3. Соҳаи муайянии касри ратсионалӣ - Алгебра — синфи 8
Касри ратсионалӣ
Ифодаҳои 2 x − y 3 + x , \dfrac{2x - y}{3 + x}, 3 + x 2 x − y , x + y 2 a 2 , \dfrac{x + y}{2a^2}, 2 a
навбатӣ 4 · 1/2. Хосияти асосии каср. Айниятҳо 1 соат
2
x + y
,
a + b c a b + c , \dfrac{a + \frac{b}{c}}{\frac{a}{b} + c}, b a + c a + c b , 1 1 + 1 x , \dfrac{1}{1 + \frac{1}{x}}, 1 + x 1 1 , Таъкид мекунем, ки ҳар гуна ифодаи ратсионалӣ каср нест. Масалан, ифодаи a + 1 b a + \dfrac{1}{b} a + b 1
Барои ҳисоби қимати каср ҳангоми қиматҳои додашудаи тағйирёбандаҳо амали охирин — тақсим — иҷро мешавад. Агар барои баъзе қиматҳои тағйирёбандаҳо махраҷи каср ба сифр баробар шавад, ин каср барои он қиматҳо маъно надорад . Масалан, касри x x 2 − y 2 = x ( x − y ) ( x + y ) \dfrac{x}{x^2 - y^2} = \dfrac{x}{(x - y)(x + y)} x 2 − y 2 x = ( x − y ) ( x + y ) x x x x y , y, y , x − y = 0 x - y = 0 x − y = 0 x + y = 0 , x + y = 0, x + y = 0 , x = y x = y x = y x = − y , x = -y, x = − y , 2 a ( a − 1 ) \dfrac{2}{a(a - 1)} a ( a − 1 ) 2 a ( a − 1 ) = 0 , a(a - 1) = 0, a ( a − 1 ) = 0 , a = 0 a = 0 a = 0 a = 1. a = 1. a = 1.
Агар сурат ва махраҷи каср ифодаҳои бутун бошанд, соҳаи муайянии он аз ҳамаи ҳамон қиматҳо иборат аст, ки барояшон қимати махраҷ аз сифр фарқ мекунад.
Мисоли 1. Касри 2 x + 1 x − 3 \dfrac{2x + 1}{x - 3} x − 3 2 x + 1 x = − 3 , x = -3, x = − 3 , − 1 , -1, − 1 , 0 , 0, 0 , 4 5 \dfrac{4}{5} 5 4 2 2 2 5 6 , \dfrac{5}{6}, 6 5 , 1 4 , \dfrac{1}{4}, 4 1 , − 1 3 , -\dfrac{1}{3}, − 3 1 , − 1 2 11 -1\dfrac{2}{11} − 1 11 2 − 5 -5 − 5 x = 3 x = 3 x = 3 x , x, x , x = 3 , x = 3, x = 3 ,
Мисоли 2. Соҳаи муайянии касри 2 a + b a 2 − 4 \dfrac{2a + b}{a^2 - 4} a 2 − 4 2 a + b
Азбаски a 2 − 4 = ( a − 2 ) ( a + 2 ) , a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2), a 2 − 4 = ( a − 2 ) ( a + 2 ) , 2 a + b ( a − 2 ) ( a + 2 ) . \dfrac{2a + b}{(a - 2)(a + 2)}. ( a − 2 ) ( a + 2 ) 2 a + b . a − 2 = 0 a - 2 = 0 a − 2 = 0 a + 2 = 0 , a + 2 = 0, a + 2 = 0 , a = 2 a = 2 a = 2 a = − 2. a = -2. a = − 2. a , a, a , a = 2 a = 2 a = 2 a = − 2 a = -2 a = − 2 b b b a ≠ 2 a \ne 2 a = 2 a ≠ − 2. a \ne -2. a = − 2.
Мисоли 3. Соҳаи муайянии ифодаи x 3 + 2 x − 3 x x − 1 x^3 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{3x}{x - 1} x 3 + x 2 − x − 1 3 x
Ин ифода дар таркиби худ як ифодаи бутун ва ду касрро дорад. Касри якум маъно надорад, агар x = 0. x = 0. x = 0. x − 1 = 0 , x - 1 = 0, x − 1 = 0 , x = 1. x = 1. x = 1. 0 0 0 1 , 1, 1 , x ≠ 0 x \ne 0 x = 0 x ≠ 1. x \ne 1. x = 1.
Мисоли 4. Қимати тағйирёбандаро меёбем, ки барояш қимати касри 2 y − 5 y + 4 \dfrac{2y - 5}{y + 4} y + 4 2 y − 5
Каср ба сифр баробар аст, агар сураташ нул бошад (ва махраҷаш аз нул фарқ кунад): 2 y − 5 = 0 , 2y - 5 = 0, 2 y − 5 = 0 , 2 y = 5 , 2y = 5, 2 y = 5 , y = 2,5. y = 2{,}5. y = 2 , 5. y = 2,5 y = 2{,}5 y = 2 , 5 2,5 + 4 = 6,5 ≠ 0. 2{,}5 + 4 = 6{,}5 \ne 0. 2 , 5 + 4 = 6 , 5 = 0. y = 2,5 y = 2{,}5 y = 2 , 5
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Кадоме аз ифодаҳои ратсионалии зерин бутунан ратсионалӣ ва кадомаш касран ратсионалианд? Кадомашон каср ҳастанд?
a 2 − 1 a 3 + 1 , x + y 2 + x , a 2 + 2 a − 6 , a 6 + b 4 c 3 , a 2 + 3 4 a , − 2 5 , \dfrac{a^2 - 1}{a^3 + 1}, \quad \dfrac{x + y}{2} + x, \quad a^2 + 2a - 6, \quad a^6 + \dfrac{b^4}{c^3}, \quad \dfrac{a^2 + 3}{4a}, \quad -\dfrac{2}{5}, a 3 + 1 a 2 − 1 , 2 x + y + x , a 2 + 2 a − 6 , a 6 + c 3 b 4 , 4 a a 2 + 3 , − 5 a 2 + 2 , 4 a + 2 a , x 2 + 1 + 1 x 2 , 4 3 x 2 , 2 x + 1 x − 1 , 4 x x 3 + 1 . 5a^2 + 2, \quad 4a + \dfrac{2}{a}, \quad x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2}, \quad \dfrac{4}{3}x^2, \quad \dfrac{2x + 1}{x - 1}, \quad \dfrac{4x}{x^3 + 1}. 5 a 2 + 2 , 4 a + a 2 , x 2 + 1 + x 2 1 , 3 4 x 2 , x − 1 2. Барои кадом қимати тағйирёбанда ифода маъно дорад:
а) 2 x − 1 4 x + 3 ; \dfrac{2x - 1}{4x + 3}; 4 x + 3 2 x − 1 ;
б) 2 a − 1 ; \dfrac{2}{a - 1}; a − 1 2 ;
в) 4 5 x 2 + 1 ; \dfrac{4}{5}x^2 + 1; 5 4 x 2 + 1 ;
г) a + 3 2 a + 4 ; a + \dfrac{3}{2a + 4}; a + 2 a + 4 3 ;
д) 2 ( x − 1 ) ( x − 2 ) ; \dfrac{2}{(x - 1)(x - 2)}; ( x − 1 ) ( x − 2 ) 2 ;
е) 4 5 a ? \dfrac{4}{5}a? 5 4 a ?
3. Соҳаи муайянии касрро ёбед:
а) 3 x 2 x − 7 ; \dfrac{3x}{2x - 7}; 2 x − 7 3 x ;
б) 2 x + 1 3 x + 5 ; \dfrac{2x + 1}{3x + 5}; 3 x + 5 2 x + 1 ;
в) 2 x + 6 ( x − 2 ) ( x − 4 ) ; \dfrac{2x + 6}{(x - 2)(x - 4)}; ( x − 2 ) ( x − 4 ) 2 x + 6 ;
г) 2 x − 1 ( x + 5 ) ( 2 x − 3 ) ; \dfrac{2x - 1}{(x + 5)(2x - 3)}; ( x + 5 ) ( 2 x − 3 ) 2 x − 1 ;
д) 3 x + 4 5 x − 1 ; \dfrac{3x + 4}{5x - 1}; 5 x − 1 3 x + 4 ;
е) 4 x x 2 − 9 ; \dfrac{4x}{x^2 - 9}; x 2 − 9 4 x ;
ж) x − 1 ( 2 x − 5 ) ( 2 x + 1 ) ; \dfrac{x - 1}{(2x - 5)(2x + 1)}; ( 2 x − 5 ) ( 2 x + 1 ) x − 1 ;
з) 5 x ( 4 x − 3 ) ( x − 6 ) . \dfrac{5x}{(4x - 3)(x - 6)}. ( 4 x − 3 ) ( x − 6 ) 5 x .
4. Барои кадом қимати тағйирёбанда қимати касри:
а) y − 6 5 ; \dfrac{y - 6}{5}; 5 y − 6 ;
б) 2 x + 1 7 ; \dfrac{2x + 1}{7}; 7 2 x + 1 ;
в) x ( x − 2 ) x + 3 ; \dfrac{x(x - 2)}{x + 3}; x + 3 x ( x − 2 ) ;
г) x ( x − 1 ) x − 2 \dfrac{x(x - 1)}{x - 2} x − 2 x ( x − 1 )
5. Соҳаи муайянии функсияро ёбед:
а) y = 1 x − 1 ; y = \dfrac{1}{x - 1}; y = x − 1 1 ;
б) y = 2 x + 1 x ( x + 3 ) ; y = \dfrac{2x + 1}{x(x + 3)}; y = x ( x + 3 ) 2 x + 1 ;
в) y = 1 1 + x ; y = \dfrac{1}{1 + x}; y = 1 + x 1 ;
г) y = x + 1 x + 2 . y = x + \dfrac{1}{x + 2}. y = x + x + 2 1 .
6. Барои кадом қимати тағйирёбанда касри 2 x − 3 5 \dfrac{2x - 3}{5} 5 2 x − 3 − 2 ; -2; − 2 ; − 1 ; -1; − 1 ; 3 ; 3; 3 ; − 5 -5 − 5
7. Оё аломати касри a b \dfrac{a}{b} b a a > 0 a > 0 a > 0 b < 0 b < 0 b < 0 a < 0 a < 0 a < 0 b > 0 b > 0 b > 0
8. Касреро тартиб диҳед, ки:
а) сураташ фарқи квадратҳои тағйирёбандаҳои x x x y , y, y ,
б) сураташ фарқи тағйирёбандаҳои x x x y , y, y ,
9. Ҷадвалро пур кунед (қимати ифодаи x 2 + 4 x x^2 + 4x x 2 + 4 x x x x
x x x − 2 -2 − 2 − 1,5 -1{,}5 − 1 , 5 0 0 0 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 x 2 + 4 x x^2 + 4x x 2 + 4 x
x x x 2 2 2 2,5 2{,}5 2 , 5 3 3 3 x 2 + 4 x x^2 + 4x x 2 + 4 x
10. Чунин қимати тағйирёбандаро ёбед, ки барои он қиматҳои ифодаҳо ба ҳам баробаранд:
а) 4 + 5 a 4 + 5a 4 + 5 a 3 a + 4 ; 3a + 4; 3 a + 4 ;
б) 2 + x − 1 2 2 + \dfrac{x - 1}{2} 2 + 2 x − 1 3 x − 5. 3x - 5. 3 x − 5.
11. Нисбати суммаи кубҳои ададҳои a a a b b b a = − 4 a = -4 a = − 4 b = − 2 b = -2 b = − 2
12. Барои кадом қиматҳои a a a
а) a x − 7 = 2 a − x ; ax - 7 = 2a - x; a x − 7 = 2 a − x ;
б) 3 a y + 12 = 3 a + 4 3ay + 12 = 3a + 4 3 a y + 12 = 3 a + 4 y y y
в) a 2 + a x = 4 x + 1 ; a^2 + ax = 4x + 1; a 2 + a x = 4 x + 1 ;
г) a 2 + a z = z + 9 a^2 + az = z + 9 a 2 + a z = z + 9 z z z
Дар хона 13. Барои кадом қимати тағйирёбанда ифода маъно надорад:
а) 3 x − 1 2 − x ; \dfrac{3x - 1}{2 - x}; 2 − x 3 x − 1 ;
б) b + 1 2 b − 1 ; b + \dfrac{1}{2b - 1}; b + 2 b − 1 1 ;
в) 4 x + 1 ( 4 x − 1 ) ( 2 x + 5 ) ; \dfrac{4x + 1}{(4x - 1)(2x + 5)}; ( 4 x − 1 ) ( 2 x + 5 ) 4 x + 1 ;
г) x x 2 − 25 ? \dfrac{x}{x^2 - 25}? x 2 − 25 x ?
14. Қимати тағйирёбандаро, ки барои он ифода ба сифр баробар нест, ёбед:
а) 2 x − 3 5 ; \dfrac{2x - 3}{5}; 5 2 x − 3 ;
б) x − 2 x + 4 ; \dfrac{x - 2}{x + 4}; x + 4 x − 2 ;
в) x 2 − 36 x ; \dfrac{x^2 - 36}{x}; x x 2 − 36 ;
г) x ( x + 3 ) 4 x − 5 . \dfrac{x(x + 3)}{4x - 5}. 4 x − 5 x ( x + 3 ) .
15. Нишон диҳед, ки барои қиматҳои дилхоҳи тағйирёбанда касри:
а) 2 x 2 + 2 \dfrac{2}{x^2 + 2} x 2 + 2 2
б) y 2 + 1 − 2 \dfrac{y^2 + 1}{-2} − 2 y 2 + 1
в) ( x − 1 ) 2 10 \dfrac{(x - 1)^2}{10} 10 ( x − 1 ) 2
г) ( y + 2 ) 2 − y 2 − 4 \dfrac{(y + 2)^2}{-y^2 - 4} − y 2 − 4 ( y + 2 ) 2
Такрор 16. Бисёрузваро ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед:
а) m x + 2 m ; mx + 2m; m x + 2 m ;
б) x 3 + x 2 + x ; x^3 + x^2 + x; x 3 + x 2 + x ;
в) 20 a x − 10 a y ; 20ax - 10ay; 20 a x − 10 a y ;
г) − 15 a 2 x 2 + 5 a 3 x ; -15a^2x^2 + 5a^3x; − 15 a 2 x 2 + 5 a 3 x ;
д) x 2 − 5 a x ; x^2 - 5ax; x 2 − 5 a x ;
е) 5 v 3 − 10 v 2 + 5 v . 5v^3 - 10v^2 + 5v. 5 v 3 − 10 v 2 + 5 v .
а) b 2 − ( b + 1 ) ( b − 5 ) ; b^2 - (b + 1)(b - 5); b 2 − ( b + 1 ) ( b − 5 ) ;
б) ( 4 x − 0,5 ) ( 4 x + 0,5 ) − 16 x 2 ; (4x - 0{,}5)(4x + 0{,}5) - 16x^2; ( 4 x − 0 , 5 ) ( 4 x + 0 , 5 ) − 16 x 2 ;
в) 3 x ( 1 − 3 x ) + 9 x 2 ; 3x(1 - 3x) + 9x^2; 3 x ( 1 − 3 x ) + 9 x 2 ;
г) 2 ( x − 2 y ) ( 2 y + x ) − 0,5 y ( x − 16 y ) . 2(x - 2y)(2y + x) - 0{,}5y(x - 16y). 2 ( x − 2 y ) ( 2 y + x ) − 0 , 5 y ( x − 16 y ) .
18. Баъди 5 соату 25 дақиқа пас аз он ки сал (плот) бо ҷараёни дарё равон шуд, киштӣ аз ҳамон бандар ба ҳаракат даромад. Дар кадом масофа аз бандар онҳо вомехӯранд, агар суръати оби дарё 3 км/соат ва суръати киштӣ дар оби ором 13 км/соат бошад?
19. Ҳангоми хушк кардан ангур чоряки массаи худро нигоҳ медорад. 3 4 \dfrac{3}{4} 4 3
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 13–19 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 3 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Касри ратсионалӣ — ифодаи u v \dfrac{u}{v} v u u u u v . v. v . a + 1 b a + \dfrac{1}{b} a + b 1
Каср маъно надорад, агар махраҷаш ба сифр баробар шавад.
Соҳаи муайянӣ — ҳамаи қиматҳои тағйирёбандаҳо, ки барояшон каср маъно дорад: ҳалли v ≠ 0. v \ne 0. v = 0.
Каср ба сифр баробар аст, агар сураташ 0 0 0 ≠ 0 \ne 0 = 0
Дар ин дарс
Ман медонам , ки касри ратсионалӣ чист ва кай он маъно надорад.Ман метавонам соҳаи муайянии касри ратсионалиро ёбам.Ман метавонам муайян кунам, ки барои кадом қимати тағйирёбанда каср ба сифр баробар аст. Такрор (2 дақиқа)
Ифодаи 5 x − 2 \dfrac{5}{x - 2} x − 2 5 x = 2 x = 2 x = 2
Ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед: x 2 − 9. x^2 - 9. x 2 − 9.
Қимати x + 1 x − 4 \dfrac{x + 1}{x - 4} x − 4 x + 1 x = 5 x = 5 x = 5
Ҷавобҳо
Маъно надорад: махраҷ ба сифр баробар мешавад. 2) ( x − 3 ) ( x + 3 ) . (x - 3)(x + 3). ( x − 3 ) ( x + 3 ) . 6 1 = 6. \dfrac{6}{1} = 6. 1 6 = 6.
Вазъият барои андешаронӣ Ифодаи 1 x − 5 \dfrac{1}{x - 5} x − 5 1 x x x 1 ( x − 5 ) ( x + 2 ) \dfrac{1}{(x - 5)(x + 2)} ( x − 5 ) ( x + 2 ) 1
Таъриф 1 Ифодаи намуди u v , \dfrac{u}{v}, v u , u u u v v v касри ратсионалӣ ё каср номида мешавад. u u u сурат , v v v махраҷи каср.
Таъриф 2 Соҳаи муайянии каср (ё соҳаи қиматҳои имконпазири тағйирёбандаҳо) — маҷмуи ҳамаи он қиматҳои тағйирёбандаҳост, ки барояшон каср маъно дорад.
Дар хотир доред Каср u v \dfrac{u}{v} v u v ≠ 0. v \ne 0. v = 0. u = 0 u = 0 u =
Худро санҷед
Касри ратсионалӣ чист?
Оё ҳар гуна ифодаи касран ратсионалӣ каср аст?
Дар кадом ҳолат каср маъно надорад?
Кадом қиматҳои тағйирёбандаҳо соҳаи муайянии касрро ташкил медиҳанд?
Соҳаи муайянии касрро, ки сураташ ва махраҷаш ифодаи бутун аст, чӣ тавр меёбанд?
Калимаҳои калидӣ касри ратсионалӣ сурат махраҷ каср маъно надорад соҳаи муайянӣ соҳаи қиматҳои имконпазир
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро баъд аз ёфтани решаи сурат бояд махраҷро санҷид?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман таърифи касри ратсионалиро медонам.
Ман соҳаи муайянии касри ратсионалиро ёфта метавонам.
Ман медонам, кай каср ба сифр баробар аст.
Касри x − 2 x − 2 \dfrac{x-2}{x-2} x − 2 x − 2 x x x
Кадом қиматҳои x x x x + 1 x 2 − 9 \dfrac{x+1}{x^2-9} x 2 − 9 x + 1
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A x = 3 x=3 x =
B C D Соҳаи муайянии ифодаи 1 x − 4 + 3 x \dfrac{1}{x-4}+\dfrac{3}{x} x − 4 1 + x 3
Як ҷавобро интихоб кунед A x ≠ 4 x\ne 4 x
B C ҳамаи ададҳо D 5 2
,
2 x + 1
,
x 3 + 1 4 x
.
0
3
=
4
x ≠ 0 x\ne 0 x = 0 x ≠ 4 x\ne 4 x = 4