22.5. Алоқаи функсияҳои роста ва чаппа. Сохтани кунҷ аз рӯйи қимати функсия - Алгебра — синфи 10
Алоқаи функсияҳои роста ва чаппа
Дар се дарси гузашта дидем: sin ( arcsin x ) = x , \sin(\arcsin x) = x, sin ( arcsin x ) = x , cos ( arccos x ) = x , \cos(\arccos x) = x, cos ( arccos x ) = x , tg ( arctg x ) = x , \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x) = x, tg ( arctg
навбатӣ 23. Муодилаи sin x = a 1 соат
x
)
=
x ,
ctg ( arcctg x ) = x . \operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} x) = x. ctg ( arcctg x ) = x . sin ( arccos x ) \sin(\arccos x) sin ( arccos x ) 1. sin ( arccos x ) , \sin(\arccos x), sin ( arccos x ) , ∣ x ∣ ≤ 1. |x| \le 1. ∣ x ∣ ≤ 1. Гузошта y = arccos x , y = \arccos x, y = arccos x , y ∈ [ 0 ; π ] . y \in [0;\ \pi]. y ∈ [ 0 ; π ] . sin y ≥ 0 , \sin y \ge 0, sin y ≥ 0 , sin y = ± 1 − cos 2 y , \sin y = \pm\sqrt{1 - \cos^2 y}, sin y = ± 1 − cos 2 y , «+ + + мегирем:
sin ( arccos x ) = 1 − x 2 . \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}. sin ( arccos x ) = 1 − x 2 . «± \pm ± лозим нест: азбаски arccos x ∈ [ 0 ; π ] \arccos x \in [0;\ \pi] arccos x ∈ [ 0 ; π ] sin ≥ 0 , \sin \ge 0, sin ≥ 0 ,
2. cos ( arcsin x ) , \cos(\arcsin x), cos ( arcsin x ) , ∣ x ∣ ≤ 1. |x| \le 1. ∣ x ∣ ≤ 1. Ҳамин тавр: y = arcsin x ∈ [ − π 2 ; π 2 ] , y = \arcsin x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right], y = arcsin x ∈ [ − 2 π ; 2 π ] , cos y ≥ 0 , \cos y \ge 0, cos y ≥ 0 , cos ( arcsin x ) = 1 − x 2 . \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}. cos ( arcsin x ) = 1 − x 2 .
3. sin ( arctg x ) , \sin(\operatorname{arctg} x), sin ( arctg x ) , cos ( arctg x ) , \cos(\operatorname{arctg} x), cos ( arctg x ) , x . x. x . Гузошта y = arctg x , y = \operatorname{arctg} x, y = arctg x , y ∈ ( − π 2 ; π 2 ) , y \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right), y ∈ ( − 2 π ; 2 π ) , cos y > 0. \cos y > 0. cos y > 0. 1 + tg 2 y = 1 cos 2 y 1 + \operatorname{tg}^2 y = \dfrac{1}{\cos^2 y} 1 + tg 2 y = cos 2 y 1 tg y = x \operatorname{tg} y = x tg y = x cos y = 1 1 + x 2 \cos y = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} cos y = 1 + x 2 «+ + + зеро cos y > 0 \cos y > 0 cos y > 0 sin y = tg y cos y = x 1 + x 2 . \sin y = \operatorname{tg} y \cos y = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}. sin y = tg y cos y = 1 + x 2
4. sin ( arcctg x ) , \sin(\operatorname{arcctg} x), sin ( arcctg x ) , cos ( arcctg x ) . \cos(\operatorname{arcctg} x). cos ( arcctg x ) . Гузошта y = arcctg x , y = \operatorname{arcctg} x, y = arcctg x , y ∈ ( 0 ; π ) , y \in (0;\ \pi), y ∈ ( 0 ; π ) , sin y > 0. \sin y > 0. sin y > 0. 1 + ctg 2 y = 1 sin 2 y 1 + \operatorname{ctg}^2 y = \dfrac{1}{\sin^2 y} 1 + ctg 2 y = sin 2 y 1 sin y = 1 1 + x 2 , \sin y = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}, sin y = 1 + x 2 cos y = ctg y sin y = x 1 + x 2 . \cos y = \operatorname{ctg} y \sin y = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}. cos y = ctg y sin y = 1 + x 2
Мисоли 1. sin ( arccos ( − 3 5 ) ) = 1 − 9 25 = 4 5 . \sin\left(\arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right) = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}. sin ( arccos ( − 5 3 ) ) = 1 − 25 9 = 5 4 . arccos ( − 3 5 ) ≈ 126,9 ∘ \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 126{,}9^\circ arccos ( − 5 3 ) ≈ 126 , 9 ∘
Мисоли 2. cos ( arctg ( − 3 ) ) = 1 1 + 9 = 1 10 . \cos\left(\operatorname{arctg}(-3)\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 9}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}. cos ( arctg ( − 3 ) ) = 1 + 9 1 = 10 1 . arctg ( − 3 ) ∈ ( − π 2 ; 0 ) \operatorname{arctg}(-3) \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\ 0\right) arctg ( − 3 ) ∈ ( − 2 π ; 0 )
Муодилаи тригонометрӣ Муодилаи тригонометрӣ — баробарии ифодаҳои тригонометрист, ки номаълум фақат дар зери аломати функсияҳои тригонометрӣ омадааст. Масалан,
cos x = 1 , 3 tg 3 x + 1 = 0 , cos 3 x − sin x = 0 , sin 3 x + sin 5 x + sin 4 x = 0. \cos x = 1, \quad 3\operatorname{tg} 3x + 1 = 0, \quad \cos 3x - \sin x = 0, \quad \sin 3x + \sin 5x + \sin 4x = 0. cos x = 1 , 3 tg 3 x + 1 = 0 , cos 3 x − sin x = 0 , sin 3 x + sin 5 x + sin 4 x = 0. sin x = x , \sin x = x, sin x = x , cos 2 x = x − 1 2 \cos 2x = x - \dfrac{1}{2} cos 2 x = x − 2 1 трансцендентӣ меноманд.
Муодилаҳои sin x = a , \sin x = a, sin x = a , cos x = a , \cos x = a, cos x = a , tg x = a \operatorname{tg} x = a tg x = a (a a a — адади додашуда) одитарин (содда) мебошанд. Ҳал кардани онҳо — ёфтани маҷмӯи ҳамаи кунҷҳост, ки қимати функсияи додашуда ба a a a
Сохтани кунҷ аз рӯйи қимати функсия Масъалаи I. a a a α \alpha α cos α = a . \cos\alpha = a. cos α = a .
Ҳал. Дар тири O x Ox O x N ( a ; 0 ) N(a;\ 0) N ( a ; 0 ) O y Oy O y
∣ a ∣ < 1 |a| < 1 ∣ a ∣ < 1 M 1 M_1 M 1 M 2 M_2 M 2 O M 1 OM_1 O M 1 O M 2 OM_2 O M 2 a a a ∣ a ∣ = 1 |a| = 1 ∣ a ∣ = 1 a = 1 a = 1 a = 1 A ( 1 ; 0 ) A(1;\ 0) A ( 1 ; 0 ) 2 π k 2\pi k 2 πk a = − 1 a = -1 ∣ a ∣ > 1 |a| > 1 ∣ a ∣ > 1 Аз ҳамаи кунҷҳои косинусашон a a a (∣ a ∣ ≤ 1 |a| \le 1 ∣ a ∣ ≤ 1 кунҷе, ки дар [ 0 ; π ] [0;\ \pi] [ 0 ; π ] кунҷи асосӣ ном дорад: α 0 = arccos a . \alpha_0 = \arccos a. α 0 = arccos a .
Масъалаи II. Кунҷи α \alpha α sin α = a . \sin\alpha = a. sin α = a .
Ҳал. Нуқтаи N ( 0 ; a ) N(0;\ a) N ( 0 ; a ) O y Oy O y O x Ox O x ∣ a ∣ < 1 |a| < 1 ∣ a ∣ < 1 ∣ a ∣ = 1 |a| = 1 ∣ a ∣ = 1 ∣ a ∣ > 1 |a| > 1 ∣ a ∣ > 1 arcsin a \arcsin a arcsin a [ − π 2 ; π 2 ] \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right] [ − 2 π ; 2 π ]
Масъалаи III. Кунҷи α \alpha α tg α = a . \operatorname{tg}\alpha = a. tg α = a .
Ҳал. Дар хати тангенсҳо (хати x = 1 x = 1 x = 1 T ( 1 ; a ) T(1;\ a) T ( 1 ; a ) O O O a a a ∣ a ∣ > 1 |a| > 1 ∣ a ∣ > 1 arctg a ∈ ( − π 2 ; π 2 ) . \operatorname{arctg} a \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right). arctg a ∈ ( − 2 π ; 2 π
Масъалаи IV. Кунҷи α \alpha α ctg α = a . \operatorname{ctg}\alpha = a. ctg α = a .
Ҳал. Дар хати котангенсҳо (y = 1 y = 1 y = 1 нуқтаи N ( a ; 1 ) N(a;\ 1) N ( a ; 1 ) O O O arcctg a ∈ ( 0 ; π ) . \operatorname{arcctg} a \in (0;\ \pi). arcctg a ∈ ( 0 ; π ) .
Худатон кӯшиш кунед: функсия ва a a a
Сохтани кунҷ аз рӯйи қимати функсия санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
а) sin ( arccos ( − 3 5 ) ) ; \sin\left(\arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right); sin ( arccos ( − 5 3 ) ) ;
б) cos ( arcsin ( − 5 13 ) ) ; \cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{5}{13}\right)\right); cos ( arcsin ( − 13 5 ) ) ;
в) sin ( arctg 2 ) ; \sin(\operatorname{arctg} 2); sin ( arctg 2 ) ;
г) cos ( arcctg ( − 3 ) ) ; \cos\left(\operatorname{arcctg}(-3)\right); cos ( arcctg ( − 3 ) ) ;
д) tg ( arcsin 0,6 ) ; \operatorname{tg}(\arcsin 0{,}6); tg ( arcsin 0 , 6 ) ;
е) ctg ( arccos ( − 0,8 ) ) . \operatorname{ctg}\left(\arccos(-0{,}8)\right). ctg ( arccos ( − 0 , 8 ) ) .
2. Бо ёрии давра ва хатканак кунҷи α \alpha α
а) cos α = 0,4 ; \cos\alpha = 0{,}4; cos α = 0 , 4 ;
б) sin α = − 0,3 ; \sin\alpha = -0{,}3; sin α = − 0 , 3 ;
в) tg α = 2 ; \operatorname{tg}\alpha = 2; tg α = 2 ;
г) ctg α = − 1. \operatorname{ctg}\alpha = -1. ctg α = − 1.
3. Дар порчаи [ 0 ; 2 π ) [0;\ 2\pi) [ 0 ; 2 π )
а) sin α = 0,2 ; \sin\alpha = 0{,}2; sin α = 0 , 2 ;
б) cos α = − 1 ; \cos\alpha = -1; cos α = − 1 ;
в) tg α = 3 ; \operatorname{tg}\alpha = 3; tg α = 3 ;
г) sin α = 1,01 ? \sin\alpha = 1{,}01? sin α = 1 , 01 ?
Дар хона 4. Исбот кунед, ки барои ҳар як x ∈ [ − 1 ; 1 ] x \in [-1;\ 1] x ∈ [ − 1 ; 1 ] arcsin x + arccos x = π 2 \arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2} arcsin x + arccos x = 2 π
Нишондод. Нишон диҳед, ки π 2 − arcsin x ∈ [ 0 ; π ] \dfrac{\pi}{2} - \arcsin x \in [0;\ \pi] 2 π − arcsin x ∈ [ 0 ; π ] x x x
5. Исбот кунед: sin ( arctg x ) = x 1 + x 2 \sin(\operatorname{arctg} x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} sin ( arctg x ) = 1 + x 2 x x x x
6. tg ( arccos x ) \operatorname{tg}(\arccos x) tg ( arccos x ) x x x (x ≠ 0 x \ne 0 x = 0
7. Хатои маъмул: «sin ( arccos x ) = ± 1 − x 2 \sin(\arccos x) = \pm\sqrt{1 - x^2} sin ( arccos x ) = ± 1 − x 2 «+ + + аст.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4–7 ва қисми иҷронашудаи машқҳои «Дар синф».
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 22.5. Алоқаи функсияҳои роста ва чаппа. Сохтани кунҷ аз рӯйи қимати функсия».
Хулоса
sin ( arccos x ) = cos ( arcsin x ) = 1 − x 2 ; \sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}; sin ( arccos x ) = cos ( arcsin x ) = 1 − x 2 ; cos ( arctg x ) = sin ( arcctg x ) = 1 1 + x 2 ; \cos(\operatorname{arctg} x) = \sin(\operatorname{arcctg} x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}; cos ( arctg x ) = sin ( arcctg x ) = 1 + x 2 sin ( arctg x ) = cos ( arcctg x ) = x 1 + x 2 . \sin(\operatorname{arctg} x) = \cos(\operatorname{arcctg} x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}. sin ( arctg x ) = cos ( arcctg x ) = 1 + x 2 Муодилаи тригонометрӣ — номаълум танҳо дар зери аломати функсияҳои тригонометрӣ; ҳал кардан — ёфтани маҷмӯи ҳамаи кунҷҳо.
cos α = a \cos\alpha = a cos α = a sin α = a \sin\alpha = a sin α = a ∣ a ∣ < 1 |a| < 1 ∣ a ∣ < 1 ∣ a ∣ = 1 |a| = 1 ∣ a ∣ = Дар ин дарс
Ман метавонам sin ( arccos x ) , \sin(\arccos x), sin ( arccos x ) , cos ( arctg x ) \cos(\operatorname{arctg} x) cos ( arctg x ) Ман медонам , ки муодилаи тригонометрӣ чист ва «ҳал кардан» чӣ маъно дорад.Ман метавонам кунҷро аз рӯйи қимати синус, косинус, тангенс ё котангенс дар давраи воҳидӣ созам ва кунҷи асосиро нишон диҳам. Такрор (2 дақиқа)
sin 2 α + cos 2 α \sin^2\alpha + \cos^2\alpha sin 2 α + cos 2 α 1 + tg 2 α 1 + \operatorname{tg}^2\alpha 1 + tg 2 α 1 + ctg 2 α 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha 1 + ctg 2 α cos \cos cos sin \sin sin Арк-функсияҳо қиматҳояшонро дар кадом порчаҳо мегиранд?
Ҷавобҳо
1. 1. 1. 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α , 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}, 1 + tg 2 α = cos 2 α Вазъият барои андешаронӣ Чӣ тавр sin ( arccos 3 5 ) \sin\left(\arccos\dfrac{3}{5}\right) sin ( arccos 5 3 ) cos α = 0,4 \cos\alpha = 0{,}4 cos α = 0 , 4 α \alpha α
Ҷадвали алоқа Формулаҳои зерин барои ҳамаи x x x
Ифода Қимат sin ( arcsin x ) \sin(\arcsin x) sin ( arcsin x ) x x x
Расми 1. Хати x = a ва давраи воҳидӣ: ҳангоми |a| < 1 ду нуқта, ҳангоми a = 1 як нуқта, ҳангоми |a| > 1 нуқта нест. Дар поёни рост: хати тангенсҳо — ду нуқтаи муқобил. Калимаҳои калидӣ муодилаи тригонометрӣ муодилаи одитарин кунҷи асосӣ хати тангенсҳо муодилаи трансцендентӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Ман метавонам:
✓ / ✗ sin ( arccos x ) \sin(\arccos x) sin ( arccos x ) cos ( arctg x ) \cos(\operatorname{arctg} x) cos ( arctg x )
✓ / ✗ фарқ кунам, ки муодилаи тригонометрӣ кадом аст ва кадом не;
✓ / ✗ кунҷро аз рӯйи қиматаш дар давра созам ва кунҷи асосиро нишон диҳам.
Хати рости y = 1,2 y = 1{,}2 y = 1 , 2
cos ( arctg 2 ) \cos(\operatorname{arctg} 2) cos ( arctg 2 )
Як ҷавобро интихоб кунед A 2 5 \dfrac{2}{\sqrt{5}} 5 2
B C D Дар давраи воҳидӣ чандто нуқта абсиссаи 0,4 0{,}4 0 , 4
Як ҷавобро интихоб кунед A 1 1 1
B 4 4 4
C 0 0 0
D 2 2 2
1
x
.
1
,
x
.
a = − 1
)
.
1
;
x
.
1
tg α = a \operatorname{tg}\alpha = a tg α = a ctg α = a \operatorname{ctg}\alpha = a ctg α = a
1
,
1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α . 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}. 1 + ctg 2 α = sin 2 α 1 . arcsin ∈ [ − π 2 ; π 2 ] , \arcsin\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right], arcsin ∈ [ − 2 π ; 2 π ] , arccos ∈ [ 0 ; π ] , \arccos\in[0;\ \pi], arccos ∈ [ 0 ; π ] , arctg ∈ ( − π 2 ; π 2 ) , \operatorname{arctg}\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right), arctg ∈ ( − 2 π ; 2 π ) , arcctg ∈ ( 0 ; π ) . \operatorname{arcctg}\in(0;\ \pi). arcctg ∈ ( 0 ; π ) . sin ( arccos x ) \sin(\arccos x) sin ( arccos x ) sin ( arctg x ) \sin(\operatorname{arctg} x) sin ( arctg x ) x 1 + x 2 \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} 1 + x 2 x
sin ( arcctg x ) \sin(\operatorname{arcctg} x) sin ( arcctg x ) 1 1 + x 2 \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} 1 + x 2 1
cos ( arcsin x ) \cos(\arcsin x) cos ( arcsin x ) 1 − x 2 \sqrt{1 - x^2} 1 − x 2
cos ( arccos x ) \cos(\arccos x) cos ( arccos x ) x x x
cos ( arctg x ) \cos(\operatorname{arctg} x) cos ( arctg x ) 1 1 + x 2 \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} 1 + x 2 1
cos ( arcctg x ) \cos(\operatorname{arcctg} x) cos ( arcctg x ) x 1 + x 2 \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} 1 + x 2 x
3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2 3
1 5 \dfrac{1}{\sqrt{5}} 5 1
