8 · 1/2. Косинуси фарқ ва суммаи кунҷҳо - Алгебра — синфи 10
Формулаҳоеро муқаррар мекунем, ки аз рӯи онҳо қимати функсияҳои тригонометрии кунҷҳои α ва β-ро дониста, функсияҳои тригонометрии сумма ва фарқи ин кунҷҳоро ҳисоб кардан мумкин аст. Аввал косинуси фарқро исбот мекунем.
Исбот. Давраи радиусаш R ва марказаш дар нуқтаи O-ро мегирем; нуқтаи A — дар тарафи мусбати тири Ox. Радиуси -ро дар атрофи ба кунҷи ва ба кунҷи гардиш медиҳем: радиусҳои ва ҳосил мешаванд (расми дар поён).
навбатӣ8 · 2/2. Татбиқи формулаҳои косинус
1 соат
OA
Мисоли 1. cos15∘-ро ҳисоб мекунем. Азбаски 15∘=45∘−30∘, ва cos45∘=sin45∘=22 cos30∘=23 sin30∘=21, пас
cos15∘=cos(45∘−
Санҷиш: 41,414⋅2,732≈0,966, ва калкулятор cos15∘≈0,9659 медиҳад.
Исбот. Дар формулаи Теоремаи 1 ба ҷои β кунҷи −β-ро мегузорем: α+β=α−(−β). Азбаски cos(−β)=cosβ ва sin(−β)=−sinβ,
cos(α+β)=cosαcos(−β)+sinαsin(−β)=
Мисоли 2. cos105∘-ро ҳисоб мекунем. 105∘=60∘+45∘, пас
cos105∘=cos60∘cos45
Ин адади манфӣ аст ва ба 105∘ дар чоряки дуюм мувофиқ меояд.
Формулаҳо барои ҳар як кунҷ — ҳам дар градус, ҳам дар радиан — дуруст аст: масалан, cos(4π−φ)=22(cosφ+sinφ).
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. 75∘-ро чун суммаи 30∘+45∘ навишта, cos75∘-ро ҳисоб кунед.
2. Аз формулаҳои фарқ ва суммаи косинуси ду кунҷ истифода карда, ифодаи cos(α+β)+cos(α−β)-ро ҳисоб кунед.
3. Бо ёрии формулаҳои фарқ ва суммаи косинуси ду кунҷ, баробариҳои зеринро исбот кунед:
- а) cos(π−α)=−cosα;
- б) cos(23π+α)=sinα.
4. 135∘-ро чун суммаи 45∘+90∘ навишта, cos135∘-ро ҳисоб кунед.
Дар хона
5. Бо ёрии формулаҳои фарқ ва суммаи косинуси ду кунҷ, ифодаҳои зеринро табдил диҳед:
- а) cos(4π−φ);
- б) cos(4π+φ).
Вазифаи хонагӣ
- Машқи 5; формулаҳои Теоремаи 1 ва 2-ро аз ёд кунед ва исботи Теоремаи 1-ро бо расм дар дафтар такрор кунед.
- Соати оянда: 8 · 2/2.
Дар ин дарс
- Ман медонам формулаҳои косинуси фарқ ва суммаи ду кунҷ ва исботи онҳоро.
- Ман метавонам қимати косинуси кунҷро, ки дар ҷадвал нест (масалан, cos15∘), бо суммаи ё фарқи кунҷҳои махсус ёбам.
- Ман метавонам формулаҳоро барои кунҷҳои дилхоҳ (дар градус ва радиан) истифода барам.
Такрор (2 дақиқа)
- cos30∘, sin30∘, cos45∘, sin60∘-ро нависед.
- cos(−β) ва sin(−β)-ро ба воситаи cosβ, sinβ ифода кунед.
- Зарби скалярии векторҳои a(x1; y1) ва -ро нависед.
Ҷавобҳо
- 23, 2) (косинус ҷуфт, синус тоқ). 3) ки — кунҷи байни векторҳо.
Вазъият барои андешаронӣҚимати cos15∘ дар ҷадвали кунҷҳои маъмул нест. Оё cos15∘=cos45∘−cos30∘ ё cos15∘=cos45∘:cos30∘? Санҷед бо калкулятор. Чӣ тавр cos(α−β)-ро ба воситаи косинус ва синуси α ва β ифода кунем?
Теоремаи 1Косинуси фарқи ду кунҷ ба ҳосили зарби косинусҳои ин кунҷҳо плюс ҳосили зарби синусҳои ин кунҷҳо баробар аст:
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
Радиусҳои OB ва OC дар давраи радиуси R: кунҷи байни онҳо ба α − β баробар аст.Исботи формулаи косинуси фарқ
- Координатаҳо. Аз таърифи синус ва косинус: B(Rcosα; Rsinα) ва C(Rcosβ; Rsinβ).
-
Теоремаи 2Косинуси суммаи ду кунҷ ба ҳосили зарби косинусҳои ин кунҷҳо минус ҳосили зарби синусҳои ин кунҷҳо баробар аст:
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ.
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро барои исботи формула кунҷи байни радиусҳои OB ва OC-ро бо зарби скалярӣ ду хел ифода мекунем? Чаро косинус ҷуфт будан барои ҳамаи α, β кифоя аст?
cos(α+β)=cosα+cosβ.
cos75∘-ро аз 75∘=45∘+30 ёбед.
Як ҷавобро интихоб кунед
cos(α+β) ба чӣ баробар аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
,
,
3
0∘
)
=
cos45∘cos30∘+
sin45∘sin30∘=
21=
cos
α
cos
β
−
sinαsinβ.■
∘
−
sin60∘sin45∘=
21⋅
21
,
22, 23. cos(−β)=cosβ, sin(−β)=−sinβ a⋅b=x1x2+y1y2=∣a∣∣b∣cosφ, Зарби скалярӣ бо координатаҳо.
OB⋅OC=Rcosα⋅Rcosβ+Rsinα⋅Rsinβ=R2(cosαcosβ+sinαsinβ). Зарби скалярӣ бо таъриф. OB⋅OC=∣OB∣⋅∣OC∣⋅cosφ=R2cosφ, ки φ — кунҷи байни векторҳо. Кунҷи байни векторҳо. Агар 0<β<α<180∘, пас φ=α−β. Дар ҳолати умумӣ (α, β дилхоҳ) кунҷи байни радиусҳо ба ∣α−β∣ ё ба 360∘−∣α−β∣ (то ба якчанд даври пурра) баробар аст, яъне α−β=±φ+360∘k. Азбаски косинус ҷуфт ва даврии 360∘ аст, cosφ=cos(α−β) дар ҳар ҳолат. Муқоиса. R2cos(α−β)=R2(cosαcosβ+sinαsinβ). Ба R2 тақсим мекунем: ин формулаи лозимист. ■ ∘
42−6
46+2
46−2
43
cos
α
cos
β
+
sinαsinβ
cosαcosβ−sinαsinβ
cosα+cosβ