Теорема дар бораи буриши параллелии пирамида — «10 · 1/2. Буриши параллелии пирамида». Китоб: исботро барои пирамидаи секунҷа медиҳад. Курс: барои пирамидаи n-кунҷа бо монандии секунҷаҳо дар ҳар як рӯя.
Пирамидаи мунтазам ва пирамидаи сарбуридаи мунтазам — «11 · 1/3. Пирамидаи мунтазам. Масоҳати сатҳи паҳлуӣ». Китоб: дар исбот секунҷаро нодуруст баробартараф меномад ва хосияти аввалро танҳо барои квадрат медиҳад. Курс: хосиятро барои ҳар n исбот мекунад, теоремаи пирамидаи сарбуридаи мунтазам низ исбот карда мешавад.
Баробарӣ ва монандии бисёррӯяҳо — «12. Баробарӣ ва монандии бисёррӯяҳо». Китоб: тасдиқ мекунад, ки призмаҳо ва пирамидаҳои асос ва баландиашон баробар баробаранд — нодуруст. Курс: ин тасдиқро бо шарти лозимӣ баён мекунад; монандӣ ва гомотетия бо шарти пурра.
Тири симметрияи пирамидаи мунтазам — «13. Симметрия дар параллелепипед ва пирамида». Китоб: тирро барои ҳар n ном мебарад, вале он танҳо барои n-и ҷуфт дуруст аст. Курс: тасдиқро бо шарти лозимӣ баён мекунад.
Чаро панҷ бисёррӯяи мутлақо мунтазам ҳаст — «14 · 1/2. Бисёррӯяҳои мутлақо мунтазам». Китоб: таърифро бе рӯяҳои мунтазам медиҳад ва далелро намеорад. Курс: таърифро пурра мекунад ва нишон медиҳад, ки суммаи кунҷҳои ҳамвор дар қулла аз 360∘ камтар аст.
Машқи 32: бо кунҷи додашуда шарт имконнопазир аст (диагонали призмаи мунтазами чоркунҷа бо рӯяи паҳлуӣ кунҷи аз 45∘ калон намесозад). Курс: кунҷи шарт иваз шудааст.
Мисоли 1: дар китоб ёддошти Sпаҳ=6⋅6⋅8 бо роҳи кӯтоҳ навишта шудааст; курс бо p=36 мебарад.
Мисоли 2: формулаи Герон дар китоб бе ном омадааст; курс ном ва як ҷумла аз таърихи он (Герон) илова кардааст.
5. Параллелепипед
Мисоли 1: дар китоб масоҳати сатҳи паҳлуӣ «220 см²» ва тарафҳои асос «3 м ва 8 м» навишта шудаанд: андозаҳо мувофиқат намекунанд. Курс: 220 м², 3 м, 8 м.
Исботи теоремаи рӯяҳои муқобил: китоб ба теоремаҳои синфи 10 бо рақам ишора мекунад. Курс ин далелҳоро бо калима меорад (кунҷҳои бо тарафҳои параллел баробаранд; аломати параллелии ҳамвориҳо). Баробарии параллелограммҳо ба таърифи 2 такя мекунад.
7. Параллелепипеди росткунҷа. Куб
Теоремаи 7 (кунҷҳои дурӯя): китоб «зоҳиран фаҳмо» мегӯяд ва кунҷи хаттиро ∠A1AB ном мебарад. Кунҷи хаттии кунҷи дурӯяи рӯяҳои ABCD ва ABB1A1 (теғаи AB)∠A1AD аст (тарафҳо ба AB перпендикуляранд). Курс: исботи пурра бо ∠A1AD.
Машқи 59а: ҷавоби китоб дуруст нест, курс онро ислоҳ кардааст.
Машқи 92 = 143: ромби диагоналҳояш 12 ва 16 бо баландии 8 дар китоб ду бор омадааст (92 ва 143); дар курс дар ду саҳифа (дарси 4 ва дарси 16) боқӣ мондааст.
Машқи 97: курс аз хонанда ҳамаи ҳолатҳоро мепурсад.
2. Симметрия дар бисёррӯяҳо
12. Баробарӣ ва монандии бисёррӯяҳо
с. 46: «ду призма (пирамидаи) n-кунҷа бо асосҳо ва баландии баробар баробаранд» — барои призмаи моил ва пирамидаи умумӣ нодуруст. Курс: призмаҳои рост ва пирамидаҳои мунтазам.
с. 47: «бисёррӯяҳо монананд ⟺ гомотетия онҳоро ҳамҷоя мекунад» — ноқис: баъд аз гомотетия ҳаракат ҳам лозим. Курс: «гомотетия ва ҳаракат».
Сохт (с. 56): хатти рости a, «ки доираро намебурад» — шарт кофӣ нест (агар a ба α параллел бошад, сатҳи силиндрӣ ҳосил намешавад). Курс: a ба ҳамвории α параллел нест ва доираро намебурад.
Дар китоб мавзӯи 15 машқи худӣ надорад (танҳо саволҳои назоратӣ ва ду машқи такрорӣ): курс 5 машқи худӣ илова кардааст (барои ёфтани R, H аз росткунҷа, давра, силиндри моил).
16. Буриши силиндр бо ҳамворӣ
Исботи теоремаи 12 (с. 58–59): китоб менависад «ташкилдиҳандае, ки аз нуқтаи C мегузарад, ба AD параллел аст ва хатти AB-ро дар B мебурад» бе далел. Курс: ин хат дар ҳамвории γ мехобад (параллел ба хати AD⊂γ аз нуқтаи C∈γ) ва дар γ∩ ҳамвории асос мебурад.
Машқи 156: «2 карат ва 3 карат зиёд» — курс: «2 ва 3 маротиба зиёд».
Ислоҳҳои иловагӣ
Мавзӯи 16, «буришҳои перпендикулярӣ» (с. 59–60): китоб аз параллелкӯчонӣ мебарорад, ки «буришҳои перпендикулярӣ» (бо ҳамвории ба ташкилдиҳандаҳо перпендикуляр) ба асос баробаранд. Ин танҳо барои силиндри рост дуруст аст (дар он чунин ҳамворӣ ба асосҳо параллел аст); дар силиндри моил буриши перпендикулярӣ эллипс аст ва ба асос баробар нест. Курс ин тасдиқро ба силиндри рост маҳдуд кардааст.
Мавзӯи 16, исботи теоремаи 12: ҳолати ҳамвории ба силиндр расанда (буриш худи ташкилдиҳанда) зикр нашудааст ва нуқтаи буриши ташкилдиҳандаи аз C гузаранда бо хати AB метавонад A ё B бошад. Курс шарти «ҳамворӣ ба силиндр намерасад»-ро илова кардааст ва нишон медиҳад, ки ин нуқта A нест.
18. Конус
Машқҳои 162 ва 163: такрори машқҳои фасли 1 ва мисоли 5-ум ҳастанд (162 = мисоли дуюми мавзӯи 5, 163 ба машқи 75 наздик). Курс онҳоро дар гурӯҳи «Барои такрор» нигоҳ медорад, бо шартҳои китоб.
Мисоли китоб: матни нусхаи электронӣ қисми шартро гум кардааст; шарт аз расм хонда шуд: катети хурди секунҷаи 30∘-дор 5 см аст.
Машқҳои 3–4 (курс): китоб дар ин мавзӯъ танҳо се машқ дорад; ду машқи иловагӣ илова шуд (секунҷаи 6–8–10 дар гирди ҳар катет; кунҷҳои конус бо H=43,R=4).
19 · 1/2. Буриши конус бо ҳамвории аз қулла гузаранда
Теоремаи буриши аз қулла гузаранда: китоб исбот намекунад, ки буриш худи секунҷаи SAB аст (ҳамаи нуқтаҳои буриш дар ин секунҷа ҳастанд). Курс: конус аз порчаҳои SP иборат аст; порча ба ҳамворӣ дар ҳолате тааллуқ дорад, ки P дар хордаи AB бошад; пас буриш секунҷаи SAB аст.
Машқи 165: дар китоб «ба π баробар аст» навишта шудааст (на «π ба 1»). Курс ҳамин.
Машқи 168: ҷавоби китоб дуруст нест; курс онро аз нав ҳисоб кардааст.
Машқи 169: дар китоб кунҷи назди қулла бо φ ишора шудааст, курс низ ҳамин.
19 · 2/2. Буриши параллелии конус
Теоремаи буриши параллелӣ: исботи китоб танҳо нишон медиҳад, ки нуқтаҳои буриш аз O1 дар як масофа ҳастанд. Курс: ҳамин далел бо монандии секунҷаҳо ва илова: ҳар нуқтаи доираи асос ба нуқтаи доираи буриш (дар ҳамон ташкилдиҳанда) мегузарад ва баръакс; исбот барои конуси моил низ дуруст аст.
Мисоли китоб (конуси моил, H=15,R=6, буриш дар масофаи 10 см аз асос): дар матни электронӣ қиматҳо омехта шудаанд (r6=1015). Курс: масофа аз қулла 15−10=5,r=2,S=4π см² (ҳар ду роҳ).
Теоремаи 18: китоб танҳо нишон медиҳад, ки нуқтаҳои буриш аз M дар як масофа ҳастанд. Курс ду тарафро исбот мекунад: нуқтаҳои буриш дар давра ва ҳар нуқтаи давра дар сфера; ҳолати d=0 низ дохил аст.
Масъалаи 1 (мисол): дар китоб муодила «3x² − 3x + 6 = 0» чоп шудааст; дуруст «3x² + 3x − 6 = 0» (решаҳо −2 ва 1 бо дискриминанти 81 мувофиқанд). Курс: муодила бо ҳамин шакл ва x² + x − 2 = 0 навишта шудааст.
Формулаи V = S·H барои параллелепипеди дилхоҳ дар китоб бе исбот (бо ишора ба «амал»). Курс: дарси 28 · 2/2 формуларо истифода мебарад ва ба дарси 29 · 2/2 ишора мекунад, ки дар он аз принсипи Кавалиерӣ исбот карда мешавад.
Машқи 242 (ромби 60°): ҷавоби китоб дуруст нест; курс онро аз нав ҳисоб кардааст.
Призма (банди 29)
Эзоҳи китоб (V = S·H барои ҳар призма) бе исбот омадааст. Курс: принсипи Кавалиерӣ ҳамчун қабули ошкоро («Қабул мекунем») ва аз он исбот; ҳамчунин V = S⊥·l бо интиқоли параллелӣ.
Машқи 249: «бари берунӣ 2,5 см» хато. Курс: 25 см чоп шудааст.
Машқи 255 бо машқи 70 такрор мешавад (масоҳати сатҳи призмаи секунҷаи рост 3, 4, 5 ва баландии 6).
Пирамида (банди 30)
Теоремаи 23: дар китоб «ҳаҷми ду пирамидаи асосҳои баробар-масоҳат ва баландиҳои баробар баробар аст» ба банди 27 ишора мешавад, вале дар он чунин чиз нест. Курс: лемма бо принсипи Кавалиерӣ ва теоремаи буриши параллелии пирамида исбот шудааст.
Машқи 258: ҷавоби китоб барои пирамидаи шашкунҷа аз ҷавоби пирамидаи секунҷа нусха шудааст ва дуруст нест; курс онро аз нав ҳисоб кардааст.
Машқи 262: ҷавоби китоб дуруст аст.
Машқи 269: «ниг. ба масъалаи 262» хато; дар назар дорад пирамидаи Хеопс (машқи 263). Курс ба машқи 1-и саҳифа (масъалаи Хеопс) ишора мекунад. Ҷавоби китоб бо маълумоти 263 ҳосил намешавад; курс аз нав ҳисоб кардааст.
Исботҳо: тақсими бисёркунҷа ба секунҷаҳо бо диагоналҳо (банди 29 ва 30) дар курс бо ишораи ошкоро ба имконпазирии ин тақсим омадааст. Формулаи V = S⊥·l бо шарти он, ки ҳамвории перпендикулярӣ ҳамаи теғаҳоро дар худи порчаҳо мебурад, ва ишора ба ҳолати дигар омадааст.
5. Ҳаҷми ҷисмҳои чархзанӣ
32. Ҳаҷми ҷисми чархзанӣ ва силиндр
Формулаи (1): китоб онро «априорӣ» қабул мекунад. Курс ҳам онро қабул мекунад, лекин бо қайди ошкоро («Қабул мекунем») ва бо тасвири дискҳо (виҷети «Дискҳо ва ҳаҷм»).