7 · 1/2. Параллелепипеди росткунҷа - Геометрия — синфи 11
Параллелепипеди росткунҷа
Хишт, қуттии гӯгирд, хона ё ҳавзи шиноварӣ шакли чунин ҷисмро доранд. Он ҳамаи хосиятҳои параллелепипеди ростро дорад: ҳамаи шаш рӯяш росткунҷаанд; рӯяҳои муқобил параллеланд ва ҳар дутои онҳоро ҳамчун асос гирифтан мумкин аст; диагоналҳо дар маркази ҷисм нисф мешаванд. Ду хосияти дигар танҳо ба ин ҷисм хосанд.
Нимҳамвориҳое, ки дар онҳо рӯяҳои ҳамсоя мехобанд, кунҷи дурӯяи параллелепипедро ташкил медиҳанд.
Исбот. Кунҷи дурӯяи рӯяҳои A B C D ABCD A BC D A B B 1 A 1 ABB_1A_1 A B B 1 A 1 A B AB
навбатӣ 7 · 2/2. Куб. Масъалаҳо 1 соат
A B
Кунҷҳои дурӯяи дигар ҳамин тавр исбот мешаванд. ∎
Дарозии ҳар яке аз се теғае, ки дар як нуқта бурида мешаванд, ченаки (андозаи хаттии) параллелепипеди росткунҷа аст. Дар расми 2 ин A B , AB, A B , A D AD A D A A 1 AA_1 A A 1 (a , a, a , b , b, b , c c c
Маълум: параллелепипеди росткунҷаи A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , ABCDA_1B_1C_1D_1, A BC D A 1 B 1 C 1 D 1 , A B = a , AB = a, A B = a , A D = b , AD = b, A D = b , A A 1 = c AA_1 = c A A 1 = c
Матлуб: D 1 B 2 = a 2 + b 2 + c 2 . D_1B^2 = a^2 + b^2 + c^2. D 1 B 2 = a 2 + b 2 + c 2 .
Масоҳати сатҳи пурра ба суммаи масоҳати шаш рӯя (се ҷуфти росткунҷаҳои баробар) баробар аст:
S пур = 2 ( a b + a c + b c ) . S_{\text{пур}} = 2(ab + ac + bc). S пур = 2 ( ab + a c + b c ) . Мисоли 1. Ченакҳои параллелепипеди росткунҷа 8, 9 ва 12 мебошанд. Диагоналро ёбед.
Ҳал. d 2 = 8 2 + 9 2 + 12 2 = 64 + 81 + 144 = 289 , d^2 = 8^2 + 9^2 + 12^2 = 64 + 81 + 144 = 289, d 2 = 8 2 + 9 2 + 1 2 2 = 64 + 81 + 144 = 289 , d = 17. d = 17. d = 17.
Кор дар синф
Машқҳо 1. Ченакҳои параллелепипеди росткунҷа: а) 12, 16, 21; б) 39 , \sqrt{39}, 39 ,
2. Дар параллелепипеди росткунҷаи A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA_1B_1C_1D_1 A BC D A 1 B 1 C 1 D 1 A B = 12 AB = 12 A B = 12 B B 1 = 4 BB_1 = 4 B B 1 = 4 B C = 5 BC = 5 BC = 5 A C 1 ; AC_1; A C 1 ; A C C 1 A 1 . ACC_1A_1. A C C 1 A 1 .
3. Дар параллелепипеди росткунҷа тарафҳои асос 7 см ва 24 см, баландӣ 8 см. Масоҳати буриши диагоналии онро ёбед.
4. Дар параллелепипеди росткунҷа теғаи паҳлуӣ 5 см, масоҳати буриши диагоналӣ 205 см² ва масоҳати асос 360 см² аст. Тарафҳои асосро ёбед.
5. Ҷамъи ҳамаи теғаҳои параллелепипеди росткунҷа 16 м, диагоналаш 3 м аст. Масоҳати сатҳи пуррааро ёбед.
Нишондод ( a + b + c ) 2 = d 2 + S пур . (a + b + c)^2 = d^2 + S_{\text{пур}}. ( a + b + c ) 2 = d 2 + S пур .
6. Дар параллелепипеди росткунҷа тарафҳои асос ҳамчун 7 : 24 7 : 24 7 : 24
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 5 ва 6. Исботи теоремаи диагоналро дар дафтар нависед.
Дар ин дарс
Ман медонам таърифи параллелепипеди росткунҷа ва хосиятҳои он: кунҷҳои дурӯяи рост, диагоналҳои баробар.Ман метавонам формулаи d 2 = a 2 + b 2 + c 2 d^2 = a^2 + b^2 + c^2 d 2 = a 2 + b 2 + c 2 Ман метавонам масоҳати сатҳи пуррааро бо формулаи 2 ( a b + a c + b c ) 2(ab + ac + bc) 2 ( ab + a c + b c ) Такрор (2 дақиқа)
Параллелепипеди рост чист?
Теоремаи Пифагор дар секунҷаи росткунҷа?
Кунҷи дурӯя ва кунҷи хаттии он чист?
Ҷавобҳо
параллелепипеде, ки теғаҳои паҳлуиаш ба асос перпендикуляранд; 2) c 2 = a 2 + b 2 ; c^2 = a^2 + b^2; c 2 = a 2 + b 2 ;
Таъриф Параллелепипеди рост, ки асосаш росткунҷа аст, параллелепипеди росткунҷа номида мешавад.
Теорема Ҳамаи кунҷҳои дурӯяи параллелепипеди росткунҷа рост аст.
A D ⊥ A B AD \perp AB A D ⊥ A B A B C D ABCD A BC D A A 1 ⊥ A B AA_1 \perp AB A A 1 ⊥ A B A B B Расми 1. Кунҷи дурӯя бо теғаи AB: кунҷи хаттии он A₁AD рост аст. Теорема Квадрати диагонали параллелепипеди росткунҷа ба суммаи квадратҳои се ченаки он баробар аст:
d 2 = a 2 + b 2 + c 2 . d^2 = a^2 + b^2 + c^2. d 2 = a 2 + b 2 + c Расми 2. Диагонали D₁B ва диагонали асос DB.
Теғаи D 1 D D_1D D 1 D ∠ D 1 D B = 90 ∘ . \angle D_1DB = 90^\circ. ∠ D 1 D B = 9 0 ∘
Натиҷа Диагоналҳои параллелепипеди росткунҷа ба ҳам баробаранд.
Оё медонед? Теоремаи Пифагор ба номи математики юнонии асри VI то милод Пифагор аст. Формулаи d 2 = a 2 + b 2 + c 2 d^2 = a^2 + b^2 + c^2 d 2 = a 2 + b 2 +
Исботи теоремаи «ҳамаи кунҷҳои дурӯяи параллелепипеди росткунҷа рост аст» барои кунҷи дурӯяи рӯяҳои A B C D ABCD A BC D A B B 1 A 1 ABB_1A_1 A B B 1 A 1 A B AB A B
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1
2
3
4
1 A 1 ABB_1A_1 A B B 1 A 1
Пас ∠ A 1 A D \angle A_1AD ∠ A 1 A D A B AB A B A A 1 ⊥ A D AA_1 \perp AD A A 1 ⊥ A D A D D 1 A 1 ADD_1A_1 A D D 1 A 1 ∠ A 1 A D = 90 ∘ . \angle A_1AD = 90^\circ. ∠ A 1 A D = 9 0 ∘ . 2
.
.
Дар △ D 1 D B \triangle D_1DB △ D 1 D B D 1 B 2 = D D 1 2 + D B 2 D_1B^2 = DD_1^2 + DB^2 D 1 B 2 = D D 1 2 + D B 2 теоремаи Пифагор. D B DB D B A B C D , ABCD, A BC D , D B 2 = A B 2 + A D 2 . DB^2 = AB^2 + AD^2. D B 2 = A B 2 + A D 2 . D 1 B 2 = D D 1 2 + A B 2 + A D 2 . D_1B^2 = DD_1^2 + AB^2 + AD^2. D 1 B 2 = D D 1 2 + A B D D 1 = A A 1 = c , DD_1 = AA_1 = c, D D 1 = A A 1 = c , d 2 = a 2 + b 2 + c 2 . d^2 = a^2 + b^2 + c^2. d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .
c 2
A D ⊥ A B AD \perp AB A D ⊥ A B
A A 1 ⊥ A B AA_1 \perp AB A A 1 ⊥ A B Пас ∠ A 1 A D = 90 ∘ , \angle A_1AD = 90^\circ, ∠ A 1 A D = 9 0 ∘ ,
Аз қадами 1: ∠ A 1 A D \angle A_1AD ∠ A 1 A D A B AB A B
Рӯяи A D D 1 A 1 ADD_1A_1 A D D 1 A 1 A A 1 ⊥ A D AA_1 \perp AD A A 1 ⊥ A D
2
+
A D 2 .
