14. Сумма ва фарқро ба ҳосили зарб табдил додан - Алгебра — синфи 10
Формулаҳои 13 ҳосили зарбро ба сумма табдил медоданд. Акнун баръакс: суммаро ба ҳосили зарб.
Исбот. Тарафи рости баробариро ба сумма табдил медиҳем. Аз формулаи (3)-и 13 барои кунҷҳои α + β 2 \dfrac{\alpha + \beta}{2} 2 α + β α − β 2 \dfrac{\alpha - \beta}{2} 2 α − β
навбатӣ Такрор ва санҷиш: фаслҳои 8–14 · 1/3. Формулаҳои тригонометрӣ 1 соат
2 cos α + β 2 cos α − β 2 = 2 ⋅ cos ( α + β 2 + α − β 2 ) + cos ( α + β 2 − α − β 2 ) 2 = cos α + cos β . ■ 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} = 2 \cdot \frac{\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\alpha - \beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{2} = \cos\alpha + \cos\beta. \quad \blacksquare 2 cos 2 α + β cos 2 α − β = 2 ⋅ 2 c o s ( 2 α + β + 2 α − β cos α + cos β . ■ Се формулаи дигарро бо ҳамин усул исбот мекунанд. Барои синус: аз формулаи (5) дар 13
2 sin α + β 2 cos α − β 2 = sin ( α + β 2 + α − β 2 ) + sin ( α + β 2 − α − β 2 ) = sin α + sin β . 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} = \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\alpha - \beta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \sin\alpha + \sin\beta. 2 sin 2 α + β cos 2 α − β = sin ( 2 α + β + 2 α − β ) + sin ( 2 α + β − 2 α − β ) = sin α + sin β .
Барои фарқҳо: u = α + β 2 , u = \dfrac{\alpha + \beta}{2}, u = 2 α + β , v = α − β 2 v = \dfrac{\alpha - \beta}{2} v = 2 α − β α = u + v , \alpha = u + v, α = u + v , β = u − v . \beta = u - v. β = u − v . 13 бо v v v u u u α \alpha α β \beta β 2 cos u sin v = sin ( v + u ) + sin ( v − u ) = sin α − sin β . 2\cos u\sin v = \sin(v + u) + \sin(v - u) = \sin\alpha - \sin\beta. 2 cos u sin v = sin ( v + u ) + sin ( v − u ) = sin α − 2 sin u sin v = cos ( u − v ) − cos ( u + v ) = cos β − cos α , яъне − 2 sin u sin v = cos α − cos β . 2\sin u\sin v = \cos(u - v) - \cos(u + v) = \cos\beta - \cos\alpha, \qquad \text{яъне} \qquad -2\sin u\sin v = \cos\alpha - \cos\beta. 2 sin u sin v = cos ( u − v ) − cos ( u + v ) =
Барои тангенс: аз таърифи tg = sin cos \operatorname{tg} = \dfrac{\sin}{\cos} tg = cos sin tg α ± tg β = sin α cos α ± sin β cos β = sin α cos β ± cos α sin β cos α cos β = sin ( α ± β ) cos α cos β . \operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \pm \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha \pm \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}. tg α ± tg β = c o s α s i n α ± c o s β
Мисоли 1. cos 40 ∘ + cos 50 ∘ \cos40^\circ + \cos50^\circ cos 4 0 ∘ + cos 5 0 ∘ cos 40 ∘ + cos 50 ∘ = 2 cos 40 ∘ + 50 ∘ 2 cos 40 ∘ − 50 ∘ 2 = 2 cos 45 ∘ cos ( − 5 ∘ ) = 2 cos 5 ∘ . \cos40^\circ + \cos50^\circ = 2\cos\frac{40^\circ + 50^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ - 50^\circ}{2} = 2\cos45^\circ\cos(-5^\circ) = \sqrt{2}\cos5^\circ. cos 4 0 ∘ + cos 5 0 ∘ = 2 cos 2 4 0 ∘ + 5 0
Мисоли 2. sin 20 ∘ + cos 30 ∘ \sin20^\circ + \cos30^\circ sin 2 0 ∘ + cos 3 0 ∘ cos 30 ∘ = sin 60 ∘ \cos30^\circ = \sin60^\circ cos 3 0 ∘ = sin 6 0 ∘ sin 20 ∘ + cos 30 ∘ = sin 20 ∘ + sin 60 ∘ = 2 sin 20 ∘ + 60 ∘ 2 cos 20 ∘ − 60 ∘ 2 = 2 sin 40 ∘ cos 20 ∘ . \sin20^\circ + \cos30^\circ = \sin20^\circ + \sin60^\circ = 2\sin\frac{20^\circ + 60^\circ}{2}\cos\frac{20^\circ - 60^\circ}{2} = 2\sin40^\circ\cos20^\circ. sin 2 0 ∘ + cos 3 0 ∘ = sin 2 0
Мисоли 3. tg π 4 + tg π 6 \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} + \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6} tg 4 π + tg 6 π tg π 4 + tg π 6 = sin ( π 4 + π 6 ) cos π 4 cos π 6 = sin 5 π 12 2 2 ⋅ 3 2 = 2 6 sin 5 π 12 3 . \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} + \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)}{\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}} = \frac{\sin\frac{5\pi}{12}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{6}\sin\frac{5\pi}{12}}{3}. tg 4 π + tg 6 π = c
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Ба ҳосили зарб табдил диҳед:
а) sin 50 ∘ + sin 20 ∘ ; \sin50^\circ + \sin20^\circ; sin 5 0 ∘ + sin 2 0 ∘ ;
б) sin 18 ∘ − sin 10 ∘ ; \sin18^\circ - \sin10^\circ; sin 1 8 ∘ − sin 1 0 ∘ ;
в) cos 26 ∘ + cos 14 ∘ ; \cos26^\circ + \cos14^\circ; cos 2 6 ∘ + cos 1 4 ∘ ;
г) cos 7 ∘ − cos 19 ∘ ; \cos7^\circ - \cos19^\circ; cos 7 ∘ − cos 1 9 ∘ ;
д) sin 36 ∘ − cos 16 ∘ ; \sin36^\circ - \cos16^\circ; sin 3 6 ∘ − cos 1 6 ∘ ;
е) sin π 8 − cos π 12 . \sin\dfrac{\pi}{8} - \cos\dfrac{\pi}{12}. sin 8 π − cos 12 π .
2. Ба ҳосили зарб табдил диҳед:
а) tg 4 π 5 − tg 3 π 5 ; \operatorname{tg}\dfrac{4\pi}{5} - \operatorname{tg}\dfrac{3\pi}{5}; tg 5 4 π − tg 5 3 π ;
б) tg π 12 + tg π 3 ; \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{12} + \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}; tg 12 π + tg 3 π ;
в) sin 5 α − sin 3 α . \sin5\alpha - \sin3\alpha. sin 5 α − sin 3 α .
3. Ба ҳосили зарб табдил диҳед ва сода кунед:
а) cos 2 α − cos 2 β ; \cos^2\alpha - \cos^2\beta; cos 2 α − cos 2 β ;
б) sin π 10 + sin π 12 ; \sin\dfrac{\pi}{10} + \sin\dfrac{\pi}{12}; sin 10 π + sin 12 π ;
в) cos π 8 − cos π 18 ; \cos\dfrac{\pi}{8} - \cos\dfrac{\pi}{18}; cos 8 π − cos 18 π ;
г) sin 4 α + sin 2 β ; \sin4\alpha + \sin2\beta; sin 4 α + sin 2 β ;
д) sin ( 40 ∘ + α ) − sin ( 40 ∘ − α ) ; \sin(40^\circ + \alpha) - \sin(40^\circ - \alpha); sin ( 4 0 ∘ + α ) − sin ( 4 0 ∘ − α ) ;
е) sin α + sin 2 α + sin 3 α + sin 4 α . \sin\alpha + \sin2\alpha + \sin3\alpha + \sin4\alpha. sin α + sin 2 α + sin 3 α + sin 4 α .
а) sin α − cos α ⋅ tg α 2 = tg α 2 ; \sin\alpha - \cos\alpha \cdot \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2} = \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}; sin α − cos α ⋅ tg 2 α = tg 2 α ;
б) ctg α − tg β = cos ( α + β ) sin α cos β ; \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \dfrac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\cos\beta}; ctg α − tg β = sin α cos β cos ( α + β )
в) cos α + 2 cos 2 α + cos 3 α = 4 cos 2 α 2 cos 2 α ; \cos\alpha + 2\cos2\alpha + \cos3\alpha = 4\cos^2\dfrac{\alpha}{2}\cos2\alpha; cos α + 2 cos 2 α + cos 3 α = 4 cos 2 2
г) sin α − cos α = 2 sin ( α − π 4 ) . \sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha - \dfrac{\pi}{4}\right). sin α − cos α = 2 sin ( α −
Дар хона 5. Ба ҳосили зарб табдил диҳед:
а) cos 4 α − cos 6 α ; \cos4\alpha - \cos6\alpha; cos 4 α − cos 6 α ;
б) tg 3 α − tg α ; \operatorname{tg}3\alpha - \operatorname{tg}\alpha; tg 3 α − tg α ;
в) tg 2 α + tg 3 α . \operatorname{tg}2\alpha + \operatorname{tg}3\alpha. tg 2 α + tg 3 α .
6. Ҳосили зарбро ба сумма табдил диҳед:
а) sin 20 ∘ cos 10 ∘ ; \sin20^\circ\cos10^\circ; sin 2 0 ∘ cos 1 0 ∘ ;
б) cos 15 ∘ sin 5 ∘ ; \cos15^\circ\sin5^\circ; cos 1 5 ∘ sin 5 ∘ ;
в) sin 50 ∘ sin 15 ∘ ; \sin50^\circ\sin15^\circ; sin 5 0 ∘ sin 1 5 ∘ ;
г) cos 43 ∘ cos 45 ∘ . \cos43^\circ\cos45^\circ. cos 4 3 ∘ cos 4 5 ∘ .
а) 2 sin π − 2 cos 3 π 2 + 3 tg π 4 − ctg π 2 ; 2\sin\pi - 2\cos\dfrac{3\pi}{2} + 3\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} - \operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{2}; 2 sin π − 2 cos 2 3 π + 3 tg 4 π − ctg 2 π ;
б) sin ( − π 4 ) + 3 cos π 3 − tg π 6 + ctg π 3 . \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + 3\cos\dfrac{\pi}{3} - \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6} + \operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{3}. sin ( − 4 π ) + 3 cos 3
8. Нобаробариро ҳал кунед:
а) x 2 − 2 x − 48 > 0 ; x^2 - 2x - 48 > 0; x 2 − 2 x − 48 > 0 ;
б) 3 x 2 − 4 x − 15 > 0. 3x^2 - 4x - 15 > 0. 3 x 2 − 4 x − 15 > 0.
9. Асоси секунҷа аз баландияш 5 5 5 42 42 42 2 ^2 2
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–9 ва қисми иҷронашудаи машқҳои «Дар синф».
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 14. Сумма ва фарқро ба ҳосили зарб табдил додан».
Хулоса
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 , \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2}, cos α + cos β = 2 cos 2 α + β cos 2 α − β , cos α − cos β = − 2 sin α + β 2 sin α − β 2 . \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\sin\dfrac{\alpha - \beta}{2}. cos α − cos β = − 2 sin 2 α + β sin sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 , \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2}, sin α + sin β = 2 sin 2 α + β cos tg α ± tg β = sin ( α ± β ) cos α cos β \operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta = \dfrac{\sin(\alpha \pm \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} tg α ± tg β = cos α cos β sin ( α ± β ) Агар сумма синус бо косинус бошад, аввал косинусро бо sin ( π 2 − x ) \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) sin ( 2 π − x )
Дар ин дарс
Ман медонам формулаҳои табдили сумма ва фарқи синусҳо, косинусҳо ва тангенсҳо ба ҳосили зарб.Ман метавонам онҳоро аз формулаҳои 13 ҳосил кунам.Ман метавонам суммаро ба ҳосили зарб табдил диҳам ва ифодаҳоро сода кунам. Такрор (2 дақиқа)
cos α cos β \cos\alpha\cos\beta cos α cos β sin α cos β \sin\alpha\cos\beta sin α cos β sin 60 ∘ \sin60^\circ sin 6 0 ∘ cos 30 ∘ \cos30^\circ cos 3 0 ∘ Ҷавобҳо
cos α cos β = cos ( α − β ) + cos ( α + β ) 2 , \cos\alpha\cos\beta = \dfrac{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)}{2}, cos α cos β = 2 cos ( α − β ) + cos ( α + β ) Вазъият барои андешаронӣ Суммаро ба ҳосили зарб табдил додан чӣ лозим? Масалан, барои ҳал кардани муодилаи sin 5 x + sin x = 0 \sin5x + \sin x = 0 sin 5 x + sin x = 0
Теорема Суммаи косинусҳои ду кунҷ ба ҳосили зарби дучандаи косинуси нимсумма ва косинуси нимфарқи кунҷҳои онҳо баробар аст:
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 . ( 1 ) \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}. \qquad (1) cos α + cos β = 2 cos 2 α + β cos 2 α − β . ( 1 )
Қоида sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 , ( 2 ) \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}, \qquad (2) sin α + sin β = 2 sin 2 α + β
Қоида tg α + tg β = sin ( α + β ) cos α cos β , tg α − tg β = sin ( α − β ) cos α cos β , ( 5 ) \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}, \qquad \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}, \qquad (5) tg α + tg β = cos Калимаҳои калидӣ нимсумма нимфарқ сумма ба ҳосили зарб фарқи косинусҳо
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Ман метавонам:
✓ / ✗ формулаи суммаи косинусҳоро аз формулаи ҳосили зарб ҳосил кунам;
✓ / ✗ sin 50 ∘ + sin 10 ∘ \sin50^\circ + \sin10^\circ sin 5 0 ∘ + sin 1 0 ∘
✓ / ✗ дар фарқи косинусҳо ишораи «минус»-ро нигоҳ дорам.
tg α + tg β = tg ( α + β ) \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}(\alpha + \beta) tg α + tg β = tg ( α + β ) α , \alpha, α , β \beta β
sin 50 ∘ + sin 10 ∘ \sin50^\circ + \sin10^\circ sin 5 0 ∘ + sin 1 0 ∘
Як ҷавобро интихоб кунед A sin 60 ∘ \sin60^\circ sin 6 0 ∘
B cos 40 ∘ \cos40^\circ
C D cos 75 ∘ + cos 15 ∘ \cos75^\circ + \cos15^\circ cos 7 5 ∘ + cos 1 5 ∘
Як ҷавобро интихоб кунед A 3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2
B C D Қадамҳои исботи sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2} sin α + sin β = 2 sin 2 α + β cos
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1
2
3
4
5
)
+
c o s
( 2 α + β − 2 α − β )
=
sin
β
.
cos β −
cos α , яъне −
2 sin u sin v =
cos α −
cos β .
s i n β
=
c o s α c o s β s i n α c o s β ± c o s α s i n β =
c o s α c o s β s i n ( α ± β ) .
∘
cos
2 4 0 ∘ − 5 0 ∘
=
2 cos 4 5 ∘ cos ( − 5 ∘ ) =
∘
+
sin 6 0 ∘ =
2 sin 2 2 0 ∘ + 6 0 ∘ cos 2 2 0 ∘ − 6 0 ∘ =
2 sin 4 0 ∘ cos 2 0 ∘ .
o
s
4 π
c o s
6 π
s i n ( 4 π + 6 π )
=
;
α
cos
2
α
;
4 π
)
.
π
−
tg 6 π +
ctg 3 π .
2 α − β
.
2
α − β
,
sin α − sin β = 2 cos α + β 2 sin α − β 2 . \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\dfrac{\alpha + \beta}{2}\sin\dfrac{\alpha - \beta}{2}. sin α − sin β = 2 cos 2 α + β sin 2 α − β .
(cos α ≠ 0 , \cos\alpha \ne 0, cos α = 0 , cos β ≠ 0 \cos\beta \ne 0 cos β = 0 ,
sin α cos β = sin ( α + β ) + sin ( α − β ) 2 . \sin\alpha\cos\beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2}. sin α cos β = 2 sin ( α + β ) + sin ( α − β ) . sin 60 ∘ = cos ( 90 ∘ − 60 ∘ ) = cos 30 ∘ = 3 2 . \sin60^\circ = \cos(90^\circ - 60^\circ) = \cos30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. sin 6 0 ∘ = cos ( 9 0 ∘ − 6 0 ∘ ) = cos 3 0 ∘ = 2 3 .
cos
2 α − β
,
(
2
)
sin α − sin β = 2 cos α + β 2 sin α − β 2 , ( 3 ) \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}, \qquad (3) sin α − sin β = 2 cos 2 α + β sin 2 α − β , ( 3 ) cos α − cos β = − 2 sin α + β 2 sin α − β 2 . ( 4 ) \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}. \qquad (4) cos α − cos β = − 2 sin 2 α + β sin 2 α − β . ( 4 ) Дар формулаи (4) ишораи «минус»-ро фаромӯш накунед: фарқи косинусҳо ба − 2 sin sin -2\sin\sin − 2 sin sin
α
cos
β
sin ( α + β )
,
tg
α
−
tg β =
cos α cos β sin ( α − β ) , ( 5 )
агар cos α ≠ 0 \cos\alpha \ne 0 cos α = 0 cos β ≠ 0 \cos\beta \ne 0 cos β = 0 α ≠ π 2 + π k , \alpha \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k, α = 2 π + πk , β ≠ π 2 + π k . \beta \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k. β = 2 π + πk .
cos 4 0 ∘
cos 20 ∘ \cos20^\circ cos 2 0 ∘
2 sin 30 ∘ 2\sin30^\circ 2 sin 3 0 ∘
3
6 2 \dfrac{\sqrt{6}}{2} 2 6
2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2
6 4 \dfrac{\sqrt{6}}{4} 4 6
2 α − β
u u u v v v 2 sin α + β 2 cos α − β 2 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2} 2 sin 2 α + β cos 2 α − β
Мегирем u = α + β 2 , u = \dfrac{\alpha + \beta}{2}, u = 2 α + β , v = α − β 2 ; v = \dfrac{\alpha - \beta}{2}; v = 2 α − β ; α = u + v , \alpha = u + v, α = u + v , β = u − v \beta = u - v β = u − v
Менависем sin α + sin β = sin ( u + v ) + sin ( u − v ) \sin\alpha + \sin\beta = \sin(u + v) + \sin(u - v) sin α + sin β = sin ( u + v ) + sin ( u − v )
Ҳадҳои cos u sin v \cos u\sin v cos u sin v 2 sin u cos v 2\sin u\cos v 2 sin u cos v
Формулаҳои синуси сумма ва фарқро татбиқ мекунем: sin u cos v + cos u sin v + sin u cos v − cos u sin v \sin u\cos v + \cos u\sin v + \sin u\cos v - \cos u\sin v sin u cos v + cos u sin v + sin u cos v − cos u sin v