2. Ифодаҳои бутун ва ратсионалӣ - Алгебра — синфи 8
Ифодаи бутун
Масалан, ифодаҳои 8 a 2 b 3 , 8a^2b^3, 8 a 2 b 3 , ( m − n ) 2 , (m - n)^2, ( m − n ) 2 , ( x 2 − y 2 ) ( 3 a + b )
навбатӣ 3. Соҳаи муайянии касри ратсионалӣ 1 соат
, (x^2 - y^2)(3a + b), ( x 2 − y 2 ) ( 3 a + b ) ,
2 3 ( a − b ) , \dfrac{2}{3}(a - b), 3 2 ( a − b ) , 9 a 2 − 1 2 \dfrac{9a^2 - 1}{2} 2 9 a 2 − 1 3 a − b 4 a + 3 b , a 2 + b 2 a 2 − b 2 , 1 y , 4 ( x + y ) 7 z 3 . \dfrac{3a - b}{4a + 3b}, \qquad \dfrac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}, \qquad \dfrac{1}{y}, \qquad \dfrac{4(x + y)}{7z^3}. 4 a + 3 b 3 a − b , a 2 − b 2 a 2 + b 2 , y 1 , 7 z 3 4 ( x + y ) . Дар онҳо ба ифодае тақсим мекунанд, ки тағйирёбанда дорад.
Одитарин ифодаҳои бутун якузваҳо мебошанд: масалан, 2 x 2 y 2 , 2x^2y^2, 2 x 2 y 2 , 3 a 4 z , 3a^4z, 3 a 4 z , 1 5 x y \dfrac{1}{5}xy 5 1 x y
Ифодаи бутун барои ҳамаи қиматҳои тағйирёбандаҳояш маъно дорад. Барои ёфтани қимати он ба ҷойи тағйирёбандаҳо қиматҳои онҳоро мегузоранд ва амалҳоро бо тартиби зарурӣ иҷро мекунанд.
Мисоли 1. Қимати ифодаи бутуни ( 3 x 2 − 4 y 2 ) 2 + ( 2 x 2 − 5 ) 3 + 9 (3x^2 - 4y^2)^2 + (2x^2 - 5)^3 + 9 ( 3 x 2 − 4 y 2 ) 2 + ( 2 x 2 − 5 ) 3 + 9 x = 1 x = 1 x = 1 y = 2 y = 2 y = 2
( 3 ⋅ 1 2 − 4 ⋅ 2 2 ) 2 + ( 2 ⋅ 1 2 − 5 ) 3 + 9 = ( 3 − 16 ) 2 + ( 2 − 5 ) 3 + 9 = ( − 13 ) 2 + ( − 3 ) 3 + 9 = 169 − 27 + 9 = 151. (3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 2^2)^2 + (2 \cdot 1^2 - 5)^3 + 9 = (3 - 16)^2 + (2 - 5)^3 + 9 = (-13)^2 + (-3)^3 + 9 = 169 - 27 + 9 = 151. ( 3 ⋅ 1 2 − 4 ⋅ 2 2 ) 2 + ( 2 ⋅ 1 2 − 5 ) 3 + 9 = ( 3 − 16 ) 2 + ( 2 − 5 ) 3 + 9 = ( − 13 ) 2 + ( − 3 ) 3 + 9 = 169 − 27 + 9 = 151.
Ифодаи ратсионалӣ Инҳо мисолҳои ифодаҳои ратсионалианд:
3 a − 5 b 7 a + b 2 , 4 x 2 y 2 , a + 1 a , 3 a ( b + c ) 2 , 2 ( x + y ) 3 a 2 , 1 x , 2 a + 3 b c , 1 2 c . ( 3 ) \dfrac{3a - 5b}{7a + b^2}, \qquad 4x^2y^2, \qquad a + \dfrac{1}{a}, \qquad 3a(b + c)^2, \qquad \dfrac{2(x + y)}{3a^2}, \qquad \dfrac{1}{x}, \qquad 2a + \dfrac{3b}{c}, \qquad \dfrac{1}{2}c. \qquad (3) 7 a + b 2 3 a − 5 b , 4 x 2 y 2 , a + a 1 , 3 a ( b + c ) 2 , 3 a 2 2 ( x + y ) , x 1 , 2 a c 3 b , 2 1 c . ( 3 ) Дар ин ҷо нишондиҳандаи дараҷа адади натуралӣ аст: b 2 , b^2, b 2 , ( b + c ) 2 . (b + c)^2. ( b + c ) 2 . бутунан ратсионалӣ низ меноманд. Агар дар таркиби ифода тақсим ба тағйирёбанда ё ба ифодаи тағйирёбандадор бошад, он касран ратсионалӣ ном дорад. Ифодаи ратсионалиро ифодаи алгебравӣ низ мегӯянд. Дар рӯйхати (3) ифодаи дуюм, чорум ва охирин бутунан ратсионалианд; боқимонда касран ратсионалианд.
Тарзи ёфтани қимати ифодаи ратсионалӣ ба тарзи пештара монанд аст. Фақат ҳангоми ҳисоб бояд пай бурд, ки ифода барои қиматҳои додашудаи тағйирёбандаҳо маъно дорад ё не: барои ин махраҷҳоро санҷед.
Мисоли 2. Қимати касри 3 ( x − y ) x 2 + y 2 \dfrac{3(x - y)}{x^2 + y^2} x 2 + y 2 3 ( x − y ) x = 2 3 , x = \dfrac{2}{3}, x = 3 2 , y = − 1,5 y = -1{,}5 y = − 1 , 5
3 ( x − y ) x 2 + y 2 = 3 ( 2 3 + 1,5 ) ( 2 3 ) 2 + ( − 1,5 ) 2 = 3 ( 2 3 + 3 2 ) 4 9 + 9 4 = 13 2 97 36 = 13 ⋅ 36 2 ⋅ 97 = 234 97 = 2 40 97 . \dfrac{3(x - y)}{x^2 + y^2} = \dfrac{3\left(\frac{2}{3} + 1{,}5\right)}{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + (-1{,}5)^2} = \dfrac{3\left(\frac{2}{3} + \frac{3}{2}\right)}{\frac{4}{9} + \frac{9}{4}} = \dfrac{\frac{13}{2}}{\frac{97}{36}} = \dfrac{13 \cdot 36}{2 \cdot 97} = \dfrac{234}{97} = 2\dfrac{40}{97}. x 2 + y 2 3 ( x − y ) = ( 3 2 ) 2 + ( − 1 , 5 ) 2 3 ( 9 4 + 4 9 3 ( 3 36 97 2 13 = 2 ⋅ 97 13 ⋅ 36 = 97 234 = 2 97 40 . Мисоли 3. Қимати касри a 2 + b 3 3 a b \dfrac{a^2 + b^3}{3ab} 3 ab a 2 + b 3 a = 2 a = 2 a = 2 b = 3 b = 3 b = 3
2 2 + 3 3 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4 + 27 18 = 31 18 = 1 13 18 . \dfrac{2^2 + 3^3}{3 \cdot 2 \cdot 3} = \dfrac{4 + 27}{18} = \dfrac{31}{18} = 1\dfrac{13}{18}. 3 ⋅ 2 ⋅ 3 2 2 + 3 3 = 18 4 + 27 = 18 31 = 1 18 13 .
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Аз ифодаҳои зерин кадомашон бутун ва кадомашон ратсионалӣ мебошанд:
а) 2 + a 2 ; 2 + a^2; 2 + a 2 ;
б) 3 4 x ; \dfrac{3}{4x}; 4 x 3 ;
в) ( x − y ) 2 2 x + y ; \dfrac{(x - y)^2}{2x + y}; 2 x + y ( x − y ) 2 ;
г) x y + 1 ; \dfrac{x}{y + 1}; y + 1 x ;
д) 2 5 ; \dfrac{2}{5}; 5 2 ;
е) 7 a + 5 a 2 + 1 ; \dfrac{7a + 5}{a^2 + 1}; a 2 + 1 7 a + 5 ;
ж) a 2 + ( b − c ) 3 ; a^2 + (b - c)^3; a 2 + ( b − c ) 3 ;
з) x − 2 z x 2 + y 2 + z 2 ; \dfrac{x - 2z}{x^2 + y^2 + z^2}; x 2 + y 2 + z 2 x − 2 z
и) z 2 + 1 ; \dfrac{z}{2} + 1; 2 z + 1 ;
к) 4 5 − 2 1 3 7 ? \dfrac{4}{5} - \dfrac{2\frac{1}{3}}{7}? 5 4 − 7 2 3 1
2. Оё ҳамаи ифодаҳои зерин бутунанд:
а) 2 1 7 4 − 2 1 2 ; \dfrac{2\frac{1}{7}}{4 - 2\frac{1}{2}}; 4 − 2 2 1 2 7 1 ;
б) a + 1 b ; a + \dfrac{1}{b}; a + b 1 ;
в) x − 3 3 ; \dfrac{x - 3}{3}; 3 x − 3 ;
г) 3 x − y 2 x 2 − y 2 ; \dfrac{3x - y^2}{x^2 - y^2}; x 2 − y 2 3 x − y 2 ;
д) 4 a 7 b 2 ; 4a^7b^2; 4 a 7 b 2 ;
е) x 2 − y 2 3 1 3 − 2,7 ? \dfrac{x^2 - y^2}{3\frac{1}{3} - 2{,}7}? 3 3 1 − 2 , 7 x 2 − y
3. Ифодае тартиб диҳед, ки ба:
а) нисбати адади a a a a a a b ; b; b ;
б) нисбати фарқи квадратҳои ду адад ба 36 ; 36; 36 ;
в) ҳосили зарби суммаи m m m n n n a ; a; a ;
г) куби ҳосили зарби квадрати a a a b b b
4. Масофаи байни ду бандар S S S V V V u u u t t t S = 28 , S = 28, S = 28 , u = 12 , u = 12, u = 12 , V = 2 ; V = 2; V = 2 ; S = 18 , S = 18, S = 18 , u = 16 , u = 16, u = 16 , V = 4 V = 4 V = 4
5. Барои кадом қимати тағйирёбанда қимати ифодаҳои зерин ба сифр баробар аст:
а) 3 x − 2 x 2 + 1 ; \dfrac{3x - 2}{x^2 + 1}; x 2 + 1 3 x − 2 ;
б) 2 − 3,2 a 2 a + 1 ; \dfrac{2 - 3{,}2a}{2a + 1}; 2 a + 1 2 − 3 , 2 a ;
в) 4 ( x − 1 ) ( x + 2 ) x 2 + 6 x + 9 ; \dfrac{4(x - 1)(x + 2)}{x^2 + 6x + 9}; x 2 + 6 x + 9 4 ( x − 1 ) ( x + 2 ) ;
г) y 2 − 4 y + 3 ? \dfrac{y^2 - 4}{y + 3}? y + 3 y 2 − 4 ?
6. Ифодаҳои зерин барои кадом қимати тағйирёбанда маъно надоранд:
а) x − 1 x ; \dfrac{x - 1}{x}; x x − 1 ;
б) y ( y − 1 ) 3 y + 4 ; \dfrac{y(y - 1)}{3y + 4}; 3 y + 4 y ( y − 1 ) ;
в) 3,5 y + 2 y − 1 ; \dfrac{3{,}5y + 2}{y - 1}; y − 1 3 , 5 y + 2 ;
г) 7 x + 3 2 x − 5 ? \dfrac{7x + 3}{2x - 5}? 2 x − 5 7 x + 3 ?
Дар хона 7. Қимати ифодаи ( 2 x − y ) 2 + 1 x − y 2 \dfrac{(2x - y)^2 + 1}{x - y^2} x − y 2 ( 2 x − y ) 2 + 1
а) x = 2 3 x = \dfrac{2}{3} x = 3 2 y = − 1 ; y = -1; y = − 1 ;
б) x = 1,2 x = 1{,}2 x = 1 , 2 y = 2. y = 2. y = 2.
8. Коргар дар m m m a a a b b b n n n
Барои ҳалли масъала ифода ҳосил карда, қимати онро ёбед, агар:
а) a = 73 , a = 73, a = 73 , b = 80 , b = 80, b = 80 , m = 20 , m = 20, m = 20 , n = 35 ; n = 35; n = 35 ;
б) a = 100 , a = 100, a = 100 , b = 120 , b = 120, b = 120 , m = 12 , m = 12, m = 12 , n = 27. n = 27. n = 27.
Такрор 9. Ба бисёрузва табдил диҳед:
а) ( a + 1 ) ( a + 4 ) ; (a + 1)(a + 4); ( a + 1 ) ( a + 4 ) ;
б) ( 3 a − 1 ) ( 2 a + 3 ) ; (3a - 1)(2a + 3); ( 3 a − 1 ) ( 2 a + 3 ) ;
в) ( x − 7 ) 2 ; (x - 7)^2; ( x − 7 ) 2 ;
г) ( 5 x − 1 ) 2 − ( x + 2 ) 2 ; (5x - 1)^2 - (x + 2)^2; ( 5 x − 1 ) 2 − ( x + 2 ) 2 ;
д) ( 1 − x ) ( 2 x − 3 ) ; (1 - x)(2x - 3); ( 1 − x ) ( 2 x − 3 ) ;
е) ( x 2 + 1 ) ( x − 1 ) . (x^2 + 1)(x - 1). ( x 2 + 1 ) ( x − 1 ) .
10. Ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед:
а) x 2 − 16 ; x^2 - 16; x 2 − 16 ;
б) 16 x 2 − a 2 ; 16x^2 - a^2; 16 x 2 − a 2 ;
в) x 2 − 4 x + 4 ; x^2 - 4x + 4; x 2 − 4 x + 4 ;
г) a 3 − 27 ; a^3 - 27; a 3 − 27 ;
д) a 2 y 2 − 1 ; a^2y^2 - 1; a 2 y 2 − 1 ;
е) 8 − a 3 x 3 . 8 - a^3x^3. 8 − a 3 x 3 .
11. Графики функсияи y = − 1 3 x + 2 y = -\dfrac{1}{3}x + 2 y = − 3 1 x + 2 A ( 9 ; − 1 ) ; A(9;\ -1); A ( 9 ; − 1 ) ; B ( 6 ; 4 ) ; B(6;\ 4); B ( 6 ; 4 ) ; C ( − 2 ; 3 ) C(-2;\ 3) C ( − 2 ; 3 )
12. Мошин дар 5 6 \dfrac{5}{6} 6 5
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 7–12 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 2 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Ифодаи бутун: ҷамъ, тарҳ, зарб ва тақсим фақат ба адади аз сифр фарқкунанда. Он барои ҳамаи қиматҳои тағйирёбандаҳо маъно дорад.
Ифодаи ратсионалӣ: ҷамъ, тарҳ, зарб, тақсим ва дараҷаи натуралӣ; ифодаи бутунро бутунан ратсионалӣ меноманд.
Ифодаи касран ратсионалӣ тақсим ба тағйирёбанда дорад ва барои баъзе қиматҳо маъно надорад.
Ҳар ифодаи бутун ратсионалӣ аст, вале ифодаи ратсионалӣ ҳатман бутун нест.
Дар ин дарс
Ман медонам таърифи ифодаи бутун ва ифодаи ратсионалӣ ва фарқи ифодаи бутун аз касран ратсионалиро.Ман метавонам аз рӯйи намуд муайян кунам, ки ифода бутун аст ё касран ратсионалӣ.Ман метавонам қимати ифодаи ратсионалиро барои қиматҳои додашуда ёбам ва ибораро ба ифода табдил диҳам. Такрор (2 дақиқа)
Кадом ифодаҳо якузваанд: 3 a 2 b , 3a^2b, 3 a 2 b , a + b , a + b, a + b , − 5 x , -5x, − 5 x , x 2 ? \dfrac{x}{2}? 2 x ?
Қимати x − 1 2 \dfrac{x - 1}{2} 2 x − 1 x = 7 x = 7 x = 7
Барои кадом x x x 1 x \dfrac{1}{x} x 1
Ҷавобҳо
3 a 2 b , 3a^2b, 3 a 2 b , − 5 x -5x − 5 x x 2 \dfrac{x}{2} 2 x 1 2 ⋅ x \dfrac{1}{2}\cdot x Вазъият барои андешаронӣ Ифодаҳои x + 5 3 \dfrac{x + 5}{3} 3 x + 5 3 x + 5 \dfrac{3}{x + 5} x + 5 3 x x x
Таъриф 1 Ифодаи бутун ифодаест, ки аз ададҳо ва тағйирёбандаҳо бо ёрии амалҳои ҷамъ, тарҳ, зарб, инчунин тақсим ба адади аз сифр фарқкунанда ва қавсҳо тартиб дода шудааст.
Таъриф 2 Ифодае, ки аз ададҳо ва тағйирёбандаҳо бо ёрии амалҳои ҷамъ, тарҳ, зарб, тақсим ва ба дараҷаи натуралӣ бардоштан ҳосил шудааст, ифодаи ратсионалӣ ном дорад.
Дар хотир доред Ифодаи бутун — бе тақсим ба тағйирёбанда; он ҳамеша қимат дорад. Ифодаи касран ратсионалӣ тақсим ба тағйирёбанда дорад; барои баъзе қиматҳо он метавонад маъно надошта бошад. Ҳар ифодаи бутун ратсионалӣ аст, вале баръакс не.
Худро санҷед
Кадом ифода бутун номида мешавад? Мисол оред.
Оё ифодаи ададӣ ифодаи бутун шуда метавонад?
Таърифи ифодаи ратсионалиро диҳед. Кадом ифодаи ратсионалӣ бутунан ва кадомаш касран ратсионалӣ аст? Чаро?
Бо мисол нишон диҳед, ки ҳосили ҷамъ ё тарҳи ду ифодаи ратсионалӣ ифодаи бутун шуда метавонад.
Калимаҳои калидӣ ифодаи бутун ифодаи ратсионалӣ бутунан ратсионалӣ касран ратсионалӣ ифодаи алгебравӣ якузва
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чӣ тавр аз рӯйи намуди ифода фаҳмидан мумкин аст, ки он бутун аст ё касран ратсионалӣ?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман ифодаи бутунро аз касран ратсионалӣ фарқ карда метавонам.
Ман қимати ифодаи ратсионалиро барои қиматҳои додашуда ёфта метавонам.
Ман метавонам ибораро ба ифодаи ратсионалӣ табдил диҳам.
Ҳар ифодаи бутун ифодаи ратсионалӣ низ мебошад.
Кадом ифодаҳо бутунанд?
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A 3 x 2 − x 2 3x^2-\dfrac{x}{2} 3 x 2 − 2 x
B 1 x + x \dfrac{1}{x}+x x
C D Кадом ифода «нисбати суммаи x x x y y y
Як ҷавобро интихоб кунед A x + y x y x+\dfrac{y}{xy} x + x y y
B x y x + y \dfrac{xy}{x+y}
C D
+
3 2
+
1
,
5
)
=
2
+
2 3
)
=
;
?
2
?
2 1 ⋅
x
6 2 = 3. \dfrac{6}{2} = 3. 2 6 = 3. ,
1
+
x
x + y x y
x y + x y \dfrac{x}{y}+xy y x + x y
x + y x y \dfrac{x+y}{xy} x y x + y