандто ҳал дорад, ва ҳалро бо ҷойгузорӣ санҷам. Такрор (2 дақиқа)
Системаи { x + y = 4 , x − y = 2 \begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 2 \end{cases} { x + y = 4 , x − y = 2
Ду хати рост чандто нуқтаи умумӣ дошта метавонанд?
Ҷуфти ( 1 ; 3 ) (1;\ 3) ( 1 ; 3 ) y = x 2 + 2 y = x^2 + 2 y = x 2 + 2
Ҷавобҳо
Ҷамъ мекунем: 2 x = 6 , 2x = 6, 2 x = 6 , x = 3 , x = 3, x = 3 , y = 1. y = 1. y = 1. 3 + 1 = 4 , 3 + 1 = 4, 3 + 1 =
Вазъият барои андешаронӣ Хати рост ва давра чандто нуқтаи умумӣ дошта метавонанд? Парабола ва хати рост-чӣ? Агар ҳар як нуқтаи умумӣ ҳалли системаи ду муодила бошад, система чандто ҳал дошта метавонад?
Ҳар як муодиларо ба намуде меоранд, ки графикашро сохтан осон бошад (масалан y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x )
Графикҳои ҳарду муодиларо дар як ҳамвории координатавӣ месозем.
Координатаҳои нуқтаҳои умумиро мехонем: онҳо ҳалли система мебошанд.
Ҳар як ҷуфтро ба ҳар ду муодила гузошта месанҷем.
Дар хотир доред Расм ҳалро танҳо тақрибан медиҳад. Ҳалли графикӣ — тақрибӣ, агар координатаҳои нуқта бутун (ё нисфи бутун) набошанд. Аз ин рӯ ҳалро ҳатман бо ҷойгузорӣ месанҷанд. Аммо барои дарёфти шумораи ҳалҳо график хеле қулай аст.
Парабола y = 2x² ва хати рост y = x + 1 дар нуқтаҳои (1; 2) ва (−½; ½) мебуранд. Калимаҳои калидӣ ҳалли система тарзи графикӣ нуқтаи умумии графикҳо система баробарқувва санҷиши ҳал
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро ҳалли графикӣ ҳамеша бояд санҷида шавад? Кай система бо графикҳо ҳал надорад?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман метавонам фаҳмонам, ки системаи муодилаҳои дуномаълума чӣ гуна ҳал карда мешавад.
Ман метавонам аз ду график нуқтаҳои буришро хонам ва онҳоро ҳамчун ҳалли система нависам.
Ман метавонам аз расм шумораи ҳалҳои системаро муайян кунам.
Ман метавонам нишон диҳам, ки ҷуфти додашуда ҳалли системаи ду муодила аст.
Системаи { x 2 + y 2 = 4 , y = x + 3 \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x + 3 \end{cases} { x 2 + y 2 = 4 , y = x + 3
Як ҷавобро интихоб кунед A чор ҳал B як ҳал C ҳал надорад D ду ҳал
Ҷуфти ( 1 ; 4 ) (1;\ 4) ( 1 ; 4 ) { y = x 2 − 1 , x + y = 5 \begin{cases} y = x^2 - 1, \\ x + y = 5 \end{cases} { y = x 2 − 1 , x +
Кадом система аниқан як ҳал дорад?
Як ҷавобро интихоб кунед A { x 2 + y 2 = 1 , x = 1 \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ x = 1 \end{cases} { x 2 + y 2 = 1 , x = 1
B
C D Қадамҳои тарзи графикиро бо тартиби дуруст гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Графикҳои ҳарду муодиларо дар як ҳамвории координатавӣ месозем
2 Координатаҳои нуқтаҳои умумиро аз расм мехонем
3 Ҳар як ҷуфтро ба ҳар ду муодила гузошта месанҷем
4 Ҳар як муодиларо ба намуди барои сохтан қулай меорем, масалан y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x )
6
x
+
2
y
=
0
;
2
−
5
;
9
,
y − x 2 = 0 ;
4 ,
1 2 + 2 = 3. 1^2 + 2 = 3. 1 2 + 2 = 3.
y
=
5
{ x 2 + y 2 = 1 , x + y = 0 \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ x + y = 0 \end{cases} { x 2 + y 2 = 1 , x + y = 0
{ y = x 2 , y = − 1 \begin{cases} y = x^2, \\ y = -1 \end{cases} { y = x 2 , y = − 1
{ x 2 + y 2 = 1 , y = 2 \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = 2 \end{cases} { x 2 + y 2 = 1 , y = 2
