15. Ифода ба воситаи тангенси нисфи кунҷ - Алгебра — синфи 10
Дар синфи 9 бо айниятҳои асосии sin2α+cos2α=1, tgα= ифодаҳоро табдил медодем. Акнун функсияи -ро ба сифати «асос» мегирем: ҳамаи дигар функсияҳоро ба воситаи он бе реша навишта метавонем.
навбатӣ16. Функсияҳои тригонометрии аргументи ададӣ
1 соат
cosαsinα,
ctgα=sinαcosα tg2α Аз формулаҳои кунҷи дучанда (11 · 1/2):
sinα=sin2⋅2α=2sin2αcos2α,cosα=cos22α−sin22α.
Адади 1-ро ба намуди 1=sin22α+cos2 менависем ва ба махраҷ мегузорем:
sinα=sin2
Сурат ва махраҷи ҳар як касрро ба cos22α=0 тақсим мекунем ва cos2αsin2-ро иваз мекунем:
Формулаи tgα — формулаи тангенси кунҷи дучанда (11 · 1/2), ctgα — таносуби баръакси он.
Ин формулаҳо имкон медиҳанд, ки y=asinα+bcosα+c ба таври ратсионалӣ ба воситаи t=tg2α ифода шавад.
Мисоли 1. 2sinα+3cosα−1-ро ба воситаи t=tg2α ифода мекунем:
2sinα+3cosα−1=
Мисоли 2. tg2α=4 бошад, sin4α+cos4αctg2α-ро ҳисоб мекунем. Дар формулаҳо α-ро ба 2α иваз мекунем (tg2α нисфи кунҷи 4α аст):
sin4α=1+162⋅4=
Пас
sin4α+cos4αctg2α=178
Мисоли 3. tg2α=21 бошад, sin4α−cos4α-ро ҳисоб мекунем. Аввал содда мекунем:
sin4α−cos4α=(sin2
Азбаски tg2α=21,
cosα=1+41
Пас sin4α−cos4α=257.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
- а) sin4α, агар tg2α=3;
- б) cos4α, агар tg2α=8;
- в) sinα, cosα, tgα, ctgα, агар бошад.
- а) cosα+sinα, агар tg2α=3;
- б) sinα−cosα, агар tg2α=3 бошад.
3. Дода шудааст: tgα=−0,75, tgβ=2,4; 90∘<α<180∘, 0∘<β<90∘. Ёбед:
- а) sin(α−2β);
- б) cos(α+2β).
4. sinα ва cosα-ро ҳисоб кунед, агар tg2α=−2,4 ва 90∘<2α<135∘ бошад.
Дар хона
5. Кадоме аз инҳо калон аст: tg2α ё 2tgα, ки дар ин ҷо 0∘<α<90∘, α=45∘ аст?
- а) sin68∘−sin22∘cos68∘−cos22∘;
- б) cos130∘+cos110∘sin130∘+
7. sin2α-ро ҳисоб кунед, агар sinα=31 ва 0<α<2π бошад.
8. Суммаи ду адад ба 20 ва ҳосили зарбашон ба 96 баробар аст. Ин ададҳоро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 5–8 ва қисми иҷронашудаи машқҳои «Дар синф».
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 15. Ифода кардани функсияҳо ба воситаи тангенси нисфи кунҷ».
Хулоса
- sinα=1+t22t, cosα=1+t21−t2, tgα=1−t22t, ctgα=2t1−t2, ки дар ин ҷо t=tg2α.
- Формулаҳо ратсионалианд: решаи квадратӣ намеояд.
- Формулаҳои sinα, cosα барои α=π+2πk дурустанд; барои α онҳоро истифода бурдан мумкин нест.
- Ифодаи asinα+bcosα+c бо t ба каср табдил меёбад.
Дар ин дарс
- Ман медонам формулаҳоеро, ки sinα, cosα, tgα, ctgα-ро ба воситаи tg2α ифода мекунанд, ва кай онҳо маъно доранд.
- Ман метавонам онҳоро аз формулаҳои кунҷи дучанда ҳосил кунам.
- Ман метавонам ифодаи asinα+bcosα+c-ро ба таври ратсионалӣ ба воситаи tg2α нависам.
Такрор (2 дақиқа)
- sin2α ва cos2α-ро ба воситаи sinα ва cosα нависед.
- sin2x+cos2x ба чӣ баробар аст?
- Касрро ба cos2x=0 тақсим кунед: sin2x
Ҷавобҳо
- sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α− 2) 3)
Вазъият барои андешаронӣАгар sin2α-ро ба воситаи sinα нависем, решаи квадратӣ пайдо мешавад: sin2α=2sinα⋅(±1−sin2α). Оё функсияе ҳаст, ки ҳамаи синус, косинус, тангенс ва котангенс ба воситаи он ратсионалӣ, яъне бе реша навишта мешаванд?
Қоидаsinα=1+tg
Кай формулаҳо маъно дорандФормулаҳо барои sinα ва cosα танҳо вақте дуруст мебошанд, ки tg2α маъно дорад, яъне ё
Барои боз ва барои — лозим аст.
Калимаҳои калидӣтангенси нисфи кунҷифодаи ратсионалӣқимати имконпазиргузориш
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Ман метавонам:
- ✓ / ✗ sinα ва cosα-ро ба воситаи tg2 нависам ва аз формулаҳои кунҷи дучанда ҳосил кунам;
Формулаҳои sinα ва cosα ба воситаи tg2α барои кадом α кор намекунанд?
Як ҷавобро интихоб кунед
2
α
2α
+
cos2
2α
2sin2αcos2α
,
cos
α
=
sin22α+cos22αcos22α−sin22α.
α
=
tg2α
1+t24t
+
1+t23(1−t2)−
1=
1+t24t+3−3t2−1−t2=
1+t2−4t2+4t+2.
17
8
,
cos
4
α
=
1+161−16=
−1715.
−
1715⋅
41=
6832−15=
6817=
41.
α
−
cos2α)(sin2α+
cos2α)=
−cos2α.
1−41
=
53,cos2α=
2cos2α−
1=
2⋅
259−
1=
−257.
tg
2α
=
0,5
sin
11
0∘
.
=
π+
2πk
+
cos2
x
sin2x
.
sin2α.
tg2x+1tg2x. 2
2α
2tg2α
,
cos
α
=
1+tg22α1−tg22α,
tgα=1−tg22α2tg2α,ctgα=2tg2α1−tg22 2α=2π+πk,
α=π+2πk. tgα tg2α=±1 ctgα tg2α=0 α
✓ / ✗ аз tg2α қимати sinα ва cosα-ро ҳисоб кунам; ✓ / ✗ шарҳ диҳам, барои кадом α формулаҳо кор намекунанд.
α
α=2πk
α=π+2πk
α=2π+2πk
α=2π+πk
α
.