4 · 1/2. Хосияти асосии каср. Айниятҳо - Алгебра — синфи 8
Хосияти асосии каср
Аз синфи 6 медонем: агар сурат ва махраҷи касрро ба як адади аз сифр фарқкунанда зарб ё тақсим кунем, қимати каср тағйир намеёбад:
m n = m p n p ва m n = m : p n : p ( p ≠ 0 ) . \dfrac{m}{n} = \dfrac{mp}{np} \quad \text{ва} \quad \dfrac{m}{n} = \dfrac{m : p}{n : p} \quad (p \ne 0). n m = n p m p навбатӣ 4 · 2/2. Ихтисори касрҳо ва ба махраҷи нав овардан 1 соат
ва
n m
=
n : p m : p ( p =
0 ) .
Ин хосияти асосии каср аст. Вай имконият медиҳад, ки каср ихтисор карда шавад: сурат ва махраҷро ба зарбкунандаҳо ҷудо карда, зарбкунандаи умумии онҳоро хат мезананд. Масалан,
21 51 = 3 ⋅ 7 3 ⋅ 17 = 7 17 ; 156 286 = 2 ⋅ 6 ⋅ 13 2 ⋅ 11 ⋅ 13 = 6 11 . \dfrac{21}{51} = \dfrac{3 \cdot 7}{3 \cdot 17} = \dfrac{7}{17}; \qquad \dfrac{156}{286} = \dfrac{2 \cdot 6 \cdot 13}{2 \cdot 11 \cdot 13} = \dfrac{6}{11}. 51 21 = 3 ⋅ 17 3 ⋅ 7 = 17 7 ; 286 156 = 2 ⋅ 11 ⋅ 13 2 ⋅ 6 ⋅ 13 = 11 6 . Ин хосият барои касри ратсионалӣ низ дуруст аст. Дар ҳақиқат, барои қиматҳои соҳаи муайянии тағйирёбандаҳо қимати мувофиқи касри ратсионалӣ — касри ададии одӣ аст. Агар дар ин ифода ба ҷойи тағйирёбандаҳо қиматҳои ягон ифодаи мушаххас гузорем, баробарии
u v = u ⋅ t v ⋅ t ( 4 ) \dfrac{u}{v} = \dfrac{u \cdot t}{v \cdot t} \qquad (4) v u = v ⋅ t u ⋅ t ( 4 ) барои ҳамин қиматҳо дуруст мемонад. Масалан, сурат ва махраҷи касри x x − 2 \dfrac{x}{x - 2} x − 2 x x + 1 x + 1 x + 1 x ( x + 1 ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) \dfrac{x(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} ( x − 2 ) ( x + 1 ) x ( x + 1 ) x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = − 1 x = -1 x = − 1 x = 5 x = 5 x = 5 5 3 \dfrac{5}{3} 3 5 x = 1 x = 1 x = 1 − 1 -1 − 1 1 ⋅ 2 ( − 1 ) ⋅ 2 , \dfrac{1 \cdot 2}{(-1) \cdot 2}, ( − 1 ) ⋅ 2 1 ⋅ 2 , − 1 -1 − 1
Ҳамин тавр, x x − 2 \dfrac{x}{x - 2} x − 2 x x ( x + 1 ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) \dfrac{x(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} ( x − 2 ) ( x + 1 ) x ( x + 1 ) x ≠ − 1 x \ne -1 x = − 1 x ≠ 2. x \ne 2. x = 2.
Ду ифодаи айниятан баробарро бо аломати баробарӣ пайваст карда, айният ҳосил мекунем. Баробарии x x − 2 = x ( x + 1 ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{x(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} x − 2 x = ( x − 2 ) ( x + 1 ) x ( x + 1 )
Ифодаро бо ёрии айният ба ифодаи дигар овардан табдилдиҳии айниятӣ ном дорад. Хосияти асосии каср (4) имкон медиҳад, ки каср ихтисор карда шавад, яъне яке аз намудҳои табдилдиҳии айниятӣ. Барои ин сурат ва махраҷи касрро ба ифодаҳои аз зарбкунандаҳо иборатбуда ҷудо карда, ифодаҳои умумиро хат мезананд.
Мисоли 1. Касри 49 x 7 y 4 63 x 3 y 4 \dfrac{49x^7y^4}{63x^3y^4} 63 x 3 y 4 49 x 7 y 4
Сурат ва махраҷи каср шакли ҳосили зарбҳо дорад ва зарбкунандаи умумии 7 x 3 y 4 7x^3y^4 7 x 3 y 4
49 x 7 y 4 63 x 3 y 4 = 7 x 4 ⋅ 7 x 3 y 4 9 ⋅ 7 x 3 y 4 = 7 x 4 9 = 7 9 x 4 . \dfrac{49x^7y^4}{63x^3y^4} = \dfrac{7x^4 \cdot 7x^3y^4}{9 \cdot 7x^3y^4} = \dfrac{7x^4}{9} = \dfrac{7}{9}x^4. 63 x 3 y 4 49 x 7 y 4 = 9 ⋅ 7 x 3 y 4 7 x 4 ⋅ 7 x 3 y 4 9 7 x 4 = 9 7 x 4 . Мисоли 2. Касри a 2 − 4 a + 2 \dfrac{a^2 - 4}{a + 2} a + 2 a 2 − 4
Суратро ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем: a 2 − 4 = ( a − 2 ) ( a + 2 ) . a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2). a 2 − 4 = ( a − 2 ) ( a + 2 ) .
a 2 − 4 a + 2 = ( a − 2 ) ( a + 2 ) a + 2 . \dfrac{a^2 - 4}{a + 2} = \dfrac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2}. a + 2 a 2 − 4 = a + 2 ( a − 2 ) ( a + 2 ) . Ифодаи a + 2 a + 2 a + 2 a 2 − 4 a + 2 = a − 2. \dfrac{a^2 - 4}{a + 2} = a - 2. a + 2 a 2 − 4 = a − 2.
а) a 2 − b 2 a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a + b ) ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) = a + b a 2 + a b + b 2 ; \dfrac{a^2 - b^2}{a^3 - b^3} = \dfrac{(a - b)(a + b)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \dfrac{a + b}{a^2 + ab + b^2}; a 3 − b 3 a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) ( a − b ) ( a + b ) = a 2 + ab + b 2 a + b ;
б) 3 x − 6 y 18 y − 9 x = 3 ( x − 2 y ) 9 ( 2 y − x ) = 3 ( x − 2 y ) 3 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 ( x − 2 y ) = 1 3 ⋅ ( − 1 ) = − 1 3 . \dfrac{3x - 6y}{18y - 9x} = \dfrac{3(x - 2y)}{9(2y - x)} = \dfrac{3(x - 2y)}{3 \cdot (-1) \cdot 3(x - 2y)} = \dfrac{1}{3 \cdot (-1)} = -\dfrac{1}{3}. 18 y − 9 x 3 x − 6 y = 9 ( 2 y − x ) 3 ( x − 2 y ) = 3 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 ( x − 2 y ) 3 ( x − 2 y ) = 3 ⋅ ( − 1 ) 1 = − 3 1 .
Дар б) аз махраҷ − 1 -1 − 1 2 y − x = − ( x − 2 y ) . 2y - x = -(x - 2y). 2 y − x = − ( x − 2 y ) .
Ҳар қадамро бо плеер аз назар гузаронед:
Ихтисори каср: (a² − 4) / (a² + 2a)
(a − 2)(a + 2) / (a(a + 2))
зарбкунандаи умумӣ: a + 2
(a − 2) / a
шарт: a ≠ 0, a ≠ −2
Сурат ва махраҷро ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Оё қимати каср тағйир меёбад, агар сурат ва махраҷи он ба 10 зарб ё тақсим карда шавад?
2. Оё баробарии зерин айният аст:
а) x − y x = x 2 − x y x 2 ; \dfrac{x - y}{x} = \dfrac{x^2 - xy}{x^2}; x x − y = x 2 x 2 − x y ;
б) a − b a + b = a 2 − b 2 a 2 + b 2 ; \dfrac{a - b}{a + b} = \dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}; a + b a − b = a 2 +
в) 6 a − 2 b 10 a = 3 a − b 5 a ; \dfrac{6a - 2b}{10a} = \dfrac{3a - b}{5a}; 10 a 6 a − 2 b = 5 a 3 a − b ;
г) 0,2 t − 1 0,2 t + 1 = t − 1 2 t + 20 ? \dfrac{0{,}2t - 1}{0{,}2t + 1} = \dfrac{t - 1}{2t + 20}? 0 , 2 t + 1 0 , 2 t − 1 = 2 t + 20
а) 4 x 5 x ; \dfrac{4x}{5x}; 5 x 4 x ;
б) 6 a 18 a 2 ; \dfrac{6a}{18a^2}; 18 a 2 6 a ;
в) 18 x y 9 x ; \dfrac{18xy}{9x}; 9 x 18 x y ;
г) 26 x 3 91 x y ; \dfrac{26x^3}{91xy}; 91 x y 26 x 3 ;
д) 0,3 n 3 0,6 n 5 ; \dfrac{0{,}3n^3}{0{,}6n^5}; 0 , 6 n 5 0 , 3 n 3 ;
е) − 4 x y 7 x 2 y ; -\dfrac{4xy}{7x^2y}; − 7 x 2 y 4 x y ;
ж) 8 z 2 x 2 32 z x 3 ; \dfrac{8z^2x^2}{32zx^3}; 32 z x 3 8 z 2 x 2 ;
з) − 24 m 3 − 16 m 2 n ; \dfrac{-24m^3}{-16m^2n}; − 16 m 2 n − 24 m 3 ;
и) ( − a ) 5 ( − a ) 3 ; \dfrac{(-a)^5}{(-a)^3}; ( − a ) 3 ( − a ) 5 ;
к) ( x − y ) 2 y − x ; \dfrac{(x - y)^2}{y - x}; y − x ( x − y ) 2 ;
л) a − b ( b − a ) 3 ; \dfrac{a - b}{(b - a)^3}; ( b − a ) 3 a − b ;
м) 5 m ( m − n ) 15 m ( n − m ) . \dfrac{5m(m - n)}{15m(n - m)}. 15 m ( n − m ) 5 m ( m − n ) .
Дар хона 4. Исбот кунед, ки баробарии зерин айният аст:
а) ( x 2 − 16 ) : ( x + 4 ) = x − 4 ; (x^2 - 16) : (x + 4) = x - 4; ( x 2 − 16 ) : ( x + 4 ) = x − 4 ;
б) a 2 + a − 2 a − 1 = a + 2 ; \dfrac{a^2 + a - 2}{a - 1} = a + 2; a − 1 a 2 + a − 2 = a + 2 ;
в) 7 + 6 y − y 2 y − 7 = − y − 1 ; \dfrac{7 + 6y - y^2}{y - 7} = -y - 1; y − 7 7 + 6 y − y 2 = − y − 1 ;
г) ( 2 t − 10 ) : ( t − 5 ) = 2. (2t - 10) : (t - 5) = 2. ( 2 t − 10 ) : ( t − 5 ) = 2.
а) 0,4 x 2 t 2 z 0,2 x t 3 z 2 ; \dfrac{0{,}4x^2t^2z}{0{,}2xt^3z^2}; 0 , 2 x t 3 z 2 0 , 4 x 2 t 2 z ;
б) 0,8 a 2 b c 3 0,4 a 5 b 4 c ; \dfrac{0{,}8a^2bc^3}{0{,}4a^5b^4c}; 0 , 4 a 5 b 4 c 0 , 8 a 2 b c
в) 3 a ( x + y ) 2 9 a 2 ( x + y ) ; \dfrac{3a(x + y)^2}{9a^2(x + y)}; 9 a 2 ( x + y ) 3 a ( x + y ) 2 ;
г) 0,1 x 3 y 5 ( a + b ) 3 x 2 y 3 ( a + b ) 3 ; \dfrac{0{,}1x^3y^5(a + b)}{3x^2y^3(a + b)^3}; 3 x 2 y 3 ( a + b ) 3 0 , 1
д) x 2 − 2 x y x y − 2 y 2 ; \dfrac{x^2 - 2xy}{xy - 2y^2}; x y − 2 y 2 x 2 − 2 x y ;
е) 1 − x 2 x 2 − x ; \dfrac{1 - x^2}{x^2 - x}; x 2 − x 1 − x 2 ;
ж) x 6 − y 6 x 3 − y 3 ; \dfrac{x^6 - y^6}{x^3 - y^3}; x 3 − y 3 x 6 − y 6
з) 3 a − 6 b + 9 c 5 a − 10 b + 15 c ; \dfrac{3a - 6b + 9c}{5a - 10b + 15c}; 5 a − 10 b + 15 c 3 a − 6 b + 9 c ;
и) x y x 2 y − y 2 x ; \dfrac{xy}{x^2y - y^2x}; x 2 y − y 2 x x y ;
к) 4 k 2 − p 2 ( p − 2 k ) 2 ; \dfrac{4k^2 - p^2}{(p - 2k)^2}; ( p − 2 k ) 2 4 k 2 − p 2
л) 4 + 2 a + a 2 a 3 − 8 ; \dfrac{4 + 2a + a^2}{a^3 - 8}; a 3 − 8 4 + 2 a + a 2 ;
м) 4 a 2 b − 25 b 3 2 a 2 − 5 a b . \dfrac{4a^2b - 25b^3}{2a^2 - 5ab}. 2 a 2 − 5 ab 4 a 2 b − 25 b 3
Вазифаи хонагӣ Дар ин дарс
Ман медонам хосияти асосии каср ва маънои «айният» ва «табдилдиҳии айниятӣ»-ро.Ман метавонам касри ратсионалиро ихтисор кунам: сурат ва махраҷро ба зарбкунандаҳо ҷудо карда, зарбкунандаи умумиро хат мезанам.Ман мефаҳмам , ки ихтисор кардан қимати каср ва соҳаи муайянии онро чӣ гуна тағйир медиҳад. Такрор (2 дақиқа)
Касри 21 51 \dfrac{21}{51} 51 21
Ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед: x 2 − 9 ; x^2 - 9; x 2 − 9 ; 2 a 2 + 4 a . 2a^2 + 4a. 2 a 2 + 4 a .
Барои кадом x x x x x − 2 \dfrac{x}{x - 2} x − 2 x
Ҷавобҳо
3 ⋅ 7 3 ⋅ 17 = 7 17 . \dfrac{3 \cdot 7}{3 \cdot 17} = \dfrac{7}{17}. 3 ⋅ 17 3 ⋅ 7 = 17 7 . ( x − 3 ) Вазъият барои андешаронӣ Касри 156 286 \dfrac{156}{286} 286 156 a 2 − 4 a 2 + 2 a \dfrac{a^2 - 4}{a^2 + 2a} a 2 + 2 a a 2 − 4
Таъриф Ду ифода аз тағйирёбандаҳо якхела иборат бошанд, айниятан баробар номида мешаванд, агар барои ҳамаи қиматҳои имконпазири тағйирёбандаҳо қиматҳои мувофиқи онҳо бо ҳам баробар бошанд.
Қоидаи ихтисор Барои ихтисори каср: 1) сурат ва махраҷро ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед; 2) зарбкунандаҳои умумиро хат занед (ба онҳо тақсим кунед). Дар натиҷа каср ба ифодаи айниятан баробар табдил меёбад.
Дар хотир доред Ихтисор кардан — тақсим кардани сурат ва махраҷ ба зарбкунандаи умумӣ. Ҷамъшавандаҳоро хат задан мумкин нест: дар a 2 − 4 a + 2 \dfrac{a^2 - 4}{a + 2} a + 2 a 2 − 4 a a a
Худро санҷед
Хосияти асосии касри ададиро баён кунед ва фаҳмонед, ки он чӣ тавр истифода мешавад.
Чӣ гуна ифодаҳо айниятан баробар номида мешаванд? Айният чист?
Табдилдиҳии айниятӣ чист?
Чаро ихтисори каср як намуди табдилдиҳии айниятӣ аст?
Баробарии x 2 − 1 x − 1 = x + 1 \dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1 x − 1 x 2 − 1 = x + 1 x x x
Касри 18 a 3 b 2 27 a 2 b 4 \dfrac{18a^3b^2}{27a^2b^4} 27 a 2 b 4 18 a 3 b 2
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
Кадом баробарӣ айният аст?
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A a + b a = 1 + b \dfrac{a+b}{a}=1+b a a + b = 1 + b
B x 2 − 9 x + 3 = x − 3 \dfrac{x^2-9}{x+3}=x-3 x
C D
=
b
2
a 2 − b 2
;
t − 1
?
3
;
x
3
y 5
(
a
+
b
)
;
;
;
.
( x + 3 ) ; (x - 3)(x + 3); ( x − 3 ) ( x + 3 ) ;
2 a ( a + 2 ) . 2a(a + 2). 2 a ( a + 2 ) . a 2 − 4 a + 2 = a − 2 \dfrac{a^2 - 4}{a + 2} = a - 2 a + 2 a 2 − 4 = a − 2
2 a 3 3 b 2 \dfrac{2a^3}{3b^2} 3 b 2 2 a 3
2 a 3 b 2 \dfrac{2a}{3b^2} 3 b 2 2 a
2 a 3 b 6 \dfrac{2a}{3b^6} 3 b 6 2 a
2 3 a b 2 \dfrac{2}{3ab^2} 3 a b 2 2
+
3
x 2 − 9
=
x −
3
x + 3 3 = x + 1 \dfrac{x+3}{3}=x+1 3 x + 3 = x + 1
4 a 8 b = a 2 b \dfrac{4a}{8b}=\dfrac{a}{2b} 8 b 4 a = 2 b a