16. Функсияҳои тригонометрии аргументи ададӣ - Алгебра — синфи 10
Мавзӯъҳои пештар аргументи функсияҳои тригонометриро кунҷ ё камон мегирифтанд. Акнун аргумент — адад.
Масалан, cos 3 \cos3 cos 3 3 3 3 sin 0,5 \sin0{,}5 sin 0 , 5 0,5 0{,}5 0 , 5 tg 1 \operatorname{tg}1 tg 1 1 1 1
навбатӣ 17. Экстремуми функсияҳо 1 соат
Ҳар адади x x x P ( x ) P(x) P ( x ) x x x A ( 1 ; 0 ) A(1;\,0) A ( 1 ; 0 ) x > 0 , x > 0, x > 0 , x < 0 x < 0 x < 0 P ( x ) P(x) P ( x ) sin x , \sin x, sin x , cos x . \cos x. cos x .
Соҳаи муайянӣ (Тангенс камонҳои π 2 + π k \dfrac{\pi}{2} + \pi k 2 π + πk ( 0 ; ± 1 ) (0;\,\pm1) ( 0 ; ± 1 )
Функсияҳои маҳдуд Функсия маҳдуд аст, агар адади мусбати M M M ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)| \le M ∣ f ( x ) ∣ ≤ M M M M номаҳдуд аст.
Аломати қимат Аломати sin x , \sin x, sin x , cos x , \cos x, cos x , tg x , \operatorname{tg}x, tg x , ctg x \operatorname{ctg}x ctg x P ( x ) P(x) P ( x ) x x x (1 1 1 радиан ≈ 57,3 ∘ \approx 57{,}3^\circ ≈ 57 , 3 ∘ π ≈ 3,14 \pi \approx 3{,}14 π ≈ 3 , 14
Адади x ва нуқтаи P(x) дар давраи воҳидӣ санҷида бин! Аз нав Мисоли 1. Кадом аз ададҳо мусбатанд ва кадом манфӣ? sin 67 ∘ , \sin67^\circ, sin 6 7 ∘ , cos 267 ∘ , \cos267^\circ, cos 26 7 ∘ , cos 375 ∘ , \cos375^\circ, cos 37 5 ∘ , sin ( − 68 ∘ ) , \sin(-68^\circ), sin ( − 6 8 ∘ ) , cos ( − 68 ∘ ) , \cos(-68^\circ), cos ( − 6 8 ∘ ) , sin 2. \sin2. sin 2.
sin 67 ∘ > 0 , \sin67^\circ > 0, sin 6 7 ∘ > 0 , 67 ∘ 67^\circ 6 7 ∘ cos 267 ∘ < 0 , \cos267^\circ < 0, cos 26 7 ∘ < 0 , 267 ∘ 267^\circ 26 7 ∘ cos 375 ∘ > 0 , \cos375^\circ > 0, cos 37 5 ∘ > 0 , 375 ∘ = 360 ∘ + 15 ∘ 375^\circ = 360^\circ + 15^\circ 37 5 ∘ = 36 0 ∘ + 1 sin ( − 68 ∘ ) < 0 , \sin(-68^\circ) < 0, sin ( − 6 8 ∘ ) < 0 , − 68 ∘ -68^\circ − 6 8 ∘ cos ( − 68 ∘ ) > 0 , \cos(-68^\circ) > 0, cos ( − 6 8 ∘ ) > 0 , − 68 ∘ -68^\circ − 6 8 ∘ sin 2 > 0 , \sin2 > 0, sin 2 > 0 , 2 2 2 = 2 ⋅ 180 ∘ π ≈ 114 ∘ 35 ′ = \dfrac{2 \cdot 180^\circ}{\pi} \approx 114^\circ35' = π 2 ⋅ 18 0 Мисоли 2. Аломати ифодаҳоро муайян мекунем: а) sin 3 ; \sin3; sin 3 ; cos 6 ; \cos6; cos 6 ; tg 9 ; \operatorname{tg}9; tg 9 ; ctg 12 ; \operatorname{ctg}12; ctg 12 ; cos ( − 5 ) ; \cos(-5); cos ( − 5 ) ; tg ( − 10 ) ; \operatorname{tg}(-10); tg ( − 10 ) ; sin ( − 15 ) ; \sin(-15); sin ( − 15 ) ; ctg ( − 20 ) . \operatorname{ctg}(-20). ctg ( − 20 ) .
Чоряки адад — аз π ≈ 3,14 \pi \approx 3{,}14 π ≈ 3 , 14 2 π ≈ 6,28 2\pi \approx 6{,}28 2 π ≈ 6 , 28 π 2 ≈ 1,57 , \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57, 2 π ≈ 1 , 57 , 3 π 2 ≈ 4,71 \dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71 2 3 π ≈ 4 , 71 x x x 2 π 2\pi 2 π
а) sin 3 > 0 : \sin3 > 0: sin 3 > 0 : π 2 < 3 < π \dfrac{\pi}{2} < 3 < \pi 2 π < 3 < π
б) cos 6 > 0 : \cos6 > 0: cos 6 > 0 : 3 π 2 < 6 < 2 π \dfrac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi 2 3 π < 6 < 2 π
в) tg 9 < 0 : \operatorname{tg}9 < 0: tg 9 < 0 : 9 − 2 π ≈ 2,72 , 9 - 2\pi \approx 2{,}72, 9 − 2 π ≈ 2 , 72 , ( π 2 ; π ) \left(\dfrac{\pi}{2};\,\pi\right) (
г) ctg 12 < 0 : \operatorname{ctg}12 < 0: ctg 12 < 0 : 12 − 4 π ≈ − 0,57 , 12 - 4\pi \approx -0{,}57, 12 − 4 π ≈ − 0 , 57 ,
д) cos ( − 5 ) > 0 : \cos(-5) > 0: cos ( − 5 ) > 0 : − 5 + 2 π ≈ 1,28 -5 + 2\pi \approx 1{,}28 − 5 + 2 π ≈ 1 , 28
е) tg ( − 10 ) < 0 : \operatorname{tg}(-10) < 0: tg ( − 10 ) < 0 : − 10 + 4 π ≈ 2,57 -10 + 4\pi \approx 2{,}57 − 10 + 4 π ≈ 2 , 57
ж) sin ( − 15 ) < 0 : \sin(-15) < 0: sin ( − 15 ) < 0 : − 15 + 6 π ≈ 3,85 -15 + 6\pi \approx 3{,}85 − 15 + 6 π ≈ 3 , 85
з) ctg ( − 20 ) < 0 : \operatorname{ctg}(-20) < 0: ctg ( − 20 ) < 0 : − 20 + 8 π ≈ 5,13 -20 + 8\pi \approx 5{,}13 − 20 + 8 π ≈ 5 , 13 3 π 2 ≈ 4,71 < 5,13 < 2 π \dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71 < 5{,}13 < 2\pi
Мисоли 3. sin α = − 1 8 \sin\alpha = -\dfrac{1}{8} sin α = − 8 1 π < α < 3 π 2 \pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2} π < α < 2 3 π cos α \cos\alpha cos α cos α = ± 1 − sin 2 α \cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha} cos α = ± 1 − sin 2 α cos α = − 1 − 1 64 = − 63 8 . \cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{1}{64}} = -\frac{\sqrt{63}}{8}. cos α = − 1 − 64 1
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Аломати ифодаро муайян кунед:
а) sin 70 ∘ ⋅ cos 70 ∘ ⋅ tg 100 ∘ ; \sin70^\circ \cdot \cos70^\circ \cdot \operatorname{tg}100^\circ; sin 7 0 ∘ ⋅ cos 7 0 ∘ ⋅ tg 10 0 ∘ ;
б) sin 130 ∘ ⋅ cos ( − 15 ∘ ) ⋅ tg ( − 100 ∘ ) ; \sin130^\circ \cdot \cos(-15^\circ) \cdot \operatorname{tg}(-100^\circ); sin 13 0 ∘ ⋅ cos ( − 1 5 ∘ ) ⋅ tg ( − 10 0 ∘ ) ;
в) sin 1 ⋅ cos 3 ⋅ tg 7 ; \sin1 \cdot \cos3 \cdot \operatorname{tg}7; sin 1 ⋅ cos 3 ⋅ tg 7 ;
г) sin 8 ⋅ cos 0,2 ⋅ tg ( − 6,2 ) . \sin8 \cdot \cos0{,}2 \cdot \operatorname{tg}(-6{,}2). sin 8 ⋅ cos 0 , 2 ⋅ tg ( − 6 , 2 ) .
2. Агар қимати α \alpha α
а) 3 7 π ; \dfrac{3}{7}\pi; 7 3 π ; 8 9 π ; \dfrac{8}{9}\pi; 9 8 π ; 12 7 π ; \dfrac{12}{7}\pi; 7 12 π ; − 7 9 π -\dfrac{7}{9}\pi − 9 7 π
баробар бошад, аломати sin α , \sin\alpha, sin α , cos α , \cos\alpha, cos α , tg α , \operatorname{tg}\alpha, tg α , ctg α \operatorname{ctg}\alpha ctg α
3. Магар тангенс ва котангенси як адад мувофиқан ба ададҳои зер баробар шуда метавонанд:
а) − 3 5 -\dfrac{3}{5} − 5 3 − 5 3 ; -\dfrac{5}{3}; − 3 5 ;
б) 3 − 2 \sqrt{3} - 2 3 − 2 3 + 2 ; \sqrt{3} + 2; 3 + 2 ;
в) 2,4 2{,}4 2 , 4 5 12 ; \dfrac{5}{12}; 12 5 ;
г) 5 2 \dfrac{\sqrt{5}}{2} 2 5 2 5 5 ? \dfrac{2\sqrt{5}}{5}?
4. Аз рӯйи қимати маълуми яке аз функсияҳои тригонометрӣ ва фосилае, ки α \alpha α
а) sin α = − 0,8 , \sin\alpha = -0{,}8, sin α = − 0 , 8 , π < α < 3 π 2 ; \pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}; π < α < 2 3 π ;
б) cos α = − 6 4 , \cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{6}}{4}, cos α = − 4 6 , π 2 < α < π ; \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi; 2 π < α < π ;
в) sin α = 2 3 , \sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{3}, sin α = 3 2 , 0 < α <
г) cos α = 15 17 , \cos\alpha = \dfrac{15}{17}, cos α = 17 15 , 3 π 2 < α < 2 π . \dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi. 2 3 π
Дар хона 5. Магар синус ва косинус як адад мувофиқан ба ададҳои зер баробар шуда метавонанд:
а) − 7 25 -\dfrac{7}{25} − 25 7 24 25 ; \dfrac{24}{25}; 25 24 ;
б) 0,4 0{,}4 0 , 4 0,7 ; 0{,}7; 0 , 7 ;
в) 6 3 \dfrac{\sqrt{6}}{3} 3 6 − 5 3 ; -\dfrac{\sqrt{5}}{3}; −
г) − 2 5 -\dfrac{2}{\sqrt{5}} − 5 2 1 5 ? \dfrac{1}{\sqrt{5}}?
6. Қимати ифодаҳои зеринро муқоиса кунед:
sin 0 ∘ ; \sin0^\circ; sin 0 ∘ ; cos 90 ∘ ; \cos90^\circ; cos 9 0 ∘ ; cos 270 ∘ ; \cos270^\circ; cos 27 0 ∘ ; sin 180 ∘ ; \sin180^\circ; sin 18 0 ∘ ; sin 270 ∘ ; \sin270^\circ; sin 27 0 ∘ ; cos 180 ∘ . \cos180^\circ. cos 18 0 ∘ .
7. Бе сохтани координатаҳои нуқтаҳои буришро ёбед:
а) параболаи y = x 2 − 3 x + 3 y = x^2 - 3x + 3 y = x 2 − 3 x + 3 2 x − y − 1 = 0 ; 2x - y - 1 = 0; 2 x − y − 1 = 0 ;
б) параболаи y = 2 x 2 − x + 1 y = 2x^2 - x + 1 y = 2 x 2 − x + 1 x = 1,5 ; x = 1{,}5; x = 1 , 5 ;
в) давраи x 2 + y 2 = 100 x^2 + y^2 = 100 x 2 + y 2 = 100 x + y = 14. x + y = 14. x + y = 14.
8. Экстремум ва экстремалиҳои функсияи y = − x 2 + 6 x − 8 y = -x^2 + 6x - 8 y = − x 2 + 6 x − 8
9. Як адад аз дигараш 7 7 7 − 12 -12 − 12
а) cos 0,3 π sin 0,2 π + sin 0,3 π cos 0,2 π ; \cos0{,}3\pi\sin0{,}2\pi + \sin0{,}3\pi\cos0{,}2\pi; cos 0 , 3 π sin 0 , 2 π + sin 0 , 3 π cos 0 , 2 π ;
б) cos 35 ∘ sin 65 ∘ − sin 35 ∘ cos 65 ∘ . \cos35^\circ\sin65^\circ - \sin35^\circ\cos65^\circ. cos 3 5 ∘ sin 6 5 ∘ − sin 3 5 ∘ cos 6 5 ∘ .
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–10 ва қисми иҷронашудаи машқҳои «Дар синф».
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 16. Функсияҳои тригонометрии аргументи ададӣ».
Хулоса
sin x , \sin x, sin x , cos x \cos x cos x x x x x x x tg x , \operatorname{tg}x, tg x , ctg x . \operatorname{ctg}x. ctg x . sin x , \sin x, sin x , cos x \cos x cos x x x x tg x \operatorname{tg}x tg x x ≠ π 2 + π k ; x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k; x = ∣ sin x ∣ ≤ 1 , |\sin x| \le 1, ∣ sin x ∣ ≤ 1 , ∣ cos x ∣ ≤ 1 |\cos x| \le 1 ∣ cos x ∣ ≤ 1 tg x , \operatorname{tg}x, tg x , ctg x \operatorname{ctg}x Аломати қимат аз чоряки нуқтаи P ( x ) P(x) P ( x ) x x x π ≈ 3,14 \pi \approx 3{,}14 π ≈ 3 , 14
Дар ин дарс
Ман медонам , ки sin x , \sin x, sin x , cos x , \cos x, cos x , tg x , \operatorname{tg}x, tg x , ctg x \operatorname{ctg}x ctg x x x x Ман метавонам аломати ифодаҳоеро муайян кунам, ки аргументашон адад аст (sin 2 , \sin2, sin 2 , cos 6 , \cos6, cos 6 , tg 9 \operatorname{tg}9 tg 9 Ман медонам , ки кадом функсияҳо маҳдуданд ва кадомҳо не. Такрор (2 дақиқа)
Чӣ тавр 1 1 1 π \pi π
Дар кадом чорякҳо cos α < 0 \cos\alpha < 0 cos α < 0
sin α = − 3 5 \sin\alpha = -\dfrac{3}{5} sin α = − 5 3 α \alpha α cos α \cos\alpha cos α Ҷавобҳо
1 1 1 π \pi π = 180 ∘ . = 180^\circ. = 18 0 ∘ . cos α = − 1 − 9 25 = − 4 5 . \cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\dfrac{4}{5}. cos α = − Вазъият барои андешаронӣ Дар y = a x 2 y = ax^2 y = a x 2 x x x y = sin x y = \sin x y = sin x x x x sin 0,5 \sin 0{,}5 sin 0 , 5 cos 3 ? \cos 3? cos 3 ?
Таъриф Синуси адади x x x x x x x x x x x x
Расми 1. Тири ададӣ ба давраи воҳидӣ печонида мешавад: адади t ба нуқтаи P(t) мегузарад. Хосият
sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x ҳар адади ҳақиқӣ x x x tg x \operatorname{tg}x tg x cos x = 0 , \cos x = 0, cos x = Хосият sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x ∣ sin x ∣ ≤ 1 , |\sin x| \le 1, ∣ sin x ∣ ≤ 1 , ∣ cos x ∣ ≤ 1 , |\cos x| \le 1, ∣ cos x ∣ ≤
Калимаҳои калидӣ аргументи ададӣ соҳаи муайянӣ функсияи маҳдуд функсияи номаҳдуд радиан
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Ман метавонам:
✓ / ✗ шарҳ диҳам, ки sin 2 \sin2 sin 2 cos 3 \cos3 cos 3
✓ / ✗ аломати tg 9 \operatorname{tg}9 tg 9 cos ( − 5 ) \cos(-5) cos ( − 5 )
cos 4 \cos4 cos 4
Як ҷавобро интихоб кунед A нул B мусбат C муайян кардан мумкин нест D манфӣ
Адади x x x sin x = 1,2 \sin x = 1{,}2 sin x = 1 , 2
Нуқтаи P ( 5 ) P(5) P ( 5 )
Як ҷавобро интихоб кунед A II B I C IV D III
Кадом ададҳо ба соҳаи муайянии tg x \operatorname{tg}x tg x
Як ҷавобро интихоб кунед A x = 2 π k x = 2\pi k x = 2 πk
B x = π k x = \pi k x = πk
C x = π 2 + π k x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k x =
D 5
∘
∘
≈
11 4 ∘ 3 5 ′
2
π
;
π
)
2
3 π
≈
4 , 71 <
5 , 13 <
2 π
=
5
?
π 2 ; 0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}; 0 < α < 2 π ;
<
α <
2 π .
3
;
1
?
2 π +
πk ;
ctg x \operatorname{ctg}x ctg x ctg
x
=
− 5 4 .
0
,
x = π 2 + π k . x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k. x = 2 π + πk . x ≠ π 2 + π k , x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k, x = 2 π + πk , k ∈ Z . k \in \mathbb{Z}. k ∈ Z . ctg x \operatorname{ctg}x ctg x sin x = 0 , \sin x = 0, sin x = 0 , x = π k . x = \pi k. x = πk . x ≠ π k . x \ne \pi k. x = πk .
1 ,
tg x \operatorname{tg}x tg x ctg x \operatorname{ctg}x ctg x ✓ / ✗ соҳаи муайянии tg x \operatorname{tg}x tg x ctg x \operatorname{ctg}x ctg x 2
3 π
2 π
+
πk
x = π 4 + π k x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k x = 4 π + πk
