17. Экстремуми функсияҳо - Алгебра — синфи 10
Дар синфи 9 экстремуми функсияи квадратӣ омӯхта шуд. Акнун ин мафҳумро барои ҳар гуна функсия медиҳем.
Атроф. Фосилаи кушодаи хурде, ки нуқтаи x=a-ро дар бар мегирад, атрофи нуқтаи a мебошад. Масалан, (1;4) — атрофи нуқтаи 3, ва (− — атрофи нуқтаи (Таърифи дақиқи атроф дар меояд.)
навбатӣ18 · 1/2. Функсияҳои даврӣ ва даври онҳо
1 соат
3
,
3
;
−
2
)
Дар графики расми 1 нуқтаҳое ҳастанд, ки дар онҳо афзоиш ба камшавӣ ё баръакс иваз мешавад.
Масалан, барои y=sinx нуқтаҳои x=2π+2πk чунинанд. Аз давраи воҳидӣ мебинем: ордината аз −2π то 2π меафзояд ва аз 2π то 23π кам мешавад. Пас sinx<sin2π=1 барои ҳамаи x=2π аз ягон атрофи 2π. Баръакс, дар нуқтаи −2π камшавӣ ба афзоиш иваз мешавад.
Нуқтаи максимумро бо xmax, нуқтаи минимумро бо xmin ишора мекунанд; қиматҳои функсияро дар ин нуқтаҳо — бо ymax ва ymin. Ҳар ду нуқта нуқтаи экстремалӣ, қиматҳо — экстремум меноманд (лотинӣ maximum — калонтарин, minimum — хурдтарин).
Муҳим: максимуми маҳаллӣ (экстремум) бо қимати калонтарини функсия дар тамоми фосила як нест. Дар расми 1 нуқтаи x5 — максимуми калонтарин, вале x1, x3 низ нуқтаҳои максимуманд, гарчи қиматашон хурдтар аст.
Мисоли 1. Экстремуми y=sin2x-ро дар порчаи [−π;3π] меёбем. Аргументи 2x дар [−2π;23π] тағйир меёбад.
- а) Фосилаҳои афзоиш ва камшавӣ. Дар [−2π;2π] синус меафзояд, пас sin2x дар [−π;π] меафзояд (−1 то 1). Дар [2π;23π] синус кам мешавад, пас sin2x дар [π;3π] кам мешавад (1 то −1).
- б) Қиматҳои калонтарин ва хурдтарин. Дар x=π функсия 1 — калонтарин, дар x=−π ва x=3π — −1, хурдтарин.
- в) Нуқтаи x=π: афзоиш ба камшавӣ иваз мешавад — нуқтаи максимум. Нуқтаи x=−π низ нуқтаи минимум аст (пеш аз он синуси 2x кам мешавад). Нуқтаи : функсияро дар тамоми тири ададӣ дида, мебинем, ки пас аз синуси боз меафзояд — нуқтаи минимум.
ymax=y(π)=sin2π=1,ymin=y(3π)=sin23π=−1. Ҷавоб: дар [−π;π] меафзояд, дар [π;3π] кам мешавад; ymax=y(π)=1; ymin=y(3π)=−1.
Мисоли 2. Экстремуми y=3cos2x-ро дар порчаи [−π;3π] меёбем. Ҳамон тавр: 2x∈[−2π;23π]
- а) Косинус дар [−2π;0] меафзояд (0 то 1), дар [0;π] кам мешавад, дар [π;23π] меафзояд. Пас y=3cos2x дар [−π;0] меафзояд (0 то 3), дар [0;2π] кам мешавад (3 то −3), дар [2π;3π] боз меафзояд (−3 то 0).
- б) Қимати калонтарин 3 дар x=0, хурдтарин −3 дар x=2π.
- в) Дар x=0 афзоиш ба камшавӣ иваз мешавад — максимум; дар x=2π камшавӣ ба афзоиш иваз мешавад — минимум.
Ҷавоб: ymax=y(0)=3, ymin=y(2π)=−3.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
Фосилаҳои афзоиш ва камшавӣ, нуқтаҳои максимум ва минимум, қиматҳои максимум ва минимумро ёбед (1–3).
- а) y=3sinx;
- б) y=0,5sinx;
- в) y=2cosx+1;
- г) y=0,5sinx−1,5.
- а) y=−sin2x;
- б) y=sin2x;
- в) y=1−2sin2x;
- г) y=1−0,5sin2x.
Дар хона
- а) y=cos2x;
- б) y=2cos2x;
- в) y=−2cosx+1;
- г) y=2cosx+1.
4. Ифодаро пешакӣ сода карда, қиматашро ёбед:
- а) sin68∘−sin22∘cos68∘−cos22∘;
- б) cos130∘+cos110∘sin130∘+
- а) (a2−b22ab+2a+2ba−b)⋅a+b2a+b−ab;
- б) x−yx−x
6. Пайдарпаии {Cn} прогрессияи арифметикӣ мебошад. Агар C2=−19, C3=−11,5 бошад, фарқ ва аъзои чоруми онро ёбед.
7. Фарқи дарозии катетҳои секунҷаи росткунҷа ба 5 дм баробар аст. Агар дарозии катети калонро 4 дм зиёд ва дарозии катети хурдро 8 дм кам кунем, он гоҳ дарозии гипотенузаи секунҷаи росткунҷаи ҳосилшуда ба дарозии гипотенузаи секунҷаи додашуда баробар мешавад. Дарозии катетҳои секунҷаи додашударо ёбед.
8. Решаҳои муодилаи квадратӣ ба x1=3−2, x2=3+2 баробаранд. Ин муодилаи квадратиро тартиб диҳед.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 3–8 ва қисми иҷронашудаи машқҳои «Дар синф».
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 17. Экстремуми функсияҳо».
Хулоса
- Нуқтаи x0 — минимум (максимум), агар дар ягон атрофи он f(x)≥f(x0) (f(x)≤f(x0)) бошад.
- Нуқтаи максимум — ҷои иваз шудани афзоиш ба камшавӣ; нуқтаи минимум — баръакс.
- Экстремум (маҳаллӣ) бо қимати калонтарин ё хурдтарини функсия дар порча як нест.
- sinx: максимум дар x=2π+2πk, минимум дар x максимум дар минимум дар
Дар ин дарс
- Ман медонам таърифи нуқтаи максимум ва минимум ва фарқи экстремуми маҳаллиро аз қимати калонтарин (хурдтарин).
- Ман метавонам нуқтаҳои максимум ва минимуми функсияи sinx ва cosx-ро аз давраи воҳидӣ ёбам.
- Ман метавонам фосилаҳои афзоишу камшавӣ ва экстремуми y=Asinkx-ро муайян кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Функсияи квадратии y=−x2+6x−8 дар кадом нуқта қимати калонтарин дорад?
- Дар давраи воҳидӣ ордината (sinx) аз x=−2π то x=2π чӣ тавр тағйир меёбад?
Ҷавобҳо
- Дар қулла: x=3, y=1. 2) Аз −1 то 1 меафзояд (нуқта аз поёнтарин то болотарин мебарояд).
Вазъият барои андешаронӣДар кӯҳ ҳар қулла аз атрофи худ баланд аст, вале на ҳатман баландтарин қуллаи ҳамаи кӯҳҳост. Чӣ тавр «қуллаи маҳаллӣ»-ро дар графики функсия ном мебарем? Дар нақшаи y=sinx чунин қуллаҳо дар кадом нуқтаҳо мебошанд?
Расми 1. Нуқтаҳои максимум (x₁, x₃, x₅) ва минимум (x₂, x₄, x₆).Таъриф 1Нуқтаи x0 нуқтаи минимуми функсияи y=f(x) аст, агар барои ҳамаи x аз ягон атрофи нуқтаи нобаробарии чой дошта бошад.
Таъриф 2Нуқтаи x0 нуқтаи максимуми функсияи y=f(x) аст, агар барои ҳамаи x аз ягон атрофи нуқтаи x нобаробарии чой дошта бошад.
Бештар омӯзедДар ин ҷо экстремумро аз давраи воҳидӣ ва афзоиш-камшавии синус ва косинус меёбем. Графики онҳоро дар 19 ва 20 мекашем — он гоҳ нуқтаҳои максимум ва минимум дар расм дида мешаванд. Дар боби ҳосила (бобҳои 4–5) усули умумии ёфтани экстремумро меомӯзем.
Калимаҳои калидӣатрофи нуқтануқтаи максимумнуқтаи минимумэкстремумафзоиш ва камшавӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Ман метавонам:
- ✓ / ✗ таърифи нуқтаи максимум ва минимумро баён кунам;
- ✓ / ✗ экстремуми y=3sinx ё y=cos2-ро ёбам;
Қимати максимуми функсия (дар нуқтаи xmax) ҳамеша калонтарин қимати функсия дар тамоми соҳа аст.
y=sin2x дар кадом фосила меафзояд?
Як ҷавобро интихоб кунед Нуқтаро бо навъаш мувофиқ кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедy=sinx, x=2π
→y
→→
x=3π
.
sin
11
0∘
.
2
+
y2
x3−xy2
⋅
((x−y)2x−x2−y2y).
=
−2π+
2πk;
x=π+2πk. x0
f(x)≥f(x0) 0
f(x)≤f(x0)
x
✓ / ✗ фарқи экстремуми маҳаллӣ ва қимати калонтаринро шарҳ диҳам.[
−
2
π
;
0
]
[−π;π]
=
cosx,
y=sinx, x=0