11.4. Усули гурӯҳбандии ҷамъшавандаҳо - Алгебра — синфи 7
Усули гурӯҳбандии ҷамъшавандаҳо
Баъзан имконият пайдо мешавад, ки бисёрузваро бо тарзи дигар низ ба зарбшавандаҳо ҷудо кунанд. Яке аз чунин тарзҳо усули гурӯҳбандии ҷамъшавандаҳо ном дорад.
Мисоли 1. Бисёрузваи 10 a 2 c − 15 a b c 2 + 8 a b − 12 b 2 c 10a^2c - 15abc^2 + 8ab - 12b^2c 10 a 2 c − 15 ab c 2 + 8 ab − 12 b 2 c
навбатӣ 11.5. Исботи айниятҳо 1 соат
Се имконияти муттаҳид кардани ҷамъшавандаҳо ба гурӯҳҳо ҳаст.
Ҷамъшавандаҳои якумро бо дуюм ва сеюмро бо чорум муттаҳид мекунем:
10 a 2 c − 15 a b c 2 + 8 a b − 12 b 2 c = ( 10 a 2 c − 15 a b c 2 ) + ( 8 a b − 12 b 2 c ) . 10a^2c - 15abc^2 + 8ab - 12b^2c = (10a^2c - 15abc^2) + (8ab - 12b^2c). 10 a 2 c − 15 ab c 2 + 8 ab − 12 b 2 c = ( 10 a 2 c − 15 ab c 2 ) + ( 8 ab − 12 b 2 c ) . Аз ҳар гурӯҳ зарбшавандаи умумиро аз қавс мебарорем: 5 a c ( 2 a − 3 b c ) + 4 b ( 2 a − 3 b c ) . 5ac(2a - 3bc) + 4b(2a - 3bc). 5 a c ( 2 a − 3 b c ) + 4 b ( 2 a − 3 b c ) . 2 a − 3 b c 2a - 3bc 2 a − 3 b c 2 a − 3 b c 2a - 3bc 2 a − 3 b c 5 a c + 4 b 5ac + 4b 5 a c + 4 b
10 a 2 c − 15 a b c 2 + 8 a b − 12 b 2 c = ( 2 a − 3 b c ) ( 5 a c + 4 b ) . 10a^2c - 15abc^2 + 8ab - 12b^2c = (2a - 3bc)(5ac + 4b). 10 a 2 c − 15 ab c 2 + 8 ab − 12 b 2 c = ( 2 a − 3 b c ) ( 5 a c + 4 b ) .
Ҷамъшавандаҳои якумро бо сеюм ва дуюмро бо чорум муттаҳид мекунем:
( 10 a 2 c + 8 a b ) + ( − 15 a b c 2 − 12 b 2 c ) = 2 a ( 5 a c + 4 b ) − 3 b c ( 5 a c + 4 b ) = ( 5 a c + 4 b ) ( 2 a − 3 b c ) . (10a^2c + 8ab) + (-15abc^2 - 12b^2c) = 2a(5ac + 4b) - 3bc(5ac + 4b) = (5ac + 4b)(2a - 3bc). ( 10 a 2 c + 8 ab ) + ( − 15 ab c 2 − 12 b 2 c ) = 2 a ( 5 a c + 4 b ) − 3 b c ( 5 a c + 4 b ) = ( 5 a c + 4 b ) ( 2 a − 3 b c ) . Боз ҳамон натиҷа ҳосил шуд.
Ҷамъшавандаҳои якумро бо чорум ва дуюмро бо сеюм муттаҳид мекунем: ( 10 a 2 c − 12 b 2 c ) + ( − 15 a b c 2 + 8 a b ) . (10a^2c - 12b^2c) + (-15abc^2 + 8ab). ( 10 a 2 c − 12 b 2 c ) + ( − 15 ab c 2 + 8 ab ) .
Мисоли 2. Бисёрузваи a 2 x 2 − a b y 2 − a b x 2 + b 2 y 2 a^2x^2 - aby^2 - abx^2 + b^2y^2 a 2 x 2 − ab y 2 − ab x 2 + b 2 y 2
Ҷамъшавандаҳои якумро бо сеюм ва дуюмро бо чорум муттаҳид мекунем. Аз гурӯҳи якум умумии a x 2 ax^2 a x 2 b y 2 by^2 b y 2
a 2 x 2 − a b y 2 − a b x 2 + b 2 y 2 = ( a 2 x 2 − a b x 2 ) − ( a b y 2 − b 2 y 2 ) = a x 2 ( a − b ) − b y 2 ( a − b ) = ( a − b ) ( a x 2 − b y 2 ) . a^2x^2 - aby^2 - abx^2 + b^2y^2 = (a^2x^2 - abx^2) - (aby^2 - b^2y^2) = ax^2(a - b) - by^2(a - b) = (a - b)(ax^2 - by^2). a 2 x 2 − ab y 2 − ab x 2 + b 2 y 2 = ( a 2 x 2 − ab x 2 ) − ( ab y 2 − b 2 y 2 ) = a x 2 ( a − b ) − b y 2 ( a − b ) = ( a − b ) ( a x 2 − b y 2 ) . Мисоли 3. Сеузваи a 2 − 13 a + 12 a^2 - 13a + 12 a 2 − 13 a + 12
Ҷамъшавандаи − 13 a -13a − 13 a − 12 a − a -12a - a − 12 a − a
a 2 − 13 a + 12 = a 2 − 12 a − a + 12 = ( a 2 − a ) + ( − 12 a + 12 ) = a ( a − 1 ) − 12 ( a − 1 ) = ( a − 1 ) ( a − 12 ) . a^2 - 13a + 12 = a^2 - 12a - a + 12 = (a^2 - a) + (-12a + 12) = a(a - 1) - 12(a - 1) = (a - 1)(a - 12). a 2 − 13 a + 12 = a 2 − 12 a − a + 12 = ( a 2 − a ) + ( − 12 a + 12 ) = a ( a − 1 ) − 12 ( a − 1 ) = ( a − 1 ) ( a − 12 ) . Худатон санҷед. Чор ҷамъшавандаро ба ҷадвали 2 × 2 2 \times 2 2 × 2
Усули гурӯҳбандӣ: ҷадвали 2 × 2 санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Зарбшавандаи умумиро аз қавс баровред:
а) a ( x + y ) + 5 x + 5 y ; a(x + y) + 5x + 5y; a ( x + y ) + 5 x + 5 y ;
б) b ( c − d ) + 6 c − 6 d ; b(c - d) + 6c - 6d; b ( c − d ) + 6 c − 6 d ;
в) p ( m − n ) + n − m ; p(m - n) + n - m; p ( m − n ) + n − m ;
г) k ( p − q ) + q − p . k(p - q) + q - p. k ( p − q ) + q − p .
2. Ба шакли ҳосили зарби бисёрузваҳо биёред:
а) a x + a y + 3 x + 3 y ; ax + ay + 3x + 3y; a x + a y + 3 x + 3 y ;
б) b x − b y + 8 x − 8 y ; bx - by + 8x - 8y; b x − b y + 8 x − 8 y ;
в) 1 − p x − x + p ; 1 - px - x + p; 1 − p x − x + p ;
г) x y + 2 x − 2 y − 4. xy + 2x - 2y - 4. x y + 2 x − 2 y − 4.
3. Бисёрузваро ба зарбшавандаҳо ҷудо кунед:
а) x y − 6 x − y p + 6 p ; xy - 6x - yp + 6p; x y − 6 x − y p + 6 p ;
б) a x − b + b x − a ; ax - b + bx - a; a x − b + b x − a ;
в) x z − x b − a z + a b ; xz - xb - az + ab; x z − x b − a z + ab ;
г) c d − c t − k d + k t . cd - ct - kd + kt. c d − c t − k d + k t .
4. Бисёрузваро ба зарбшавандаҳо ҷудо кунед:
а) a 3 + a 2 + a + 1 ; a^3 + a^2 + a + 1; a 3 + a 2 + a + 1 ;
б) b 4 + 2 b 3 − b − 2 ; b^4 + 2b^3 - b - 2; b 4 + 2 b 3 − b − 2 ;
в) a b x 2 + 2 a x − 3 b x − 6 ; abx^2 + 2ax - 3bx - 6; ab x 2 + 2 a x − 3 b x − 6 ;
г) a 2 x 2 + 2 a x y − a x y − 2 y 2 . a^2x^2 + 2axy - axy - 2y^2. a 2 x 2 + 2 a x y − a x y − 2 y 2 .
5. Ифодаро ба ҳосили зарб табдил диҳед:
а) x 2 + 3 x + b x + 3 b ; x^2 + 3x + bx + 3b; x 2 + 3 x + b x + 3 b ;
б) 3 a + a x − 3 x − x 2 ; 3a + ax - 3x - x^2; 3 a + a x − 3 x − x 2 ;
в) 2 c − a c − 2 a + a 2 ; 2c - ac - 2a + a^2; 2 c − a c − 2 a + a 2 ;
г) 10 a + 2 a x − 5 x − x 2 . 10a + 2ax - 5x - x^2. 10 a + 2 a x − 5 x − x 2 .
6. Қимати ифодаро ёбед: p q + p 2 q 2 − p 3 − q 3 , pq + p^2q^2 - p^3 - q^3, pq + p 2 q 2 − p 3 − q 3 , p = 0,5 p = 0{,}5 p = 0 , 5 q = − 0,5 q = -0{,}5 q = − 0 , 5
7. Ифодаро ба зарбшавандаҳо ҷудо кунед:
а) a 2 b + a b 2 + 2 a b + a + b + 2 ; a^2b + ab^2 + 2ab + a + b + 2; a 2 b + a b 2 + 2 ab + a + b + 2 ;
б) x 2 y − x y 2 − 2 x y − x + y + 2. x^2y - xy^2 - 2xy - x + y + 2. x 2 y − x y 2 − 2 x y − x + y + 2.
8. Сеузваро ба зарбшавандаҳо ҷудо кунед:
а) 4 a 2 + 4 a b + b 2 ; 4a^2 + 4ab + b^2; 4 a 2 + 4 ab + b 2 ;
б) 9 b 2 − 6 b c + c 2 ; 9b^2 - 6bc + c^2; 9 b 2 − 6 b c + c 2 ;
в) x 2 − 4 x y + 4 y 2 ; x^2 - 4xy + 4y^2; x 2 − 4 x y + 4 y 2 ;
г) 9 p 2 − 12 p q + 4 q 2 ; 9p^2 - 12pq + 4q^2; 9 p 2 − 12 pq + 4 q 2 ;
ғ) 25 m 2 − 30 m n + 9 n 2 ; 25m^2 - 30mn + 9n^2; 25 m 2 − 30 mn + 9 n 2 ;
д) 16 m 2 + 40 m p + 25 p 2 . 16m^2 + 40mp + 25p^2. 16 m 2 + 40 m p + 25 p 2 .
9. Бисёрузваро ба зарбшавандаҳо ҷудо кунед:
а) 4 x 4 − 12 x 2 + 9 ; 4x^4 - 12x^2 + 9; 4 x 4 − 12 x 2 + 9 ;
б) 25 a 8 − 30 a 4 b 7 + 9 b 14 ; 25a^8 - 30a^4b^7 + 9b^{14}; 25 a 8 − 30 a 4 b 7 + 9 b 14 ;
в) a 4 − 2 a 5 + a 6 ; a^4 - 2a^5 + a^6; a 4 − 2 a 5 + a 6 ;
г) 9 x 8 − 12 x 11 + 4 x 14 . 9x^8 - 12x^{11} + 4x^{14}. 9 x 8 − 12 x 11 + 4 x 14 .
Дар хона 10. Бисёрузваро ба зарбшавандаҳо ҷудо кунед:
а) a 6 − 3 a 4 − 2 a 2 + 6 ; a^6 - 3a^4 - 2a^2 + 6; a 6 − 3 a 4 − 2 a 2 + 6 ;
б) c 2 − c d − 8 c + 8 d ; c^2 - cd - 8c + 8d; c 2 − c d − 8 c + 8 d ;
в) b x − b z − c x + c z ; bx - bz - cx + cz; b x − b z − c x + cz ;
г) m a + b m − 2 n a − 2 n b . ma + bm - 2na - 2nb. ma + bm − 2 na − 2 nb .
11. Ифодаро ба ҳосили зарб табдил диҳед:
а) a x 2 + b x 2 + c x 2 − a p − b p − c p ; ax^2 + bx^2 + cx^2 - ap - bp - cp; a x 2 + b x 2 + c x 2 − a p − b p − c p ;
б) a x 2 + a p + b x 2 + b p − c x 2 − c p . ax^2 + ap + bx^2 + bp - cx^2 - cp. a x 2 + a p + b x 2 + b p − c x 2
Такрор
а) x ( x − 3 ) − x ( x + 3 ) = − 30 ; x(x - 3) - x(x + 3) = -30; x ( x − 3 ) − x ( x + 3 ) = − 30 ;
б) x ( x + 2 ) − x 2 + 4 x = 3 x + 51 ; x(x + 2) - x^2 + 4x = 3x + 51; x ( x + 2 ) − x 2 + 4 x = 3 x + 51 ;
в) 2 x ( 1 − x ) + x 2 ( 2 − x ) = 8 − x 3 ; 2x(1 - x) + x^2(2 - x) = 8 - x^3; 2 x ( 1 − x ) + x 2 ( 2 − x ) = 8 − x 3 ;
г) − ( x 2 + 5 x ) + x ( x + 3 ) + 1 = 7. -(x^2 + 5x) + x(x + 3) + 1 = 7. − ( x 2 + 5 x ) + x ( x + 3 ) + 1 = 7.
13. Қимати ифодаро ёбед: 3 x 2 − 2 y 2 + 1 , 3x^2 - 2y^2 + 1, 3 x 2 − 2 y 2 + 1 , x = 2 x = 2 x = 2 y = 2 y = 2 y = 2
14. Тракторчӣ 25 %-и майдонро шудгор кард, ки ин ба 144 га баробар аст. Барои он ки ӯ иҷрои супоришро ба 65 % расонад, ҳамагӣ чанд гектар майдонро шудгор кардан лозим аст?
15. Агар ҷойҳои рақамҳои адади дурақамаро иваз кунем, вай 27 воҳид хурд мешавад. Рақами даҳиҳои адад 4 аст. Ададро маълум кунед.
★ Барои ҳавасмандон 16★. Дар шакли ҳосили зарби бисёрузваҳо нависед:
а) x 3 + x 2 y + 5 x 2 + x + y + 5 ; x^3 + x^2y + 5x^2 + x + y + 5; x 3 + x 2 y + 5 x 2 + x + y + 5 ;
б) 2 x 3 + x 2 y − 3 x 2 − 2 x − y + 3 ; 2x^3 + x^2y - 3x^2 - 2x - y + 3; 2 x 3 + x 2 y − 3 x 2 − 2 x − y +
в) 3 x 3 + 3 x y 2 + 6 x − x 2 − y 2 − 2 ; 3x^3 + 3xy^2 + 6x - x^2 - y^2 - 2; 3 x 3 + 3 x y 2 + 6 x − x 2 − y
г) x 4 + 2 x 2 y − 4 x 2 + a x 2 + 2 a y − 4 a . x^4 + 2x^2y - 4x^2 + ax^2 + 2ay - 4a. x 4 + 2 x 2 y − 4 x 2 + a x
Вазифаи хонагӣ
Машқҳо — «Дар хона»: 10–11; «Такрор»: 12–15; ★ (ихтиёрӣ): 16.
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 11.4 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Усули гурӯҳбандӣ: ҷамъшавандаҳоро ба гурӯҳҳо муттаҳид мекунем, аз ҳар гурӯҳ зарбшавандаи умумиро мебарорем, баъд қавси умумиро аз қавс мебарорем.
Агар қавсҳо якхела набароянд, гурӯҳбандиро иваз кунед. Бисёрузва метавонад якчанд гурӯҳбандии дуруст дошта бошад: натиҷа якхела мешавад.
Сеузваи a 2 + p a + q a^2 + pa + q a 2 + p a + q
Дар ин дарс
Ман метавонам ҷамъшавандаҳоро тавре гурӯҳбандӣ кунам, ки дар ҳар гурӯҳ зарбшавандаи умумӣ ҳаст.Ман метавонам бисёрузваро бо усули гурӯҳбандӣ ба зарбшавандаҳо ҷудо кунам.Ман метавонам сеузваро аз тарафи якумузвае, ки ба ду қисм ҷудо мешавад, ба зарбшавандаҳо ҷудо кунам. Такрор (2 дақиқа)
Зарбшавандаи умумиро аз қавс баред: 6 a + 9 b . 6a + 9b. 6 a + 9 b .
Зарбшавандаи умумиро аз қавс баред: x ( a − 1 ) + y ( a − 1 ) . x(a - 1) + y(a - 1). x ( a − 1 ) + y ( a − 1 ) .
Ҳосили зарби ( x + 2 ) ( x + 3 ) (x + 2)(x + 3) ( x + 2 ) ( x + 3 )
Ҷавобҳо
3 ( 2 a + 3 b ) . 3(2a + 3b). 3 ( 2 a + 3 b ) . ( a − 1 ) ( x + y ) . (a - 1)(x + y). ( a − 1 ) ( x + y ) . x 2 + 5 x + 6. x^2 + 5x + 6. x Вазъият барои андешаронӣ Дар бисёрузваи a x + a y + b x + b y ax + ay + bx + by a x + a y + b x + b y
Дар хотир доред Қадамҳо: 1) чор ҷамъшавандаро ба ду гурӯҳ ҷудо кунед; 2) аз ҳар гурӯҳ зарбшавандаи умумиро баред; 3) ҳосил шудани қавси якхеларо санҷед; 4) қавси умумиро аз қавс баред; 5) бо кушодани қавсҳо санҷед. Агар қавсҳо ҳархела бошанд, гурӯҳбандиро дигар кунед. Дар сатри дуюм аломати «−» пеш аз қавс дар гурӯҳи дуюм аломатҳоро тағйир медиҳад.
Калимаҳои калидӣ усули гурӯҳбандӣ гурӯҳбандии ҷамъшавандаҳо зарбшавандаи умумӣ ба зарбшавандаҳо ҷудо кардан
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чӣ тавр дарк мекунам, ки гурӯҳбандӣ дуруст аст? Дар чӣ вақт қавсҳо якхела намешаванд?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман метавонам чор ҷамъшавандаро дуруст гурӯҳбандӣ кунам.
Ман метавонам аз ҳар гурӯҳ зарбшавандаро баред ва қавси умумиро ёбам.
Ман метавонам сеузваро бо усули гурӯҳбандӣ ба зарбшавандаҳо ҷудо кунам.
Қадамҳои усули гурӯҳбандиро ба тартиби дуруст гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Бо кушодани қавсҳо санҷиш мекунем.
2 Аз ҳар гурӯҳ зарбшавандаи умумиро аз қавс мебарорем.
3 Қавси умумиро аз қавс мебарорем.
4 Чор ҷамъшавандаро ба ду гурӯҳ ҷудо мекунем.
Бисёрузваи 3 a − 3 b + a b − b 2 3a - 3b + ab - b^2 3 a − 3 b + ab − b 2
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A ( 3 a − b 2 ) + ( a b − 3 b ) (3a - b^2) + (ab - 3b) ( 3 a − b
B C D Сеузваи x 2 + 7 x + 12 x^2 + 7x + 12 x 2 + 7 x + 12
Як ҷавобро интихоб кунед A x 2 + 8 x − x + 12 x^2 + 8x - x + 12 x 2 + 8 x − x +
B C D
−
c p .
3 ;
2
−
2 ;
2
+
2 a y −
4 a .
2
+
5 x +
6.
2
)
+
( ab −
3 b )
( 3 a + a b ) + ( − 3 b − b 2 ) (3a + ab) + (-3b - b^2) ( 3 a + ab ) + ( − 3 b − b 2 )
( 3 a + a b ) + ( 3 b − b 2 ) (3a + ab) + (3b - b^2) ( 3 a + ab ) + ( 3 b − b 2 )
( 3 a − 3 b ) + ( a b − b 2 ) (3a - 3b) + (ab - b^2) ( 3 a − 3 b ) + ( ab − b 2 )
12
x 2 + 2 x + 5 x + 12 x^2 + 2x + 5x + 12 x 2 + 2 x + 5 x + 12
x 2 + 3 x + 4 x + 12 x^2 + 3x + 4x + 12 x 2 + 3 x + 4 x + 12
x 2 + 6 x + x + 12 x^2 + 6x + x + 12 x 2 + 6 x + x + 12