29. Муодилаи тригонометрии якҷинса - Алгебра — синфи 10
Фарз мекунем, ки a=0, b=0, c= Исбот мекунем, ки ва
навбатӣ30. Гузориши универсалӣ
1 соат
0.
cosx=0 sinx=0. Ин муодилаи квадратӣ нисбат ба tgx аст: агар b2−4ac≥0, он решаи ҳақиқӣ дорад.
Мисоли 1. sinx−cosx=0-ро ҳал мекунем.
Ҳал. cosx=0: вагарна sinx=0 мебуд, вале синус ва косинус якҷоя нул намешаванд. Ҳамаи аъзоро ба cosx тақсим мекунем: tgx=1, аз ин ҷо x=4π+πn, n∈Z.
Мисоли 2. 3sin2x−7sinxcosx+2cos2x=0-ро ҳал мекунем.
Ҳал. Ҳамаи аъзоро ба cos2x тақсим мекунем:
3tg2x−7tgx+2=0.
Бигузор tgx=u. Он гоҳ 3u2−7u+2=0, u1,2=67±49−24 u1=31, u2=2. Ҳамин тавр,
tgx=31, x=arctg
Мисоли 3. sin3x+cos3x=0-ро ҳал мекунем.
Ҳал. cos3x=0 (вагарна sin3x=0 ҳам). Ба cos3x тақсим мекунем: tg3x+1=0, tg3x=−1, 3x=−4π+πn, аз ин ҷо
x=−12π+3πn,
Мисоли 4. tg3x+tg2x−3tgx−3=0-ро ҳал мекунем.
Ин муодила якҷинса нест (tg дар се дараҷа), вале бо ҳамон идея — ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем:
tg2x(tgx+1)−3(tgx+1)=0,(tgx+1)(tg2x−3)=0.
а) tgx=−1, x=−4π+πn; б) tg2x=3, tgx=±3, x=±3π+πn, n∈Z.
Мисоли 5. 3sin2x−sinxcosx=2-ро ҳал мекунем (аъзои озод бор аст).
Ҳал. Аъзои озодро бо 1=sin2x+cos2x ба муодилаи якҷинса меорем: 2=2sin2x+2cos2x. Он гоҳ
3sin2x−sinxcosx−2sin2
Ба cos2x тақсим мекунем: tg2x−tgx−2=0, u1=2, u2=−1. Аз ин ҷо x=arctg2+πn ва x=−4π+πn, n∈Z.
Мисоли 6. sin2x−sin2x−3cos2x=0-ро ҳал мекунем.
Ҳал. sin2x=2sinxcosx-ро мегузорем: sin2x−2sinxcosx−3cos2x=0. Ба cos2x тақсим мекунем: tg2x−2tgx−3=0, u1=3, u2=−1. Аз ин ҷо x=arctg3+πn ва x=−4π+πn, n∈Z.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
- а) 3sin2x=cos2x;
- б) 4sin2x+sinxcosx−3cos2x=1;
- в) 4sin2x+2cos2x−3sin2x=0;
- г) sin2x−23cos2x=0;
- д) 3sin2x−4sinxcosx+5sin2(
- е) sin2x−ctgx=0;
- ж) 1−cos6x=tg3x;
- з) sin2x−cos2x=cosx;
- и) 1+cosxsinx=sin2x.
Дар хона
2. Нобаробариро ҳал кунед:
- а) 2x+7>0;
- б) 2−x3≤0;
- в) 3−2x1<0.
- а) sinα−cosα−3cos3α, ҳангоми α=30∘;
- б) sin2α+tgα−2tgα, ҳангоми α=45∘.
4. Ду бригадаи роҳсозон кӯчаеро мумфарш мекунанд. Як бригада кӯчаро назар ба бригадаи дуюм 4 соат тезтар мумфарш карда метавонад. Онҳо ҳамроҳ кор карда, дар 24 соат 5-то ҳамин гуна кӯчаро мумфарш карданд. Агар ҳар як бригада танҳо кор кунад, ин кӯчаро дар чанд соат мумфарш мекунад?
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 2–4; аз машқи 1 ҳал нашудаҳо.
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 29. Муодилаи тригонометрии якҷинса».
- Соати оянда: 30.
Хулоса
- Муодилаи якҷинса: acos2x+bsinxcosx+csin2x=0 (аъзои озод нул).
- Агар a, c=0, пас cosx=0 ва sinx=0; ба cos2x тақсим мекунем ва муодилаи квадратиро нисбат ба tgx ҳосил мекунем.
- Агар як коэффитсиент нул бошад, ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем (cosx=0 ё sinx=0 ҳам реша мешавад).
- Аъзои озодро бо 1=sin2x+cos2x ба якҷинса меорем; sin2x=2sinx
Худро санҷед. Ҷавоб диҳед «дуруст» ё «нодуруст»:
- sinx−cosx=0 муодилаи якҷинса бо дараҷаи 1 аст. ✓
- Дар муодилаи acos2x+bsinxcosx+csin2x=0 бо c=0 решаи cosx=0 намешавад. ✓
- Агар c=0, ба cos2x тақсим кардан бехатар аст. ✗
- Муодилаи sin2x+cosx=0 якҷинса аст. ✗
Дар ин дарс
- Ман медонам, ки муодилаи тригонометрии якҷинса чист ва дараҷаи якҷинсагии он чӣ гуна муайян мешавад.
- Ман метавонам исбот кунам, ки ба cos2x (ё sin2x) тақсим кардан решаҳоро гум намекунад, ва муодиларо ба муодилаи квадратӣ нисбат ба tgx орам.
- Ман метавонам ҳолатҳои махсусро (коэффитсиенти нул, аъзои озод) ҳал кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- tgx-ро ба воситаи sinx ва cosx ифода кунед.
- sin2x+cos2x ба чӣ баробар аст?
- u2−3u+2=0-ро ҳал кунед.
Ҷавобҳо
- tgx=cosxsinx. 2) 1. 3) u
Вазъият барои андешаронӣДар муодилаи sinx−cosx=0 ҳам синус, ҳам косинус ҳаст ва ягон гузориш кор намекунад. Агар ҳарду тарафро ба cosx тақсим кунем, чӣ мешавад? Ин қадам кай дуруст аст?
ТаърифМуодилаи намуди
acos2x+bsinxcosx+csin2x=0(1)
муодилаи тригонометрии якҷинса нисбат ба sinx ва cosx номида мешавад: ҳамаи ҷамъшавандаҳо дараҷаи якхела доранд (дар (1) — дараҷаи 2). Дараҷаи якҷинсагии он 2 аст. Муодилаи sinx−cosx=0 — якҷинса бо дараҷаи 1. Аъзои озод дар муодилаи якҷинса нул аст.
Чаро тақсим кардан мумкин аст
- Фарз мекунем, ки cosx=0. Дар муодилаи (1) ду ҷамъшавандаи аввал нул мешаванд ва csin2x=0 мемонад.
- Аз cosx=0 мебарояд Пас яъне — зидди
Дар хотир доредАгар баъзе коэффитсиентҳо нул бошанд, ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем: c=0 бошад, cosx(acosx+bsinx)=0; бошад, Дар ин ҳолатҳо (ё ) ҳам решаи муодилаи якҷинса шуда метавонад — онро гум накунед!
Калимаҳои калидӣмуодилаи якҷинсадараҷаи якҷинсагӣкоэффитсиентаъзои озодтақсим ба cos² x
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро исбот кардем, ки cosx=0? Дар кадом ҳолат ба cos2x тақсим кардан решаро гум мекунад?
x=2π муодилаи sin2x+sinxcosx реша аст.
2sin2x+sinxcosx−3cos2x=0 муодиларо ба тақсим мекунем. Кадом муодилаи квадратӣ нисбат ба ҳосил мешавад?
Як ҷавобро интихоб кунед
sinx=3cosx муодиларо ҳал кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед Қадамҳои ҳалли sin2x+2sinxcosx−3cos2x=0-ро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед2
3
4
=
67±5,
31
+
πn;tgx=
2, x=
arctg2+
πn,n∈
Z.
n
∈
Z.
x
−
2cos2x=
0,sin2x−
sinxcosx−
2cos2x=
0.
2π
+
x
)
=
2;
cos
x
.
1
=
1,
sin2x=1−cos2x=1. c⋅1=0, Хулоса. cosx=0. Ҳамин тавр, агар sinx=0, пас cos2x=1 ва a=0 — зидди a=0; sinx=0. Пас ҳарду тарафи (1)-ро ба cos2x тақсим кардан мумкин аст (решаҳо гум намешаванд ва нав пайдо намешаванд):
ctg2x+btgx+a=0.
Ё ба sin2x тақсим мекунем: actg2x+bctgx+c=0. a=
0
sinx(bcosx+csinx)=0. tgx
=
0
cos2x
tgx 2t2+t+3=0
2t2−t−3=0
−3t2+t+2=0
2t2+t−3=0
3π
+
πn
x=6π+πn
x=3π+2πn
x=3π+πn
x=4π+πn
x=−arctg3+πn Ба cos2x тақсим мекунем: tg2x+2tgx−3=0
Гузориш tgx=u: u1=1, u2=−3
Санҷем: cosx=0, вагарна sinx=0 ҳам, ки номумкин аст