12. Формулаҳои нисфи кунҷ - Алгебра — синфи 10
Функсияҳои тригонометрии кунҷи 2α-ро ба воситаи функсияҳои кунҷи α ифода мекунем. Дар формулаи косинуси кунҷи дучанда (11 · 1/2) α-ро ба 2 иваз мекунем:
Ба ин айнияти асосӣ илова мекунем:
Тарафҳои (1) ва (2)-ро аъзо ба аъзо ҷамъ ва тарҳ мекунем:
Аз ин ҷо:
навбатӣ13. Ҳосили зарбро ба сумма табдил додан
1 соат
α
cosα=cos22α−sin22α.(1) 1=cos22α+sin22α.(2) 2cos22α=1+cosα,2sin22α=1−cosα. Айнияти (4)-ро ба айнияти (3) аъзо ба аъзо тақсим мекунем:
Дар формулаҳои (3)–(5) аломати пеш аз реша бо чоряке муайян мешавад, ки кунҷи 2α дар он тамом мешавад: дар чоряки I ҳамаи се қимат мусбат, дар чоряки II sin>0, cos<0, tg<0, ва ҳоказо. Чоряки худи α барои ин кор кифоя нест: аз нобаробарии α нобаробарии 2α-ро ҳосил кунед.
Мисоли 1. sin8π=sin22∘30′ ва cos8π=cos22∘30′-ро ҳисоб мекунем.
Азбаски cos4π=22, ва кунҷи 22∘30′ дар чоряки якум аст, синус ва косинуси он мусбатанд. Пас
cos8π=
Мисоли 2. sinα=−53 ва π<α<23π аст. cos2α, sin2α, tg2α-ро меёбем.
Дар чоряки сеюм cosα<0: cosα=−1−259=−54. Аз 2π<2α<4 (π<α<23π-ро ба 2 тақсим мекунем) мебарояд, ки 2α дар чоряки дуюм аст: cos2α<0, sin2α>0, tg2α<0. Пас
cos2α=−
tg2α=cos2
Мисоли 3. sin12π-ро меёбем. Кунҷи 12π=15∘ дар чоряки якум аст, пас синус мусбат ва
sin12π=
Мисоли 4. tg85π-ро меёбем. Кунҷи 85π=112∘30′ дар чоряки дуюм аст, пас tg85π<0. Дар (5) α=45π мегирем, cos45π=−22:
tg85π=
Мисоли 5. cosα=257 ва 0<α<2π аст. sin2α, cos2α, tg2α-ро меёбем. Кунҷи 2α дар чоряки якум аст, ҳамаи се қимат мусбатанд:
sin2α=
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
- а) cosα=−1312, π<α<23π;
- б) cosα=53, 23π
бошад, sin2α, cos2α ва tg2α-ро ёбед.
- а) 4sin6πsin613π;
- б) sin483π−cos483π;
- в) tg8π;
- г) sin1217π;
- д) cos12π;
- е) tg12π.
3. sinα=0,8 ва 90∘<α<180∘ дода шудааст. Ёбед:
- а) sin2α;
- б) cos2α;
- в) tg2α.
- а) sin45∘;
- б) sin127π−sin12π;
- в) cos85π+cos8π.
Дар хона
- а) cosα=52, 270∘<α<360∘;
- б) cosα=0,8, 0∘<α<90∘
бошад, sin2α, cos2α ва tg2α-ро ёбед.
6. sin2α, cos2α ва tg2α-ро ҳисоб кунед, агар cosα=−0,8 буда, 180∘<α<270∘ бошад.
- а) a2+ab+b2a+b⋅b2−a2a3−b3:(1−b1+b);
- б) a+bab2−a2b
8. Муодилаи биквадратиро ҳал карда, суммаи решаҳо ва ҳосили зарби онҳоро ёбед:
- а) x4−15x2+50=0;
- б) x4−x2−12=0.
9. Агар а) α=750∘; б) α=810∘; в) α=1260∘ бошад, қиматҳои синус, косинус ва тангенси кунҷи α-ро ёбед (агар тангенс вуҷуд дошта бошад).
10. Қимати ифодаи cosα+cos2α+cos3α-ро ёбед, агар
- а) α=67π;
- б) α=120∘
11. Сайёҳ 3 км роҳи кӯҳӣ ва 5 км роҳи ҳамвор дар 2 соат тай кард. Суръати сайёҳ дар роҳи кӯҳӣ нисбат ба роҳи ҳамвор 2 км/соат кам аст. Суръати сайёҳро дар роҳи кӯҳӣ ёбед.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 5–11 ва қисми иҷронашудаи машқҳои «Дар синф».
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 12. Формулаҳои нисфи кунҷ».
Хулоса
- cos2α=±21+cosα, sin2α=±21−cosα tg2α=±1+cosα
- Онҳо аз cosα=cos22α−sin2 ва ҳосил мешаванд.
- Аломати пеш аз реша ба чоряки кунҷи 2α (на α) вобаста аст.
- Тангенс бе реша: tg2α=1+cosαsin
Дар ин дарс
- Ман медонам формулаҳои sin2α, cos2α, tg2α ва исботи онҳоро.
- Ман метавонам аломати пеш аз реша дар ин формулаҳоро аз чоряки кунҷи 2α муайян кунам.
- Ман метавонам sin22∘30′, sin12π ва қиматҳои ба ин монандро ҳисоб кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- cos2α-ро бо се тарз нависед.
- sin2α+cos2α=?
- Аломати sin, cos ва tg-ро дар чоряки дуюм нависед.
Ҷавобҳо
- cos2α−sin2α=2cos2α− 2) 3) Дар чоряки дуюм
Вазъият барои андешаронӣМо cos30∘=23-ро медонем. cos15∘ ба чӣ баробар аст? Аз формулаи кунҷи дучанда истифода бурда, cosα-ро ба воситаи кунҷи ду маротиба хурдтар навиштан мумкин аст: cos30∘=2cos215∘−1. Аз ин ҷо cos15∘-ро ёбед.
Қоидаcos2α=±
Қоидаtg2α=±1+ Бештар омӯзедБарои тангенс ду шакли бе реша ҳам ҳаст:
tg2α=
Дар онҳо аломат аз худи формула ба даст меояд. Масалан,
Калимаҳои калидӣнисфи кунҷаломати решачоряки кунҷкосинуси кунҷи дучанда
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Ман метавонам:
- ✓ / ✗ формулаҳои нисфи кунҷро аз cos2α ҳосил кунам;
- ✓ / ✗ аломати пеш аз решаро аз чоряки 2α интихоб кунам;
- ✓ / ✗ ё -ро ҳисоб кунам.
180∘<α<360∘ бошад, sin2α-и аломати чӣ дорад?
Як ҷавобро интихоб кунед
sin2α=21−cosα барои ҳар як дуруст аст.
sin15∘-ро ҳисоб кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед
=
3π
21−54
=
α
sin2α
=
−3.
2
1−cos6π
=
−
=
1).
21−257
=
53,cos2α=
54,tg2α=
43.
<
α<
2π
⋅
a−a+baba+a−bab.
,
1−cosα
.
2α
1=cos22α+sin22α
α
=
sinα1−cosα.
1=
1−
2sin2α.
tg<0. 21+cosα
,
(
3
)
sin2α=±21−cosα.(4) cos
α
1−cosα
.
(
5
)
(барои cosα=−1)
1+cosα
sinα
=
sinα1−cosα.
tg2α=2cos22α2sin2αcos2α=1+cosαsinα. sin12π
cos22∘30′
tg2α
212+3
2−3
212−3