5. Параллелепипед - Геометрия — синфи 11
Параллелепипед
Параллелепипед метавонад моил бошад (расми 1 а) ва рост (расми 1 б): рост аст, агар теғаҳои паҳлуиаш ба асосҳо перпендикуляр бошанд. Рӯяҳои параллелепипед, ки теғаи умумӣ доранд, ҳамсоя , ва онҳое, ки чунин теға надоранд, муқобил номида мешаванд.
Маълум: параллелепипеди A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA_1B_1C_1D_1 A BC D A 1 B 1 C 1 D
навбатӣ 6. Хосияти диагоналҳои параллелепипед 1 соат
1
Матлуб: A B B 1 A 1 ∥ D C C 1 D 1 ABB_1A_1 \parallel DCC_1D_1 A B B 1 A 1 ∥ D C C 1 D 1 A B B 1 A 1 = D C C 1 D 1 ABB_1A_1 = DCC_1D_1 A B B 1 A 1 = D C C 1 D
Баробарии B C C 1 B 1 BCC_1B_1 BC C 1 B 1 A D D 1 A 1 ADD_1A_1 A D D 1 A 1 A B C D ABCD A BC D A 1 B 1 C 1 D 1 A_1B_1C_1D_1 A 1 B 1 C 1 D 1
Пас ҳамаи шаш рӯяи параллелепипед параллелограммаанд, ва ду рӯяи муқобили дилхоҳро ҳамчун асос гирифтан мумкин аст: онҳо параллелограмманд, баробаранд ва дар ҳамвориҳои параллел мехобанд.
Параллелепипедро давр диҳед санҷида бин! Аз нав
Мисолҳо Мисоли 1. Масоҳати сатҳи паҳлуии параллелепипеди рост 220 м², тарафҳои асос 3 м ва 8 м, кунҷи байнашон 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘
Ҳал. Масоҳати асос S асос = 3 ⋅ 8 ⋅ sin 60 ∘ = 12 3 S_{\text{асос}} = 3 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 12\sqrt3 S асос = 3 ⋅ 8 ⋅ sin 6 0 ∘ = 12 3
S пур = S паҳ + 2 S асос = 220 + 24 3 ≈ 220 + 41,57 ≈ 262 м 2 . S_{\text{пур}} = S_{\text{паҳ}} + 2S_{\text{асос}} = 220 + 24\sqrt3 \approx 220 + 41{,}57 \approx 262 \text{ м}^2. S пур = S паҳ + 2 S асос = 220 + 24 3 ≈ 220 + 41 , 57 ≈ 262 м 2 . Мисоли 2. Дар параллелепипеди рост тарафҳои асос 10 см ва 17 см, яке аз диагоналҳои асос 21 см, диагонали калони параллелепипед 29 см. Масоҳати сатҳи пуррааро ёбед.
Ҳал. Теғаи паҳлуии C C 1 CC_1 C C 1 A C C 1 ACC_1 A C C 1
C C 1 = A C 1 2 − A C 2 = 29 2 − 21 2 = 8 ⋅ 50 = 20 см . CC_1 = \sqrt{AC_1^2 - AC^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{8 \cdot 50} = 20 \text{ см}. C C 1 = A C 1 2 − A C 2 = 2 9 2 − 2 1 2 = 8 ⋅ 50 = 20 см . Рӯяҳои паҳлуӣ росткунҷаанд, пас S паҳ = 2 ( 10 ⋅ 20 ) + 2 ( 17 ⋅ 20 ) = 1080 S_{\text{паҳ}} = 2(10 \cdot 20) + 2(17 \cdot 20) = 1080 S паҳ = 2 ( 10 ⋅ 20 ) + 2 ( 17 ⋅ 20 ) = 1080 A B C ABC A BC s = 24 , s = 24, s = 24 ,
S A B C = 24 ⋅ 14 ⋅ 7 ⋅ 3 = 84 , S асос = 2 S A B C = 168 см 2 . S_{ABC} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = 84, \qquad S_{\text{асос}} = 2S_{ABC} = 168 \text{ см}^2. S A BC = 24 ⋅ 14 ⋅ 7 ⋅ 3 = 84 , S асос = 2 S A BC = 168 см 2 . S пур = 1080 + 2 ⋅ 168 = 1416 см 2 . S_{\text{пур}} = 1080 + 2 \cdot 168 = 1416 \text{ см}^2. S пур = 1080 + 2 ⋅ 168 = 1416 см 2 .
Кор дар синф
Машқҳо 1. Параллелепипеди A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA_1B_1C_1D_1 A BC D A 1 B 1 C 1 D 1 A A 1 AA_1 A A 1 C C 1 CC_1 C C 1
Нишондод Ҳамвории ба A A 1 AA_1 A A 1
2. Оё асоси параллелепипеди моил росткунҷа шуда метавонад?
3. Дар параллелепипеди рост тарафҳои асос 6 м ва 8 м, кунҷи байнашон 30 ∘ , 30^\circ, 3 0 ∘ ,
4. Порчае, ки марказҳои ду асоси параллелепипедро мепайвандад, ба теғаҳои паҳлуӣ параллел аст. Инро исбот кунед.
Нишондод Кӯчонидани параллелӣ ба вектори A A 1 → \overrightarrow{AA_1} A A 1
5. Дар параллелепипеди рост теғаи паҳлуӣ 1 м, тарафҳои асос 23 дм ва 11 дм аст. Диагоналҳои асос ҳамчун 2 : 3 2 : 3 2 : 3
6. Дар призмаи секунҷаи рост тарафҳои асос 4 см, 5 см ва 7 см, теғаи паҳлуӣ ба баландии калони асос баробар аст. Баландии призмаро ёбед.
7. Тарафи хурди росткунҷа 6 см. Дарозии диагоналҳоро ёбед, агар онҳо ҳамдигарро дар зери кунҷи 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘
Саволҳои назоратӣ
Кадом призмаро параллелепипед меноманд?
Рӯяҳои ҳамсоя ва муқобили параллелепипед чӣ тавр фарқ карда мешаванд?
Тасдиқи теоремаи рӯяҳои муқобил ба кадом хосияти параллелограмм шабеҳ аст?
Чаро дар параллелепипед ду рӯяи муқобили дилхоҳро ҳамчун асосҳо қабул кардан мумкин аст?
Дар параллелепипеди рост рӯяҳои паҳлуӣ чӣ гуна фигураанд?
Аз ҳаёт мисоли параллелепипеди рост оред.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4, 5 ва 7. Ба саволҳои назоратӣ ҷавоб омода кунед. Исботи теоремаро дар дафтар нависед.
Вазифаи хонагии электронӣ «Геометрия 11 · Вазифаи хонагӣ · 5» (онро аз омӯзгор гиред): 6 савол. 2 кӯшиш.
Хулоса
Параллелепипед — призмаи бо асоси параллелограмм. Ҳамаи шаш рӯяш параллелограмманд.
Рӯяҳои муқобил баробар ва параллеланд; ҳар ду рӯяи муқобилро ҳамчун асосҳо гирифтан мумкин аст.
Дар параллелепипеди рост рӯяҳои паҳлуӣ росткунҷаанд; S пур = p H + 2 S асос . S_{\text{пур}} = pH + 2S_{\text{асос}}. S пур = p H + 2 S асос .
Дар ин дарс
Ман медонам таърифи параллелепипед, рӯяҳои ҳамсоя ва муқобил.Ман метавонам исбот кунам, ки рӯяҳои муқобили параллелепипед баробар ва параллеланд.Ман метавонам масоҳати сатҳи пуррааи параллелепипеди ростро ёбам. Такрор (2 дақиқа)
Кадом хосиятҳои параллелограммро медонед?
Кунҷҳое, ки тарафҳояшон параллел ва ҳамсамтанд, чӣ гунаанд?
Аломати параллелии ду ҳамворӣ чист?
Ҷавобҳо
тарафҳои муқобил параллел ва баробар, кунҷҳои муқобил баробар, диагоналҳо нисф мешаванд; 2) баробар; 3) агар ду хати буранди як ҳамворӣ ба ду хати буранди ҳамвории дигар параллел бошанд, ҳамвориҳо параллеланд.
Вазъият барои андешаронӣ Хишт, қуттии гӯгирд, хонаи рӯзгор: ҳамаашон шакли параллелепипедро доранд. Чанд рӯя доранд? Кадом рӯяҳои қуттӣ ба ҳам баробар ва параллеланд? Агар қуттиро дар паҳлӯяш хобонем, асос кадом рӯя мешавад?
Таъриф Агар асосҳои призма параллелограмм бошанд, он параллелепипед номида мешавад.
Расми 1. а) параллелепипеди моил, б) параллелепипеди рост. Таъриф Ду параллелограмм баробар номида мешаванд, агар ду тараф ва кунҷи байни онҳо дар як параллелограмм ба ду тараф ва кунҷи байни онҳо дар параллелограмми дигар баробар бошанд.
Теорема Рӯяҳои муқобили параллелепипед баробар ва параллеланд.
Расми 2. Рӯяҳои муқобили ABB₁A₁ (норинҷӣ) ва DCC₁D₁ (кабуд); кунҷҳои α баробаранд.
A B C D ABCD A BC D A B → = D C → . \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. A B = D C Натиҷа Дар параллелепипеди рост рӯяҳои паҳлуӣ росткунҷаанд (хосияти призмаи рост).
Расми 3. Параллелепипеди рост: диагонали асос AC, диагонали параллелепипед AC₁ ва теғаи CC₁. Калимаҳои калидӣ параллелепипед параллелепипеди рост рӯяҳои ҳамсоя рӯяҳои муқобил параллелограммҳои баробар
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро санҷед: ✓ ман теоремаи рӯяҳои муқобилро исбот карда метавонам; ✓ ман S пур S_{\text{пур}} S пур
Ҳамаи шаш рӯяи параллелепипед параллелограмманд.
Кадом рӯя ба рӯяи A B B 1 A 1 ABB_1A_1 A B B 1 A 1
Як ҷавобро интихоб кунед A A B C D ABCD A BC D
B A 1 B 1 C 1 D 1 A_1B_1C_1D_1 A
C D Исботи баробарии рӯяҳои A B B 1 A 1 ABB_1A_1 A B B 1 A 1 D C C 1 D 1 DCC_1D_1 D C C 1 D
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1
2 Пас ин параллелограммҳо баробаранд
3
4
Ба ҳар хулоса далелашро ҷуфт кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед Рӯяҳои паҳлуии параллелепипед параллелограмманд → … ду хати буранда дар ҳар рӯя ба хатҳои рӯяи дигар параллеланд теғаҳои паҳлуӣ параллел ва баробаранд тарафҳои ҳамсамти кунҷҳо параллеланд
A B B 1 A 1 ABB_1A_1 A B B 1 A 1 D C C 1 D 1 DCC_1D_1 D C C 1 D
→ … ду хати буранда дар ҳар рӯя ба хатҳои рӯяи дигар параллеланд теғаҳои паҳлуӣ параллел ва баробаранд тарафҳои ҳамсамти кунҷҳо параллеланд → … ду хати буранда дар ҳар рӯя ба хатҳои рӯяи дигар параллеланд теғаҳои паҳлуӣ параллел ва баробаранд тарафҳои ҳамсамти кунҷҳо параллеланд
1
.
A A 1 → = D D 1 → . \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{DD_1}. A A 1 = D D 1 . Рӯяҳои паҳлуӣ параллелограмманд ва дар қадами 1: A B = D C , AB = DC, A B = D C , A A 1 = D D 1 . AA_1 = DD_1. A A 1 = D D 1 . B A A 1 BAA_1 B A A 1 C D D 1 CDD_1 C D D 1 Ҳамвориҳои A B B 1 A 1 ABB_1A_1 A B B 1 A 1 D C C 1 D 1 DCC_1D_1 D C C 1 D 1 A B AB A B A A 1 AA_1 A A 1 D C DC D C D D 1 DD_1 D D 1 аломати параллелии ду ҳамворӣ.
Рӯяҳо — параллелограммҳо, ки ду тараф ва кунҷи байни онҳо баробаранд — таърифи баробарии параллелограммҳо. 1
B 1
C 1
D 1
1
A B → = D C → \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} A B = D C A B C D ABCD A BC D A A 1 → = D D 1 → \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{DD_1} A A 1 = D D
Аз ин рӯ A B = D C , AB = DC, A B = D C , A A 1 = D D 1 AA_1 = DD_1 A A 1 = D D 1 ∠ B A A 1 = ∠ C D D 1 \angle BAA_1 = \angle CDD_1 ∠ B A A 1 = ∠ C D D 1
Рӯяҳои A B B 1 A 1 ABB_1A_1 A B B 1 A 1 D C C 1 D 1 DCC_1D_1 D C C 1 D 1
1
∠ B A A 1 = ∠ C D D 1 \angle BAA_1 = \angle CDD_1 ∠ B A A 1 = ∠ C D D 1
Параллелепипед: рӯяҳои муқобил. 1
