10. Тангенси сумма ва фарқи кунҷҳо - Алгебра — синфи 10
Шарҳ. «Қимати имконпазир» — қиматҳое, ки барои онҳо се тангенси tgα, tgβ ва tg(α+β) маъно доранд, яъне
навбатӣ11 · 1/2. Формулаҳои кунҷи дучанда
1 соат
α=2π+πk,β=2π+πk,α+β=2π+πk.
Дар ин ҳол косинуси ҳар се кунҷ аз нул фарқ мекунад ва ҳамаи се тангенс — адади охирнок.
Исбот. Аз таърифи тангенс ва формулаҳои синус ва косинуси сумма истифода мебарем:
tg(α+β)=cos(α+β)sin(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ
Сурат ва махраҷро ба cosαcosβ=0 тақсим мекунем:
tg(α+β)=
Дар формулаи (1) β-ро ба −β иваз мекунем ва тоқ будани тангенсро истифода мебарем (tg(−β)=−tgβ):
tg(α−β)=tg(α+(−β))=1−tgαtg(−β)tg
Мисоли 1. tg(4π+α)-ро бо tgα ифода мекунем. Азбаски tg4π=1, аз формулаи (1) мебарояд:
tg(4π+α)
Мисоли 2. tg150∘-ро ҳисоб мекунем. 150∘=180∘−30∘, пас аз формулаи (2):
tg150∘=tg(180∘
Мисоли 3. sin240∘ ва tg135∘-ро ҳисоб мекунем.
240∘=180∘+60∘, пас бо формулаи синуси сумма
sin240∘=sin180∘cos60∘+cos180∘sin60∘=
135∘=180∘−45∘, пас аз формулаи (2)
tg135∘=1+tg180∘⋅tg45∘tg180
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Агар tgα=34 ва tgβ=41 бошад, tg(α+β)-ро ёбед.
- а) tg15∘;
- б) tg75∘.
- а) 1−tg20∘⋅tg10∘tg20∘+tg10∘;
- б) tg152∘−tg2∘1+tg2
- а) 1−tg15π⋅tg154πtg15π+tg154π;
- б) 1+tg32π⋅tg
- в) 1−tg22∘⋅tg23∘tg2
- г) 1+tg72∘⋅tg42∘tg7
- а) 1−tgα1+tgα=tg(4π+α);
- б) cosαcosβsin(α+β)=tgα+tg
- а) tg(α+β)−tgα−tgβ−tg(α+β)tgαtgβ;
- б) tg(α+β)tgα+tgβ+
- в) 1−tg(8π
- г) 1+tg98π⋅tg
Дар хона
7. tgα=21 ва tgβ=31 мебошанд. Ёбед:
- а) tg(α+β);
- б) tg(α−β).
8. Ёбед tg(α+β) ва tg(α−β)-ро:
- а) агар tgα=1,2 ва tgβ=0,7 бошад;
- б) агар tgα=−0,2 ва tgβ=1,5 бошад.
9. Қимати ифодаҳоро ёбед:
- а) sin300∘; б) cos330∘; в) sin570∘; г) sin810∘.
10. sin(α+β)-ро ёбед, агар sinα=178, cosβ=54 буда, α ва β кунҷҳои чоряки якум бошанд.
11. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
- а) {x2+xy−y2=11,x−2y=1;
- б) {x2+xy−3y=9,3x+2y=−1.
12. Ҳосили зарби ду адад аз суммаи онҳо 15 маротиба калон аст. Агар ба адади якум дучанди адади дуюмро ҷамъ кунем, 100 ҳосил мешавад. Ин ададҳоро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 7–12 ва қисми иҷронашудаи машқҳои «Дар синф».
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 10. Тангенси сумма ва фарқи кунҷҳо».
Хулоса
- tg(α+β)=1−tgαtgβtgα+tgβ, tg(α−β)=1+tgαtgβtgα
- Формулаҳо танҳо барои қиматҳои имконпазир дурустанд: tgα, tgβ ва tg(α+β) бояд маъно дошта бошанд.
- Исбот: tg=cossin, сурат ва махраҷро ба cosαcosβ тақсим мекунем; фарқ — бо иваз β
- Тангенси кунҷҳои 15∘, 75∘, 135∘, 150 бо ин формулаҳо ҳисоб мешавад.
Дар ин дарс
- Ман медонам формулаҳои тангенси сумма ва фарқи ду кунҷро ва шартҳоеро, ки дар онҳо формулаҳо маъно доранд.
- Ман метавонам формулаҳоро аз синус ва косинуси сумма ҳосил кунам.
- Ман метавонам тангенси кунҷҳои ғайримаъмулро (15∘, 75∘, 135∘) ҳисоб ва ифодаҳоро бо тангенс сода кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- tgα-ро бо ёрии sinα ва cosα нависед. Барои кадом α тангенс маъно надорад?
- sin(α+β) ва cos(α+β)-ро нависед.
- tg(−x)-ро бо tgx ифода кунед.
Ҷавобҳо
- tgα=cosαsinα; барои cosα=0, яъне 2) 3) (тангенс функсияи тоқ аст).
Вазъият барои андешаронӣДар ҷадвал tg15∘ нест. Мо sin(α+β) ва cos(α+β)-ро медонем, tgα бошад — таносуби синус ба косинус. Оё tg(α+β)-ро ба воситаи tgα ва tgβ навиштан мумкин аст? Ҳисоб кунед: tg45∘+tg45∘ ба tg90∘ баробар аст?
ТеоремаБарои ҳар гуна қиматҳои имконпазири кунҷҳои α ва β формулаи зерин дуруст аст:
tg(α+β)=1−tgαtgβtgα+tgβ.(1)
Дар хотир доредtg(α−β)=1+tgαtgβ Оё медонед?Формулаҳои (1) ва (2) барои α+β=2π кор намекунанд, зеро вуҷуд надорад. Дар ин ҳол мешавад: махраҷ нул аст. Масалан, чунин аст:
Калимаҳои калидӣтангенси сумматангенси фарққимати имконпазиртоқ будани тангенс
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Ман метавонам:
- ✓ / ✗ формулаи тангенси суммаро аз синус ва косинуси сумма ҳосил кунам;
- ✓ / ✗ tg75∘ ё tg135∘-ро ҳисоб кунам;
- ✓ / ✗ шарҳ диҳам, ки чаро барои формула кор намекунад.
Формулаи tg(α+β) барои α=β=45∘ кор мекунад.
tg105∘-ро ҳисоб кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед
.
cosαcosβcosαcosβ−cosαcosβsinαsinβcosαcosβsinαcosβ+cosαcosβ=
1−tgαtgβtgα+tgβ.■
α
+
tg
(
−
β
)
=
1+tgαtgβtgα−tgβ.
=
1−tg4π⋅tgαtg4π+tgα=
1−tgα1+tgα.
−
30∘)=
1+tg180∘⋅tg30∘tg180∘−tg30∘=
0⋅
21+
(−1)⋅
∘
−
tg
4
5∘
=
1+0⋅10−1=
−1.
∘
⋅
tg
15
2∘
.
125π
tg32π−tg125π
;
2∘
+
tg
2
3∘
;
2∘
−
tg
4
2∘
.
β
.
tg(α−β)tgα−tgβ−
2;
+
α
)
tg
(8π−α)
tg(8π+α)+tg(8π−α)
−
1;
365π
tg9π+tg365π
−
1.
−
tg
β
.
→
−β.
∘
α=2π+πk.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ. tg(−x)=−tgx
tgα−tgβ
.
(
2
)
Дар сурат аломати байни тангенсҳо ҳамон аст, ки дар α±β; дар махраҷ — баръакс.
tg
2π
1−tgαtgβ=0 α=30∘, β=60∘ tg30∘⋅tg60∘=31⋅3=1. α+β=2π
4
1
tg(α+β) tg(α−β)
cosαsinβ