9 · 3/3. Касрҳои бисёрқабата ва исботи айниятҳо - Алгебра — синфи 81. Касрҳои ратсионалӣ
9 · 3/3. Касрҳои бисёрқабата ва исботи айниятҳо
1 соат
- Назария
- Дарси 18 аз 23
- Хониш: 14 дақиқа
- Саволҳо: 5
Касрҳои бисёрқабата
Баъзан сурат ё махраҷи каср худаш каср дорад. Чунин касрро касри бисёрқабата меномем. Мо онро ба касри оддӣ (як қабата) табдил медиҳем. Ин тарзи кор ном надорад, вале аз рӯйи хосияти асосии каср содда мешавад.
Мисоли 5. Касри x−12−-ро ба намуди касри ратсионалӣ менависем.
навбатӣ10 · 1/2. Мутаносибии чаппа ва хосиятҳои функсияи y = k/x
1 соат
x2−xx+2
x−11+x2−x4−x
Ин табдилдиҳиро бо тарзҳои гуногун иҷро кардан мумкин аст. Масалан, сурат ва махраҷро дар алоҳидагӣ ба касри ратсионалӣ оварда, натиҷаро ба натиҷа тақсим кардан мумкин аст. Вале агар хосияти асосии касрро истифода барем, сурат ва махраҷро ба x2−x=x(x−1) зарб мекунем, пас раванди кор осонтар мешавад:
x−12−x2−xx+2 Дар ин ҷо x−11⋅x(x−1)=x ва x(x−1)4−x⋅x(x−1)=4−x ҳисоб шуд; суммаи онҳо x+4−x=4. Дар махраҷ 2x−(x+2)=x−2. Шартҳо: x=0, x=1, x=2.
Мисоли 6. Касри 1+x11−x21-ро сода мекунем. Сурат ва махраҷро ба x2 зарб мекунем:
1+x11−x21=x2+xx2−1=x(x+1)(x−1)(x+1)=xx−1. Исботи айниятҳо
Барои исбот кардани айният ифодаи як тарафи онро ба ифодаи тарафи дигар табдил медиҳем (ё ҳарду тарафро ба як ифода меорем). Баробарӣ дар ҳамаи қиматҳое дуруст аст, ки ифодаҳои ду тараф ба онҳо маъно доранд.
Агар хоҳем нишон диҳем, ки қимати ифода ба тағйирёбандаҳо вобаста нест, ифодаро сода мекунем: натиҷа адади муайян мешавад.
Мисоли 7. Нишон медиҳем, ки (a−11−a+11)⋅2a2−1 ба a вобаста нест.
(a−11−a+11)⋅2a2−1=(a−1)(a+1)(a+1)−(a−1)⋅2(a−1)(a+=22=1. Қимати ифода барои ҳамаи a=±1 ба 1 баробар аст.
Ифодаи x+x1 ва дараҷаҳои он
Аксар вақт аз шарти x+x1=c қимати x2+x21-ро меёбанд. Ҳар ду тарафи шартро ба квадрат мебардорем:
(x+x1)2=x2+2⋅x⋅x1+x21=x2+2+x21,пасx2+x=c2−2. Мисоли 8. Агар x+x1=3 бошад, пас x2+x21=32−2=7. Баъд аз формулаи ҷамъи кубҳо:
x3+x31=(x+x1)(x2−1+x21=3⋅(7−1)=18. Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
- а) xy2x−y−x+y1(yx−xy)=y1;
- б) (a2+aba−b
- в) b21−
- г) 8+x32−4−
- д) 0,49x2−0,25y21,4x
- е) 0,49x2−0,81y23,5x+4,5y
2. Исбот кунед, ки барои ҳамаи қиматҳои имконпазири тағйирёбандаҳо қимати ифода ба қимати тағйирёбандаҳои дар он дохилбуда вобаста нест. Ин қиматро ёбед:
- а) (2+a3−a−1)⋅(2a−2a−11+a2);
- б) (3−3+2x9+4x)⋅
- в) x2+xy+y2y
- г) (5aa+b−a−b):7
3. Касрро дар намуди нисбати ду бисёрузва нависед:
- а) 61+yx31−yx;
- б) 1−x+212+x−
- в) x1+y1
- г) x+11+x−1
- д) x−12−x
- е) ba−aba−
- ж) ab1+bc
- з) 1+1+1+x11
- а) 0,09x2−y20,3x−y, ҳангоми x=32 ва y=−54 будан;
- б) x+yx−y−x−yx+ ҳангоми ва будан;
- в) (2x−2y3+ay−ax ҳангоми ва будан;
- г) (a+b−a+b4ab): ҳангоми ва будан;
- д) x2−9x2−144⋅ ҳангоми будан.
5. Маълум, ки x−x2=8 аст. Қимати ифодаи x2+x24-ро ёбед.
Дар хона
6. Ифодаро ба намуди бисёрузва ё касри ратсионалӣ нависед:
- а) (x+2x1)2;
- б) (ba−ab)2;
- в) (yx+1)2+(1−
- г) (ba+ab)
- д) a2⋅(aa+b−1)
- е) a2−b2a3−b
Такрор
7. Координатаҳои нуқтаҳои буриши графики функсияи y=41x−8-ро бо тири абсисса Ox ва тири ордината Oy ёбед.
8. Решаи муодилаҳоро ёбед:
- а) x⋅(−10196)=24851;
- б) (431−3x):192=
- в) (4,21−6,36)⋅23x=220
- г) 200101x:(3,012+2,038)=−0,4.
9. Дар анбори якум 120 т ва дар анбори дуюм 85 т гандум ҳаст. Баъди он ки аз анбори якум назар ба анбори дуюм 2 маротиба зиёдтар гандум ба осиёб бурданд, дар анбори якум назар ба анбори дуюм 3 маротиба камтар гандум боқӣ монд. Аз анбори якум чанд тонна гандум ба осиёб бурдаанд?
10. Системаи муодилаҳоро ҳал намоед:
- а) {6x−3y=4,y=2x−5;
- б) {a+2b=5,5a=7−2b.
11. Киштии мотордоре, ки суръаташ дар оби ором 15 км/соат аст, аз бандар ба муқобили ҷараёни дарё ба шиноварӣ сар кард. Баъди 1 соату 15 дақиқаи шиноварӣ мотори киштӣ аз кор баромад ва онро пас аз 5 соат ҷараёни дарё ба бандар баргардонд. Суръати ҷараёни дарёро ёбед.
12. Дар қуттӣ тазарв ва харгӯшҳо ҳастанд. Ҳамаи ҳайвонҳо 35 сар ва 94 пой доранд. Дар қуттӣ чандто тазарв ва чандто харгӯш ҳаст?
★ Барои ҳавасмандон
13. Агар x−x1=4 бошад, он гоҳ чанд баробар аст:
- а) x2+x21;
- б) x3−x31;
- в) x4+x41?
14. а) Агар a+b1=4 ва b+a1=12 бошад, он гоҳ ba чанд аст?
б) Маълум, ки ba=4 ва a+b1=6 мебошад. Қимати ифодаи a3+b31 чанд аст?
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 6–12 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
- Вазифаи онлайн оид ба банди 9 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Ҳар як ифодаи ратсионалиро ба каср табдил додан мумкин аст; ҳангоми табдилдиҳии айниятӣ баробарӣ барои ҳамаи қиматҳои имконпазири тағйирёбандаҳо дуруст аст.
- Касри бисёрқабатаро бо зарб кардани сурат ва махраҷ ба махраҷи умумӣ содда мекунем.
- Айниятро бо табдил додани як тараф (ё ҳарду тараф) ба як шакл исбот мекунанд; қимати ифода метавонад ба тағйирёбандаҳо вобаста набошад.
- Қимати ифодаро ёфта истода, аввал онро сода кунед.
- Агар x+x1=c бошад, x2+x21=c2−2.
Дар ин дарс
- Ман метавонам касри бисёрқабатаро (касре, ки сураташ ё махраҷаш худаш каср дорад) ба каср табдил диҳам.
- Ман метавонам айниятро бо табдилдиҳии ифодаҳои ратсионалӣ исбот намоям ва нишон диҳам, ки қимати ифода ба тағйирёбандаҳо вобаста нест.
- Ман метавонам аз шарти x+x1=c қимати x2+x21-ро ёбам.
Такрор (2 дақиқа)
- Сода кунед: x1+x21.
- (a+b)2-ро кушоед.
- Ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед: x2−x.
Ҷавобҳо
- x2x+1. 2) a2+ 3)
Дар хотир доредКасри бисёрқабатаро бо зарб кардани сурат ва махраҷ ба махраҷи умумии касрҳои даруниаш содда мекунем. Барои исботи айният як тарафро ба тарафи дигар табдил медиҳем. Агар x+x1=c бошад,
Калимаҳои калидӣифодаи ратсионалӣтабдилдиҳии айниятӣсоҳаи муайянӣкасри бисёрқабатаисботи айният
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Кадом тарзи содакунӣ ба шумо бештар кумак кард: зарб кардан ба махраҷи умумӣ ё ҷудо кардан ба зарбкунандаҳо? Кай пешакӣ содакунӣ ҳисобро осон мекунад?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман шарҳ дода метавонам, чаро ҳар гуна ифодаи ратсионалиро дар намуди каср навиштан мумкин аст.
- Ман медонам, ки табдилдиҳии айниятӣ метавонад соҳаи муайянии ифодаро тағйир диҳад, ва метавонам мисол оварам.
- Ман метавонам ифодаро пеш аз ёфтани қимат сода кунам ва фаҳмонам, ки чаро ин муфид аст.
Агар x−x1=3 бошад, пас x2+
Касри 1−x211+-ро сода кунед. Қадамҳоро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед1
2
3
4
Касри dcba ( ба кадом ифода баробар аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
Сода кунед: a1+b1
Як ҷавобро интихоб кунед
x−11+x2−x4−x
=(x−12−x2−xx+2)⋅(x2−x)(x−11+x2−x4−x)⋅(x
=2x−(x+2)x+4−x
=x−24.
1
)
2
1
)
−
b2+aba
)
:
(a3−ab2b2+a+b1)=
bb−a;
ab
1
+
a21=
ab(a+b)1(ba2+ab2);
x2
1
=
x−21⋅
x3+8x2;
2
−
x
y
=
7x+5y20x;
=
7x−9y50.
(
2x1
+
3−2x2
)
⋅
(3−
2x);
2
+
x−yx−
x3−y3xy(x+2y);
a+b
−
5a7.
1
1
;
yx−xy
;
1
x−11−x+11
;
2
−
x
x+2
x−11+x2−x4−x
;
b
;
1
+
ac1
a1+b1+c1
;
1
.
y
,
x=41 y=31
y
)
:
3xy−3y24xy−6ax,
x=a1 y=31 (
a−bb
+
b2−a23ab−a2
)
,
x+12x+3
:
2x2−6xx−12,
yx
)
2
;
2
−
(ba−ab)2;
2
+
b2⋅
(ba−b+1)2;
3
:
a+b1−
ab.
6;
3
;
2
ab
+
b2.
x2+x21=c2−2.
x21
x21
=
11.
x
1
Сурат ва махраҷро ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем: (x−1)(x+1)x(x+1)
Ҳосил мекунем: x2−1x2+x
Сурат ва махраҷро ба x2 зарб мекунем
Зарбкунандаи x+1-ро ихтисор мекунем: x−1x
a,
a1−b1
.
a+ba−b
b+ab−a
2
−
x
)