8 · 2/2. Татбиқи формулаҳои косинус - Алгебра — синфи 10
Ду формулаи асосӣ:
cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β , cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β . \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta. cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β , cos ( α
навбатӣ 9. Синуси сумма ва фарқи кунҷҳо 1 соат
+
β ) =
cos α cos β −
sin α sin β .
Мисоли 1. Агар sin α = 3 5 \sin\alpha = \dfrac{3}{5} sin α = 5 3 (α \alpha α — кунҷи чоряки дуюм) ва cos β = 3 5 \cos\beta = \dfrac{3}{5} cos β = 5 3 (β \beta β — кунҷи чоряки чорум) бошад, cos ( α + β ) \cos(\alpha + \beta) cos ( α + β ) cos ( α − β ) \cos(\alpha - \beta) cos ( α − β )
Формулаҳо ҳам sin α , \sin\alpha, sin α , cos α , \cos\alpha, cos α , sin β , \sin\beta, sin β , cos β \cos\beta cos β sin 2 x + cos 2 x = 1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 sin 2 x + cos 2 x = 1
cos 2 α = 1 − 9 25 = 16 25 ; \cos^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}; cos 2 α = 1 − 25 9 = 25 16 ; cos α < 0 , \cos\alpha < 0, cos α < 0 , cos α = − 4 5 . \cos\alpha = -\dfrac{4}{5}. cos α = − 5 4 . sin 2 β = 1 − 9 25 = 16 25 ; \sin^2\beta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}; sin 2 β = 1 − 25 9 = 25 Он гоҳ
cos ( α + β ) = ( − 4 5 ) ⋅ 3 5 − 3 5 ⋅ ( − 4 5 ) = − 12 25 + 12 25 = 0 , \cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0, cos ( α + β ) = ( − 5 4 ) ⋅ 5 3 − 5 3 ⋅ ( − 5 4 ) = − 25 12 + 25 12 = 0 , cos ( α − β ) = ( − 4 5 ) ⋅ 3 5 + 3 5 ⋅ ( − 4 5 ) = − 12 25 − 12 25 = − 24 25 . \cos(\alpha - \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{12}{25} - \frac{12}{25} = -\frac{24}{25}. cos ( α − β ) = ( − 5 4 )
Қимати cos ( α + β ) = 0 \cos(\alpha + \beta) = 0 cos ( α + β ) = 0 α ≈ 143 ∘ , \alpha \approx 143^\circ, α ≈ 14 3 ∘ , β ≈ − 53 ∘ , \beta \approx -53^\circ, β ≈ − 5 3 ∘ , 90 ∘ . 90^\circ. 9 0 ∘ .
Мисоли 2. Ифодаи cos ( α + β ) cos β + sin ( α + β ) sin β \cos(\alpha + \beta)\cos\beta + \sin(\alpha + \beta)\sin\beta cos ( α + β ) cos β + sin ( α + β ) sin β x = α + β , x = \alpha + \beta, x = α + β , y = β y = \beta y = β cos x cos y + sin x sin y = cos ( x − y ) = cos ( α + β − β ) = cos α . \cos x \cos y + \sin x \sin y = \cos(x - y) = \cos(\alpha + \beta - \beta) = \cos\alpha. cos x cos y + sin x sin y = cos ( x − y ) = cos ( α + β
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Ифодаи зеринро содда кунед:
а) 2 cos ( π 3 − α ) − 3 sin α ; 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3} - \alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha; 2 cos ( 3 π − α ) − 3 sin α ;
б) 3 cos α − 2 cos ( α − π 6 ) . \sqrt{3}\cos\alpha - 2\cos\left(\alpha - \dfrac{\pi}{6}\right). 3 cos α − 2 cos ( α −
а) cos ( α + β ) ; \cos(\alpha + \beta); cos ( α + β ) ;
б) cos ( α − β ) , \cos(\alpha - \beta), cos ( α − β ) ,
агар sin α = 8 17 , \sin\alpha = \dfrac{8}{17}, sin α = 17 8 , cos β = 4 5 , \cos\beta = \dfrac{4}{5}, cos β = 5 4 , α \alpha α β \beta β
а) cos 2 φ cos φ + sin 2 φ sin φ ; \cos 2\varphi\cos\varphi + \sin 2\varphi\sin\varphi; cos 2 φ cos φ + sin 2 φ sin φ ;
б) cos ( π 4 + β ) cos ( π 4 − β ) − sin ( π 4 + β ) sin ( π 4 − β ) ; \cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \beta\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \beta\right) - \sin\left(\dfrac{\pi}{4} + \beta\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4} - \beta\right); cos ( 4 π + β ) cos ( 4 π − β ) − sin ( 4 π + β ) sin ( 4 π − β ) ;
в) cos ( 60 ∘ − α ) + cos ( 60 ∘ + α ) ; \cos(60^\circ - \alpha) + \cos(60^\circ + \alpha); cos ( 6 0 ∘ − α ) + cos ( 6 0 ∘ + α ) ;
г) cos ( 30 ∘ + α ) − cos ( 30 ∘ − α ) . \cos(30^\circ + \alpha) - \cos(30^\circ - \alpha). cos ( 3 0 ∘ + α ) − cos ( 3 0 ∘ − α ) .
а) cos ( α + β ) cos ( α − β ) = cos 2 α − sin 2 β ; \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta; cos ( α + β ) cos ( α − β ) = cos 2 α − sin 2 β ;
б) cos ( α − β ) − cos ( α + β ) = 2 sin α sin β . \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha\sin\beta. cos ( α − β ) − cos ( α + β ) = 2 sin α sin β .
Дар хона 5. Қимати ифодаҳоро ёбед:
а) cos 24 ∘ cos 21 ∘ − sin 24 ∘ sin 21 ∘ ; \cos 24^\circ \cos 21^\circ - \sin 24^\circ \sin 21^\circ; cos 2 4 ∘ cos 2 1 ∘ − sin 2 4 ∘ sin 2 1 ∘ ;
б) cos 107 ∘ cos 17 ∘ + sin 107 ∘ sin 17 ∘ ; \cos 107^\circ \cos 17^\circ + \sin 107^\circ \sin 17^\circ; cos 10 7 ∘ cos 1 7 ∘ + sin 10 7 ∘ sin 1 7 ∘ ;
в) cos 36 ∘ cos 24 ∘ − sin 36 ∘ sin 24 ∘ ; \cos 36^\circ \cos 24^\circ - \sin 36^\circ \sin 24^\circ; cos 3 6 ∘ cos 2 4 ∘ − sin 3 6 ∘ sin 2 4 ∘ ;
г) cos 18 ∘ cos 63 ∘ + sin 18 ∘ sin 63 ∘ ; \cos 18^\circ \cos 63^\circ + \sin 18^\circ \sin 63^\circ; cos 1 8 ∘ cos 6 3 ∘ + sin 1 8 ∘ sin 6 3 ∘ ;
д) cos 32 ∘ cos 58 ∘ − sin 32 ∘ sin 58 ∘ . \cos 32^\circ \cos 58^\circ - \sin 32^\circ \sin 58^\circ. cos 3 2 ∘ cos 5 8 ∘ − sin 3 2 ∘ sin 5 8 ∘ .
а) x 2 + 4 x + 3 x − 5 ⋅ x 2 − 5 x x + 3 ; \dfrac{x^2 + 4x + 3}{x - 5} \cdot \dfrac{x^2 - 5x}{x + 3}; x − 5 x 2 + 4 x + 3 ⋅ x + 3 x 2 − 5 x ;
б) x 2 − 16 4 x + 12 : x 2 + 3 x − 4 x + 3 . \dfrac{x^2 - 16}{4x + 12} : \dfrac{x^2 + 3x - 4}{x + 3}. 4 x + 12 x 2 − 16 : x +
7. Аломати ифодаи зеринро муайян кунед:
а) sin 153 ∘ ; \sin 153^\circ; sin 15 3 ∘ ; sin 273 ∘ ; \sin 273^\circ; sin 27 3 ∘ ; sin 301 ∘ ; \sin 301^\circ; sin 30 1 ∘ ; sin ( − 401 ∘ ) ; \sin(-401^\circ); sin ( − 40 1 ∘ ) ;
д) cos 73 ∘ ; \cos 73^\circ; cos 7 3 ∘ ; sin 910 ∘ ; \sin 910^\circ; sin 91 0 ∘ ; cos ( − 1230 ∘ ) ; \cos(-1230^\circ); cos ( − 123 0 ∘ ) ;
а) 1 cos 2 α + 1 sin 2 α = 1 sin 2 α ⋅ cos 2 α ; \dfrac{1}{\cos^2\alpha} + \dfrac{1}{\sin^2\alpha} = \dfrac{1}{\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha}; cos 2 α 1 + sin 2 α 1 = sin 2 α ⋅ cos 2 α 1 ;
б) cos 4 α − sin 4 α = 1 − 2 sin 2 α . \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha. cos 4 α − sin 4 α = 1 − 2 sin 2 α .
9. Нобаробариро ҳал кунед:
а) 0,8 x < 1 3 x − 7 15 ; 0{,}8x < \dfrac{1}{3}x - \dfrac{7}{15}; 0 , 8 x < 3 1 x − 15 7 ;
б) 5 x − 3 4 < 1,25 x + 1. \dfrac{5x - 3}{4} < 1{,}25x + 1. 4 5 x − 3 < 1 , 25 x + 1.
10. Ду мошин кореро дар муддати 20 20 20 9 9 9
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–10.
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 8. Косинуси фарқ ва суммаи кунҷҳо» (барои ҳар ду соат).
Хулоса
cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β , \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta, cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β , cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β . \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta. cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β . Бо ин формулаҳо косинуси кунҷҳои ғайримаъмул (15 ∘ , 15^\circ, 1 5 ∘ , 75 ∘ , 75^\circ, 7 5 ∘ , 105 ∘ 105^\circ 10 5 ∘
Агар танҳо як функсия маълум бошад, дигарашро аз sin 2 x + cos 2 x = 1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 sin 2 x + cos 2 x = 1
Формулаҳоро аз рост ба чап — барои ҷамъ кардани ифодаҳои ба ҳам монанд — истифода мебаранд.
Дар ин дарс
Ман метавонам формулаҳои косинуси сумма ва фарқро барои соддакунӣ ва исботи айниятҳо истифода барам.Ман метавонам cos ( α ± β ) \cos(\alpha \pm \beta) cos ( α ± β ) sin α \sin\alpha sin α cos β \cos\beta cos β Ман метавонам аломати функсияи ёфташавандаро аз чоряк муайян кунам. Такрор (2 дақиқа)
cos ( α − β ) \cos(\alpha - \beta) cos ( α − β ) cos ( α + β ) \cos(\alpha + \beta) cos ( α + β ) Агар sin α = 3 5 \sin\alpha = \dfrac{3}{5} sin α = 5 3 α \alpha α cos α \cos\alpha cos α
Дар кадом чоряк косинус манфӣ аст?
Ҷавобҳо
cos α cos β + sin α sin β \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta cos α cos β + sin α sin β cos α cos β − sin α sin β . \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta. cos α cos β − sin α sin β . Дар хотир доред Пеш аз гузоштан бубинед, ки кадом функсия намерасад ва аломаташ чӣ гуна аст: он аз чоряки кунҷ муайян мешавад. Ифода бо суммаи ё фарқи кунҷҳо — бо формула «ҷамъ» кунед: масалан, cos 40 ∘ cos 20 ∘ − sin 40 ∘ sin 20 ∘ = cos 60 ∘ . \cos 40^\circ \cos 20^\circ - \sin 40^\circ \sin 20^\circ = \cos 60^\circ. cos 4 0 ∘ cos 2 0 ∘ − sin
Калимаҳои калидӣ косинуси фарқ косинуси сумма зарби скалярӣ чоряки кунҷ айният
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Ман метавонам:
✓ / ✗ формулаи косинуси фарқи ду кунҷро нависам ва исбот кунам;
✓ / ✗ формулаи косинуси суммаро аз формулаи фарқ ҳосил кунам;
✓ / ✗ cos 75 ∘ \cos 75^\circ cos 7 5 ∘ cos 105 ∘ \cos 105^\circ cos 10 5 ∘
✓ / ✗ аломати синус ё косинусро аз чоряк муайян кунам.
Агар α \alpha α β \beta β sin α sin β > 0 \sin\alpha\sin\beta > 0 sin α sin β > 0 cos α cos β > 0. \cos\alpha\cos\beta > 0. cos α cos β > 0.
cos ( 60 ∘ + α ) + cos ( 60 ∘ − α ) \cos(60^\circ + \alpha) + \cos(60^\circ - \alpha) cos ( 6 0 ∘ + α ) + cos ( 6 0 ∘ − α )
Як ҷавобро интихоб кунед A 3 sin α \sqrt{3}\sin\alpha
B C D Қадамҳои исботи cos ( α − β ) − cos ( α + β ) = 2 sin α sin β \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha\sin\beta cos ( α − β ) − cos ( α + β ) = 2 sin α sin β
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 cos α cos β \cos\alpha\cos\beta
2
3
4
Ифодаро бо натиҷаи содда кардани он мувофиқ кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед cos 25 ∘ cos 5 ∘ − sin 25 ∘ sin 5 ∘ \cos 25^\circ\cos 5^\circ - \sin 25^\circ\sin 5^\circ cos 2 5 ∘ cos 5 ∘ − sin 2 5 ∘ sin 5 ∘
→ … sin α cos 30° cos 5° cos α cos 20°
→ … sin α cos 30° cos 5° cos α cos 20° → … sin α cos 30° cos 5° cos α cos 20°
16
;
sin β < 0 , \sin\beta < 0, sin β < 0 , sin β = − 4 5 . \sin\beta = -\dfrac{4}{5}. sin β = − 5 4 . ⋅
5 3 +
5 3 ⋅
( − 5 4 ) =
− 25 12 −
25 12 =
− 25 24 .
−
β ) =
cos α .
6
π
)
.
3
x 2 + 3 x − 4
.
sin 140 ∘ . \sin 140^\circ. sin 14 0 ∘ . cos 2 α = 1 − 9 25 = 16 25 , \cos^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}, cos 2 α = 1 − 25 9 = 25 16 , cos α = − 4 5 . \cos\alpha = -\dfrac{4}{5}. cos α = − 5 4 . 4
0 ∘
sin
2
0 ∘
=
cos 6 0 ∘ .
β
=
5 4 .
cos ( α + β ) \cos(\alpha + \beta) cos ( α + β )
sin
α
3 2 sin α \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha 2 3 sin α
cos
α
cos
β
Мемонад 2 sin α sin β , 2\sin\alpha\sin\beta, 2 sin α sin β ,
Қавсро мекушоем ва аломатҳоро иваз мекунем: cos α cos β + sin α sin β − cos α cos β + sin α sin β \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta cos α cos β + sin α sin β − cos α cos β + sin α sin β
Қисми чапро бо формулаҳои фарқ ва сумма менависем: ( cos α cos β + sin α sin β ) − ( cos α cos β − sin α sin β ) (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) ( cos α cos β + sin α sin β ) − ( cos α cos β − sin α sin β )
cos 25 ∘ cos 5 ∘ + sin 25 ∘ sin 5 ∘ \cos 25^\circ\cos 5^\circ + \sin 25^\circ\sin 5^\circ cos 2 5 ∘ cos 5 ∘ + sin 2 5 ∘ sin 5 ∘
cos ( α + β ) cos β + sin ( α + β ) sin β \cos(\alpha + \beta)\cos\beta + \sin(\alpha + \beta)\sin\beta cos ( α + β ) cos β + sin ( α + β ) sin β