18 · 2/2. Системаҳои ду муодилаи дараҷаи дуюм - Алгебра — синфи 9
Системаи ду муодилаи дараҷаи дуюм
Дар дарси гузашта системаи як муодилаи дараҷаи якум ва як муодилаи дараҷаи дуюмро бо гузориш ҳал кардем. Барои системаи ду муодилаи дараҷаи дуюм усули умумӣ ва ягона нест. Одатан аз ин роҳҳо истифода мебаранд:
тарзи гузориш (як номаълумро аз як муодила ифода мекунем);
тарзи ҷамъкунии алгебравӣ (муодилаҳоро ҷамъ ё тарҳ мекунем, то як номаълум нест шавад);
роҳҳои «сунъӣ»: ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан, гузориш (дарси оянда), табдилдиҳии махсус.
Ҳар як роҳ системаро ба якчанд системаи содда меорад. Ин ҷо каме «ҳунар» лозим аст: намуди системаро дида, роҳи қулайро интихоб кардан лозим.
Мисоли 1. Системаи { x 2 − y 2 = 8 , 3 x + y 2 = 10 \begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ 3x + y^2 = 10 \end{cases} { x 2 − y
навбатӣ 19 · 1/2. Системаҳои якҷинса 1 соат
2
=
8
,
3 x + y 2 = 10
x 2 + 3 x = 18 ⟹ x 2 + 3 x − 18 = 0 ⟹ x 1 = 3 , x 2 = − 6. x^2 + 3x = 18 \;\Longrightarrow\; x^2 + 3x - 18 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = 3,\ x_2 = -6. x 2 + 3 x = 18 ⟹ x 2 + 3 x − 18 = 0 ⟹ x 1 = 3 , x 2 = − 6. Қимати x 1 = 3 x_1 = 3 x 1 = 3 9 + y 2 = 10 , 9 + y^2 = 10, 9 + y 2 = 10 , y 2 = 1 , y^2 = 1, y 2 = 1 , y = ± 1. y = \pm 1. y = ± 1. x 2 = − 6 x_2 = -6 x 2 = − 6 − 18 + y 2 = 10 , -18 + y^2 = 10, − 18 + y 2 = 10 , y 2 = 28 , y^2 = 28, y 2 = 28 , y = ± 2 7 . y = \pm 2\sqrt{7}. y = ± 2 7 . (28 > 0 28 > 0 28 > 0 пас система чор ҳал дорад:
( 3 ; 1 ) , ( 3 ; − 1 ) , ( − 6 ; 2 7 ) , ( − 6 ; − 2 7 ) . (3;\ 1),\quad (3;\ -1),\quad (-6;\ 2\sqrt{7}),\quad (-6;\ -2\sqrt{7}). ( 3 ; 1 ) , ( 3 ; − 1 ) , ( − 6 ; 2 7 ) , ( − 6 ; − 2 7 ) . Агар барои қимати x x x y 2 y^2 y 2 x x x
Мисоли 2. Системаи { x 2 + 2 y 2 = 3 , x y = 1 \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 3, \\ xy = 1 \end{cases} { x 2 + 2 y 2 = 3 , x y = 1 x ≠ 0 , x \ne 0, x = 0 , y ≠ 0 , y \ne 0, y = 0 , y = 1 x . y = \dfrac{1}{x}. y = x 1 .
x 2 + 2 x 2 = 3 ⟹ x 4 − 3 x 2 + 2 = 0. x^2 + \dfrac{2}{x^2} = 3 \;\Longrightarrow\; x^4 - 3x^2 + 2 = 0. x 2 + x 2 2 = 3 ⟹ x 4 − 3 x 2 + 2 = 0. Муодилаи биквадратӣ: x 2 = 1 x^2 = 1 x 2 = 1 x 2 = 2 , x^2 = 2, x 2 = 2 , x = ± 1 , x = \pm 1, x = ± 1 , x = ± 2 . x = \pm\sqrt{2}. x = ± 2 . y = 1 x y = \dfrac{1}{x} y = x 1 y = ± 1 y = \pm 1 y = ± 1 y = ± 1 2 . y = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}. y = ± 2 1 .
( 1 ; 1 ) , ( − 1 ; − 1 ) , ( 2 ; 1 2 ) , ( − 2 ; − 1 2 ) . (1;\ 1),\quad (-1;\ -1),\quad \left(\sqrt{2};\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right),\quad \left(-\sqrt{2};\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right). ( 1 ; 1 ) , ( − 1 ; − 1 ) , ( 2 ; 2 1 ) , ( − 2 ; − 2 . Мисоли 3. Системаи { x 2 − y 2 = 24 , x − y = 4 \begin{cases} x^2 - y^2 = 24, \\ x - y = 4 \end{cases} { x 2 − y 2 = 24 , x − y = 4 ( x − y ) ( x + y ) = 24 (x - y)(x + y) = 24 ( x − y ) ( x + y ) = 24 x − y = 4 , x - y = 4, x − y = 4 , 4 ( x + y ) = 24 , 4(x + y) = 24, 4 ( x + y ) = 24 , x + y = 6. x + y = 6. x + y = 6. { x + y = 6 , x − y = 4 \begin{cases} x + y = 6, \\ x - y = 4 \end{cases} { x + y = 6 , x − y = 4 x = 5 , x = 5, x = 5 , y = 1. y = 1. y = 1. ( 5 ; 1 ) . (5;\ 1). ( 5 ; 1 ) . 25 − 1 = 24 , 25 - 1 = 24, 25 − 1 = 24 , 5 − 1 = 4. 5 - 1 = 4. 5 − 1 = 4.
Мисоли 4. Системаи { x 2 + y 2 = 13 , x y = 6 \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6 \end{cases} { x 2 + y 2 = 13 , x y = 6 x 2 + y 2 x^2 + y^2 x 2 + y 2
( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 x y = 13 + 12 = 25 , ( x − y ) 2 = x 2 + y 2 − 2 x y = 13 − 12 = 1. (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 13 + 12 = 25, \qquad (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 13 - 12 = 1. ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 x y = 13 + 12 = 25 , ( x − y ) 2 = x 2 + y 2 − 2 x y = 13 − 12 = 1. Пас x + y = ± 5 , x + y = \pm 5, x + y = ± 5 , x − y = ± 1. x - y = \pm 1. x − y = ± 1. { x + y = a , x − y = b \begin{cases} x + y = a, \\ x - y = b \end{cases} { x + y = a , x − y = b (a = ± 5 , a = \pm 5, a = ± 5 , b = ± 1 b = \pm 1 b = ± 1
x + y x + y x + y x − y x - y x − y x x x y y y 5 5 5 1 1 1 3 3 3 2 2 2 5 5 5 − 1 -1 − 1 2 2 2 3 3 3 − 5 -5 − 5 1 1 1 − 2 -2 − 2 − 3 -3 − 3 − 5 -5 − 5 − 1 -1 − 1 − 3 -3 − 3 − 2 -2 − 2
Чор ҳал: ( 3 ; 2 ) , (3;\ 2), ( 3 ; 2 ) , ( 2 ; 3 ) , (2;\ 3), ( 2 ; 3 ) , ( − 2 ; − 3 ) , (-2;\ -3), ( − 2 ; − 3 ) , ( − 3 ; − 2 ) . (-3;\ -2). ( − 3 ; − 2 ) . x y = 6 xy = 6 x y = 6
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Системаи муодилаҳоро бо тарзи ҷамъкунии алгебравӣ ҳал кунед:
а) { x 2 − y 2 = 7 , x 2 + y 2 = 25 ; \begin{cases} x^2 - y^2 = 7, \\ x^2 + y^2 = 25; \end{cases} { x 2 − y 2 = 7 , x 2 + y 2 = 25 ;
б) { x 2 + 2 y 2 = 228 , 3 x 2 − 2 y 2 = 172 ; \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 228, \\ 3x^2 - 2y^2 = 172; \end{cases} { x 2 + 2 y 2 = 228 , 3 x
в) { x 2 − y 2 = 9 , y − x 2 = 0 ; \begin{cases} x^2 - y^2 = 9, \\ y - x^2 = 0; \end{cases} { x 2 − y 2 = 9 , y − x
г) { x 2 + y 2 = 25 , − y 2 + x = − 5. \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ -y^2 + x = -5. \end{cases} { x 2 + y 2 = 25 , − y 2
2. Системаи муодилаҳоро бо истифодаи тарзи ҷамъкунии алгебравӣ ҳал кунед:
а) { x 2 + y 2 = 17 , x 2 − 2 y 2 = 14 ; \begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x^2 - 2y^2 = 14; \end{cases} { x 2 + y 2 = 17 , x 2 − 2 y 2 = 14 ;
б) { x y + x = 56 , y − x y = − 42 ; \begin{cases} xy + x = 56, \\ y - xy = -42; \end{cases} { x y + x = 56 , y − x y = − 42 ;
в) { 2 x − 3 x y + 4 y = 0 , x + 3 x y − 3 y = 1 ; \begin{cases} 2x - 3xy + 4y = 0, \\ x + 3xy - 3y = 1; \end{cases} { 2 x − 3 x y + 4 y = 0 , x + 3 x y − 3 y = 1 ;
г) { x 2 + y 2 = 10 , x 2 − y 2 = 8 ; \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x^2 - y^2 = 8; \end{cases} { x 2 + y 2 = 10 , x 2
ғ) { 3 x + x y = − 18 , y − x y = 30 ; \begin{cases} 3x + xy = -18, \\ y - xy = 30; \end{cases} { 3 x + x y = − 18 , y − x y = 30 ;
д) { x 2 + 3 x − 4 y = 20 , − x 2 + 2 x − y = 5. \begin{cases} x^2 + 3x - 4y = 20, \\ -x^2 + 2x - y = 5. \end{cases} { x 2 + 3 x − 4 y = 20 , − x 2 +
3. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
а) { x + y 3 = 1 , 1 x − 1 y = 5 6 ; \begin{cases} x + \dfrac{y}{3} = 1, \\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6}; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + 3 y = 1 , x 1 − y 1 = 6 5 ;
б) { 2 x + y = 8 , 1 x + 1 y = 3 4 ; \begin{cases} 2x + y = 8, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4}; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y
в) { 3 x − y = − 3 , 2 x + 1 y = − 5 1 2 ; \begin{cases} 3x - y = -3, \\ \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = -5\dfrac{1}{2}; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 3 x − y
г) { x − 4 y = − 2 , 1 y + 3 x = 1 ; \begin{cases} x - 4y = -2, \\ \dfrac{1}{y} + \dfrac{3}{x} = 1; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x − 4 y =
ғ) { x y + y x = 10 3 , x 2 − y 2 = 8 ; \begin{cases} \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{10}{3}, \\ x^2 - y^2 = 8; \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧
д) { 2 x y + x 2 y = 5 , x 2 + y 2 = 20. \begin{cases} \dfrac{2x}{y} + \dfrac{x}{2y} = 5, \\ x^2 + y^2 = 20. \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧
Дар хона 4. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
а) { x 2 + y 2 = 8,5 , x + y + 1 = 0 ; \begin{cases} x^2 + y^2 = 8{,}5, \\ x + y + 1 = 0; \end{cases} { x 2 + y 2 = 8 , 5 , x + y + 1 = 0 ;
б) { x 2 − y = 5 , x 2 ⋅ y = 36 ; \begin{cases} x^2 - y = 5, \\ x^2 \cdot y = 36; \end{cases} { x 2 − y = 5 , x 2 ⋅ y = 36 ;
в) { x + y 2 = 11 , x ⋅ y 2 = 18 ; \begin{cases} x + y^2 = 11, \\ x \cdot y^2 = 18; \end{cases} { x + y 2 = 11 , x ⋅ y 2 = 18 ;
г) { x y = − 8 , x + y 2 = 0 ; \begin{cases} xy = -8, \\ x + y^2 = 0; \end{cases} { x y = − 8 , x + y 2 = 0 ;
ғ) { x 2 + y 2 = 25 , x 2 + y = 13 ; \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x^2 + y = 13; \end{cases} { x 2 + y 2 = 25 , x 2 +
д) { ( x − 2 ) ( y + 3 ) = 160 , x + y = − 27 ; \begin{cases} (x - 2)(y + 3) = 160, \\ x + y = -27; \end{cases} { ( x − 2 ) ( y + 3 ) = 160 , x + y = − 27 ;
е) { ( x − 1 ) ( y + 10 ) = 9 , x + y = − 3 ; \begin{cases} (x - 1)(y + 10) = 9, \\ x + y = -3; \end{cases} { ( x − 1 ) ( y + 10 ) = 9 , x + y = − 3 ;
ё) { 2 x − y = 1 , 2 x 2 − y 2 + x + y = − 11. \begin{cases} 2x - y = 1, \\ 2x^2 - y^2 + x + y = -11. \end{cases} { 2 x − y = 1 , 2 x 2 − y 2 +
5. Қимати тағйирёбандаро, ки барояш ифода маъно надорад, ёбед:
а) 7 x + 11 2 x ; \dfrac{7x + 11}{2x}; 2 x 7 x + 11 ;
б) 3 3 x + 5 ; \dfrac{3}{3x + 5}; 3 x + 5 3 ;
в) x 2 x − 4,8 ; \dfrac{x}{2x - 4{,}8}; 2 x − 4 , 8 x ;
г) x + 1 2,3 x − 2 . \dfrac{x + 1}{2{,}3x - 2}. 2 , 3 x − 2 x + 1 .
6. Соҳаи муайянии функсияро ёбед:
а) y = x + 2 x ⋅ ( x + 1 ) ; y = \dfrac{x + 2}{x \cdot (x + 1)}; y = x ⋅ ( x + 1 ) x + 2 ;
б) y = 2 2 x 2 + 3 ; y = \dfrac{2}{2x^2 + 3}; y = 2 x 2 + 3 2 ;
в) y = x + 3 . y = \sqrt{x + 3}. y = x + 3 .
а) [ ( 152 3 4 − 148 3 8 ) ⋅ 3 ] : 0,2 ; \left[\left(152\dfrac{3}{4} - 148\dfrac{3}{8}\right) \cdot 3\right] : 0{,}2; [ ( 152 4 3 − 148 8 3 ) ⋅ 3 ] : 0 , 2 ;
б) ( 172 5 6 − 170 1 3 + 3 5 12 ) : ( 0,8 ⋅ 0,25 ) ; \left(172\dfrac{5}{6} - 170\dfrac{1}{3} + 3\dfrac{5}{12}\right) : (0{,}8 \cdot 0{,}25); ( 172 6 5 − 170 3 1 + 3
в) ( 6,6 − 3 3 14 ) ⋅ 5 5 6 : [ ( 21 − 1,25 ) : 2,5 ] . \left(6{,}6 - 3\dfrac{3}{14}\right) \cdot 5\dfrac{5}{6} : [(21 - 1{,}25) : 2{,}5]. ( 6 , 6 − 3 14 3 ) ⋅ 5 6 5
а) x 2 a 2 − a x − 4 a 2 a x − x 2 ; \dfrac{x}{2a^2 - ax} - \dfrac{4a}{2ax - x^2}; 2 a 2 − a x x − 2 a x − x 2 4 a ;
б) 12 − y 6 y − 36 + 6 6 y − y 2 . \dfrac{12 - y}{6y - 36} + \dfrac{6}{6y - y^2}. 6 y − 36 12 − y + 6 y − y
9. Барои кадом қиматҳои x x x
а) сеаъзогии квадратии 2 x 2 − 3 x + 1 2x^2 - 3x + 1 2 x 2 − 3 x + 1
б) касри 2 + x x − 3 \dfrac{2 + x}{x - 3} x − 3 2 + x
10. Хушмаҳмад дар нимаи дуюми рӯз, баъди аз нисфирӯзӣ гузаштани 2 1 6 2\dfrac{1}{6} 2 6 1
11. Масъалае тартиб диҳед, ки ба ҳалли муодилаи x x + 3 + x − 1 x = 9 10 \dfrac{x}{x + 3} + \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{9}{10} x + 3 x + x x − 1 = 10 9
12. Экстремум ва экстремали функсияро ёбед:
а) y = 3 ( x − 7 ) 2 − 4 ; y = 3(x - 7)^2 - 4; y = 3 ( x − 7 ) 2 − 4 ;
б) y = − 2 ( x − 5 ) 2 + 6. y = -2(x - 5)^2 + 6. y = − 2 ( x − 5 ) 2 + 6.
13. Графикро насохта, нишон диҳед, ки графики муодилаи x 2 + 2 y 2 − 9 y + 4 = 0 x^2 + 2y^2 - 9y + 4 = 0 x 2 + 2 y 2 − 9 y + 4 = 0 O x Ox O x
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4–13 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 18 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Системаи ду муодилаи дараҷаи дуюм усули умумӣ надорад: гузориш, ҷамъкунии алгебравӣ ва табдилдиҳии сунъӣ (ҷудо кардан ба зарбкунандаҳо, ( x ± y ) 2 (x \pm y)^2 ( x ± y ) 2
Ҷамъ ё тарҳи муодилаҳо номаълумро нест мекунад; ҳар решаи ёфташударо ба муодилаи дигар мегузоранд, то ҷуфтҳои ҳалро гиранд.
Системаи { x 2 − y 2 = a , x − y = b \begin{cases} x^2 - y^2 = a, \\ x - y = b \end{cases} { x 2 − y 2 = a , x − y = b ( x − y ) ( x + y ) = a . (x - y)(x + y) = a. ( x − y ) ( x + y ) = a .
Ҳар як ҳалро ба ҳар ду муодила гузошта месанҷем.
Дар ин дарс
Ман медонам , ки барои системаи ду муодилаи дараҷаи дуюм усули умумӣ нест, вале якчанд роҳ ҳаст: гузориш, ҷамъкунии алгебравӣ ва табдилдиҳии сунъӣ.Ман метавонам системаро бо ҷамъ ва тарҳи муодилаҳо ҳал кунам.Ман метавонам системаро бо ҷудо кардан ба зарбкунандаҳо ба системаи хаттӣ оварам. Такрор (2 дақиқа)
Ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед: x 2 − y 2 . x^2 - y^2. x 2 − y 2 .
Системаро ҳал кунед: { x + y = 6 , x − y = 2. \begin{cases} x + y = 6, \\ x - y = 2. \end{cases} { x + y = 6 , x − y = 2.
Муодиларо ҳал кунед: x 4 − 3 x 2 + 2 = 0. x^4 - 3x^2 + 2 = 0. x 4 − 3 x 2 + 2 = 0.
Ҷавобҳо
( x − y ) ( x + y ) . (x - y)(x + y). ( x − y ) ( x + y ) . x = 4 , x = 4, x = 4 , y = 2. y = 2. y = 2. t = x Дар хотир доред Ҳангоми ҷамъи муодилаҳо ё ҷудо кардан ба зарбкунандаҳо ҳамаи ҳалҳоро нигоҳ доред: ҳар решаи баровардашуда бояд ба ҳар ду муодила гузошта шавад. Шумораи ҳалҳо аксар вақт 4 4 4 ± \pm ±
Калимаҳои калидӣ ҷамъкунии алгебравӣ табдилдиҳии сунъӣ ҷудо кардан ба зарбкунандаҳо системаи баробарқувва
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кай системаро бо ҷамъ ҳал кардан қулай аст, кай бо гузориш? Чӣ тавр ( x − y ) ( x + y ) (x - y)(x + y) ( x − y ) ( x + y )
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман метавонам фаҳмонам, ки барои ду муодилаи дараҷаи дуюм усули ягона нест.
Ман системаро бо ҷамъ ва тарҳи муодилаҳо ҳал карда метавонам.
Ман метавонам x 2 − y 2 x^2 - y^2 x
Системаи { x 2 + y 2 = 29 , x 2 − y 2 = 21 \begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ x^2 - y^2 = 21 \end{cases} { x 2 + y 2 = 29 , x 2
Як ҷавобро интихоб кунед A ҳал надорад B ду ҳал C чор ҳал D ҳашт ҳал
Системаи { x 2 + y 2 = 13 , x y = 6 \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6 \end{cases} { x 2 + y 2 = 13 , x y = 6
Системаи { x 2 + y 2 = 2 , x y = 1 \begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ xy = 1 \end{cases} { x 2 + y 2 = 2 , x y = 1
Як ҷавобро интихоб кунед A як ҳал B се ҳал C чор ҳал D ду ҳал
1
)
2
−
2
y 2
=
172
;
2
=
0
;
+
x
=
−
5.
−
y 2
=
8
;
2
x
−
y
=
5.
=
8
,
x 1 + y 1 = 4 3 ;
=
−
3
,
x 2 + y 1 = − 5 2 1 ;
−
2
,
y 1 + x 3 = 1 ;
y
x
+
x y
=
3 10
,
x 2 − y 2 = 8 ;
y
2 x
+
2 y x
=
5
,
x 2 + y 2 = 20.
y
=
13
;
x
+
y
=
−
11.
12 5
)
:
( 0 , 8 ⋅
0 , 25 ) ;
:
[( 21 −
1 , 25 ) :
2 , 5 ] .
2
6
.
2 t = x^2 t = x 2
t 2 − 3 t + 2 = 0 , t^2 - 3t + 2 = 0, t 2 − 3 t + 2 = 0 , x = ± 2 . x = \pm\sqrt{2}. x = ± 2 . 2
−
y 2
Ман метавонам ҳалро ба ҳар ду муодила гузошта санҷам.
−
y 2
=
21
( 2 ; 3 )
−
y 2
=
16