13. Ҳосили зарбро ба сумма табдил додан - Алгебра — синфи 10
Формулаҳои косинуси фарқ ва суммаро аъзо ба аъзо ҷамъ мекунем ва тарҳ мекунем:
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(1)
Ҷамъ: Ҳамин тавр,
навбатӣ14. Сумма ва фарқро ба ҳосили зарб табдил додан
1 соат
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ.(2)
cos(α−β)+cos(α+β)=2cosαcosβ. Тарҳ: cos(α−β)−cos(α+β)=2sinαsinβ, пас
Акнун формулаҳои sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ва sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ-ро аъзо ба аъзо ҷамъ мекунем: sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ.
Мисоли 1. cos2αcos4α-ро ба сумма табдил медиҳем. Аз (3): α→4α, β→2α (тартиби кунҷҳо муҳим нест, зеро cos(−x)=cosx):
cos4αcos2α=2cos2α+cos6α.
Мисоли 2. sin4αcos2α-ро ба сумма табдил медиҳем. Дараҷаро паст мекунем:
sin4αcos2α=sin2α(sinαcosα)2=
Қавсҳоро мекушоем ва cos2αcos4α-ро бо Мисоли 1 иваз мекунем:
sin4αcos2α=
Мисоли 3. sin75∘cos15∘-ро ба сумма табдил медиҳем ва ҳисоб мекунем. Аз (5):
sin75∘cos15∘=2sin90∘+sin60∘=21+2342+3.
Мисоли 4. sin45∘sin15∘-ро ба сумма табдил медиҳем. Аз (4):
sin45∘sin15∘=2cos30∘−cos60∘=223−43−1.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Ҳосили зарбро ба сумма табдил диҳед:
- а) sin42∘cos12∘;
- б) sin40∘sin14∘;
- в) sin22∘sin8∘;
- г) 2sin18∘cos12∘;
- д) cos20∘cos40∘;
- е) cos18∘cos56∘.
2. Ба сумма табдил диҳед:
- а) sin20∘cos10∘;
- б) sin50∘cos15∘;
- в) sin2αcos2β;
- г) cos(α−β)cos(α−3β).
3. Ҳосили зарбро ба сумма табдил диҳед:
- а) sin20∘sin10∘;
- б) sin4αcos2α;
- в) sin2αcos(α+β);
- г) cosαcos(α+β);
- д) 2sinαsin2αsin3α;
- е) sin5πsin8π.
4. Ба сумма табдил диҳед:
- а) sin(α+β)cos(α−β);
- б) 2sin40∘cos40∘cos50∘;
- в) 4cos18∘cos20∘cos16∘;
- г) 4cosαcos3αcos5α;
- д) 2sinαsin2αsin3α;
- е) 8cos(α−β)cos(α−β)cos(β−α).
5. Ба сумма табдил диҳед:
- а) 2sin2α;
- б) 2cos2(45∘−α);
- в) 2sin2(45∘−α);
- г) 4cos4α.
6. Ба сумма табдил диҳед:
- а) sin30∘cos20∘;
- б) cos15∘sin5∘;
- в) sin50∘sin15∘;
- г) cos43∘cos45∘.
Дар хона
7. Ба сумма табдил диҳед:
- а) cos45∘cos15∘;
- б) sin24πcos245π;
- в) cos20∘cos10∘;
- г) cos10πcos5π;
- д) sin5πsin8π;
- е) sin10πcos8π.
8. Ба сумма табдил диҳед:
- а) 2cos45∘sin15∘;
- б) cos105∘cos75∘;
- в) sin24πsin245π.
9. Сеаъзогии квадратиро ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед:
- а) 3x2+2x−5;
- б) x2+3x−28;
- в) 9x2+6x+1.
- а) {xy+3x−4y=12,xy+2x−2y=9;
- б) {x2+y2=29,y2
- а) cos24∘cos31∘−sin24∘sin31∘−cos55∘;
- б) cos107∘cos17∘+sin107∘sin17∘.
12. Ду гурӯҳи сайёҳони ҷавон аз Душанбе ва Тагоб, ки масофаи байни онҳо 30 км аст, ба пешвози ҳамдигар баромаданд. Агар гурӯҳи якум нисбат ба гурӯҳи дуюм 2 соат пештар ба роҳ бароад, он гоҳ онҳо баъд аз 2,5 соати ба роҳ баромадани гурӯҳи дуюм вомехӯранд. Агар гурӯҳи дуюм нисбат ба гурӯҳи якум 2 соат пештар ба роҳ бароад, он гоҳ вохӯрӣ баъд аз 3 соати ба роҳ баромадани гурӯҳи якум ба амал меояд. Гурӯҳи сайёҳон бо кадом суръат ҳаракат мекунанд?
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 7–12 ва қисми иҷронашудаи машқҳои «Дар синф».
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 13. Ҳосили зарби функсияҳоро ба сумма табдил додан».
Хулоса
- cosαcosβ=2cos(α−β)+cos(α+β), sinαsinβ=2cos(α−β)−cos(α+β), sinαcosβ=2sin(α+β)+sin(α−β).
- Онҳо аз ҷамъ ва тарҳи формулаҳои сумма ва фарқи кунҷҳо ҳосил мешаванд.
- β=α мегирем: cos2α=21+cos2α
- Формулаҳо ҳосили зарбро ба сумма табдил медиҳанд ва барои ҳисоб кардани қиматҳои sin75∘cos15∘ ва ба ин монанд кор меоянд.
Дар ин дарс
- Ман медонам формулаҳои табдили ҳосили зарби синус ва косинусҳоро ба сумма (фарқ).
- Ман метавонам онҳоро аз формулаҳои косинус ва синуси сумма ва фарқ ҳосил кунам.
- Ман метавонам ҳосили зарбро ба сумма табдил диҳам ва қимати ифодаҳоро ҳисоб кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- cos(α−β) ва cos(α+β)-ро нависед.
- sin(α+β) ва sin(α−β)-ро нависед.
- cos2α-ро бо cos2α ифода кунед.
Ҷавобҳо
- cosαcosβ+sinαsinβ ва cosαcosβ−sinαsinβ. 2) ва 3)
Вазъият барои андешаронӣҲисоб кардани sin75∘cos15∘ бо ҳосили зарб душвор аст, вале sin90∘ ва sin60∘-ро медонем. Агар ду формулаи косинуси суммаю фарқро ҷамъ кунем, чӣ мешавад? Чаро ҳосили зарб ба сумма меравад?
Қоидаcosαcosβ=2cos(α− Қоидаsinαsinβ=2cos(α−β)−cos(α+ Қоидаsinαcosβ=2sin(α+β)+sin(α− НатиҷаАгар β=α бошад, аз (3)–(5) ҳосил мешавад:
cos2α=
Калимаҳои калидӣҳосили зарбсумманимсумманимфарқтабдил додан
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Ман метавонам:
- ✓ / ✗ формулаҳои табдили ҳосили зарбро аз формулаҳои сумма ва фарқ ҳосил кунам;
- ✓ / ✗ sin75∘cos15∘-ро бо формула ҳисоб кунам;
- ✓ / ✗ ҳосили зарби се функсияро ба сумма табдил диҳам.
cosαcosβ=2cos(α+β)−cos(α−β)
2cos3αcosα-ро ба сумма табдил диҳед.
Як ҷавобро интихоб кунед sin105∘cos15∘-ро ҳисоб кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед Ҳосили зарбро бо суммаи мувофиқ мувофиқ кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедsinαsinβ
→cosαcosβ
→sinαcosβ
→sin
→
2
1−cos2α
⋅
4sin22α=
81(1−
cos2α)⋅
21−cos4α.
161
(1−cos2α−cos4α+2cos6α+cos2α)
=
161−
32cos2α−
16cos4α+
32cos6α.
=
21
=
−
4
x2
=
9.
,
sin2α=21−cos2α, sinαcosα=21sin2α. sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ−cosαsinβ. cos2α=21+cos2α.
β
)
+
cos
(
α
+
β
)
.
(
3
)
Ҳосили зарби косинусҳои ду кунҷ ба нимсуммаи косинуси фарқ ва косинуси суммаи кунҷҳои онҳо баробар аст.
β
)
.
(
4
)
Ҳосили зарби синусҳои ду кунҷ ба нимфарқи косинуси фарқ ва косинуси суммаи кунҷҳои онҳо баробар аст.
β
)
.
(
5
)
Ҳосили зарби синус ва косинуси ду кунҷ ба нимсуммаи синуси суммаю фарқи кунҷҳои онҳо баробар аст.
21+cos2α
,
sin2
α
=
21−cos2α,sinαcosα=
21sin2α.
.
cos4α+cos2α
cos3α+cosα
42+3
43+1
42−3
2
α