24. Муодилаи cos x = a - Алгебра — синфи 10

Харитаи курс

Алгебра — синфи 10

0 аз 107 дарс

0 аз 11 дарс

0 аз 24 дарс

0 аз 23 дарс

22.1. Арксинус
22.2. Арккосинус
22.3–22.4. Арктангенс ва арккотангенс
22.5. Алоқаи функсияҳои роста ва чаппа. Сохтани кунҷ аз рӯйи қимати функсия
23. Муодилаи sin x = a
ту ин ҷоӣ24. Муодилаи cos x = a
25. Муодилаи tg x = a
26. Муодилаҳои тригонометрии аргументашон якхела
27 · 1/2. Усули ба як функсия овардан: айниятҳои асосӣ
27 · 2/2. Табдилдиҳиҳо бо соҳаи қиматҳои имконпазир
Такрор ва санҷиш: фаслҳои 22–27 · 1/3. Функсияҳои чаппа ва муодилаҳои содда
Такрор ва санҷиш: фаслҳои 22–27 · 2/3. Кори санҷишӣ ва санҷиши нимсола
Такрор ва санҷиш: фаслҳои 22–27 · 3/3. Кор бо хатоҳо
28. Усули ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан
29. Муодилаи тригонометрии якҷинса
30. Гузориши универсалӣ
31. Системаи муодилаҳои тригонометрӣ
32.1 · 1/2. Нобаробариҳои sin x > a ва sin x < a
32.1 · 2/2. Нобаробариҳои cos x > a ва cos x < a
32.2. Нобаробариҳои tg x > a ва tg x < a
Такрор ва санҷиш: фаслҳои 28–32 · 1/3. Усулҳои ҳалли муодилаҳо ва нобаробариҳо
Такрор ва санҷиш: фаслҳои 28–32 · 2/3. Кори санҷишӣ
Такрор ва санҷиш: фаслҳои 28–32 · 3/3. Кор бо хатоҳо

0 аз 23 дарс

0 аз 15 дарс

0 аз 6 дарс

0 аз 5 дарс

марра!

Асосӣ Курсҳо Манбаъҳо Масъалаҳо

дарс кушода мешавад…

Асосӣ Курсҳо Манбаъҳо Масъалаҳо

Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 10

3. Муодилаҳо ванобаробариҳои тригонометрӣ

24. Муодилаи cos x = a

1 соат

Назария
Дарси 6 аз 23
Хониш: 9 дақиқа
Саволҳо: 5

Решаҳои $\cos x = a$

$|a| > 1$ : ҳал нест, зеро $|\cos x| \le 1.$
$|a| \le 1$ : дар порчаи косинус кам мешавад ва қимати қабул мекунад, пас расо як реша ҳаст — Азбаски косинус ҷуфт аст, низ реша аст ва дар ётад. Пас, дар порчаи дарозиаш муодила ду реша дорад: Бо давраи ҳамаи ҳалҳо аз ин ду бо фарқ мекунанд.

навбатӣ

25. Муодилаи tg x = a

1 соат

Дарси навбатӣ

Дарси пешина Ба харитаи курс

∣

a

∣

≤

1

[0;\ \pi]

a

-ро

\arccos a.

-\arccos a

[-\pi;\ 0]

[-\pi;\ \pi]

2\pi

x = \pm\arccos a.

2\pi

2\pi n

Дар давра: $\cos x$ — абсиссаи нуқтаи $P_x.$ Ҳангоми $|a| < 1$ ду нуқта ҳаст (Расми 1), ҳангоми $a = \pm 1$ — як нуқта, ва $\arccos a$ ва $-\arccos a$ ба ҳам баробар мешаванд ( $\arccos 1 = 0$ ).

Мисоли 1. $\cos\dfrac{5x}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ⁠-ро ҳал мекунем.

Ҳал. $\dfrac{5x}{6} = \pm\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,$ пас $x = \pm\frac{\pi}{5} + \frac{12\pi n}{5}, \qquad n \in \mathbb{Z}.$

Мисоли 2. $\cos(3x - 2) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ⁠-ро ҳал мекунем.

Ҳал. $3x - 2 = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,$ $3x = 2 \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,$ пас $x = \frac{2}{3} \pm \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}, \qquad n \in \mathbb{Z}.$

Мисоли 3. $\cos\left(\pi\sqrt{x}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ⁠-ро ҳал мекунем.

Ҳал. $\pi\sqrt{x} = \pm\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n.$ Ба $\pi$ тақсим мекунем: $\sqrt{x} = \pm\dfrac{5}{6} + 2n.$ Шарт: $\sqrt{x} \ge 0.$

Бо « $+$ »: $\sqrt{x} = \dfrac{5}{6} + 2n,$ $n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots$ (барои $n < 0$ манфӣ), пас $x = \left(\dfrac{5}{6} + 2n\right)^2.$
Бо « $-$ »: $\sqrt{x} = -\dfrac{5}{6} + 2k,$ манфӣ медиҳад), пас

Мисоли 4. $\cos(2x - 1) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ⁠-ро ҳал мекунем.

Ҳал. $2x - 1 = \pm\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n.$ Пас $2x = 1 \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$ ва $x = \frac{1}{2} \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n, \qquad n \in \mathbb{Z}.$

Худатон санҷед: « $+$ arccos» ва « $-$ arccos»-ро иваз кунед, $n$ -ро тағйир диҳед.

cos x = a: ҳамаи ҳалҳосанҷида бин!

Кор дар синф

Машқҳо

Дар синф

1. Муодиларо ҳал кунед:

а) $\cos 2x = -\dfrac{1}{2};$
б) $\cos\dfrac{2}{3}x = \dfrac{1}{2};$
в) $\cos\dfrac{2\pi}{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2};$
г) $\cos\dfrac{2\pi}{x^2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
д) $\cos\dfrac{2\pi}{\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2};$
е) $\cos\sqrt{\dfrac{\pi}{x}} = 0;$
ж) $\cos(2 - 3x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2};$
з) $\cos x = \dfrac{\pi}{4};$
и) $\cos\dfrac{2\pi x}{3} = 0.$

2. Муодиларо ҳал кунед:

а) $\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2};$
б) $\cos x = \dfrac{1}{2};$
в) $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2};$
г) $\cos x = -1;$
д) $2\cos x + \sqrt{3} = 0;$
е) $\sqrt{2}\cos x - 1 = 0;$
ж) $2\cos x + \sqrt{2} = 0;$
з) $3\cos x - 1 = 0;$
и) $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Дар хона

Такрор

3. Нобаробариро ҳал кунед:

а) $0{,}01x^2 \le 1;$
б) $4x \le -x^2;$
в) $\dfrac{1}{3}x^2 > \dfrac{1}{9}.$

4. Муодиларо ҳал кунед:

а) $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2};$
б) $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
в) $\sin 2x = 0.$

5. Киштӣ бо равиши ҷараёни дарё нисбат ба муқобили ҷараён бо суръати $1\dfrac{1}{2}$ маротиба тезтар ҳаракат мекунад. Суръати ҷоришавии дарё $2{,}9$ км дар як соат аст. Суръати киштиро дар оби ором муайян намоед.

Вазифаи хонагӣ

Машқҳои 3–5 ва қисми иҷронашудаи машқҳои «Дар синф».
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 24. Муодилаи cos x = a».

Хулоса

$|a| > 1$ : ҳал нест. $|a| \le 1$ : $x = \pm\arccos a + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}.$
Махсус: $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n;$ $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n;$
Дар муодилаҳо бо $\sqrt{x},$ $\dfrac{c}{x}$ шартҳои соҳаи муайянӣ ( $x$ ҷавобро маҳдуд мекунанд ё

Дар ин дарс

Ман медонам, ки $\cos x = a$ ҳангоми $|a| > 1$ ҳал надорад ва ҳангоми $|a| \le 1$ дорои ҳалли умумии $x = \pm\arccos a + 2\pi n$ аст.
Ман метавонам ҳолатҳои $a = 1,$ $-1,$ $0$ -ро алоҳида нависам ( $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ ).
Ман метавонам муодилаҳои $\cos(kx + b) = a$ ва $\cos\left(\pi\sqrt{x}\right) = a$ -ро ҳал кунам.

Такрор (2 дақиқа)

$\arccos\dfrac{1}{2}$ ва $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ -ро нависед.
Оё косинус ҷуфт аст ё тоқ?
Ҳалли умумии $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ -ро нависед.

Ҷавобҳо

$\dfrac{\pi}{3};$ $\dfrac{3\pi}{4}.$ 2) Ҷуфт: $\cos (- x) = \cos x .$ 3)

Вазъият барои андешаронӣ

Барои $\sin x = a$ силсилаи ҳалро бо $(-1)^n$ навиштем. Барои $\cos x = a$ нақшаи дигар лозим аст: косинус ҷуфт аст, яъне агар $x_0$ реша бошад, $-x_0$ ҳам реша аст. Ин чӣ формулаи хубро медиҳад?

Ҳалли умумӣ

x = \pm\arccos a + 2\pi n, \qquad n \in \mathbb{Z},\ |a| \le 1.

Давра бо хати амудии x = a ва ду радиуси кунҷҳои x₁ ва x₂ ба нуқтаҳои нисбат ба Ox симметрӣ; дар поён косинусоида бо хати y = a ва нуқтаҳои буриш. — Расми 1. cos x = a ҳангоми a = 1/2: боло — ду нуқтаи давра (x₁ ва x₂ нисбат ба Ox симметрианд); поён — ҳамаи буришҳои хати y = a бо косинусоида.

Ҳолатҳои махсус

$\cos x = 1$ : $x = 2\pi n;$
$\cos x = -1$ : $x = \pi + 2\pi n;$

Калимаҳои калидӣ

ҳалли умумӣарккосинуссилсилаи решаҳоҷуфтии косинус

Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?

Ман метавонам:

✓ / ✗ бигӯям, чаро $\cos x = a$ ҳалли $\pm\arccos a + 2\pi n$ дорад;
✓ / ✗ $\cos x = 0$ -ро дуруст нависам ();

худро санҷ1 хол

cos x = √2/2: x = ±π/4 + 2π, n ∈ Z

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

$\cos x = 0$ ҳангоми $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ ) ва фақат ҳамон вақт.

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

Муодилаи $\cos x = 0{,}3$ дар порчаи $[0;\ 2\pi]$ чандто реша дорад?

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

$\cos x = -\dfrac{1}{2}$ -ро ҳал кунед ( $n \in \mathbb{Z}$ ).

Як ҷавобро интихоб кунед

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

худро санҷ1 хол

Решаи мусбати хурдтарини $\cos 2x = \dfrac{1}{2}$ -ро ёбед.

Як ҷавобро интихоб кунед

Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан

n

∈

Z.

+

32πn,n∈

Z.

+

2k,

k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots

(

k = 0

x = \left(-\dfrac{5}{6} + 2k\right)^2.

+

πn,n∈

Z.

;

3

;

22

;

;

3

.

2πn;

\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n.

\geq

0

,

x \ge 0,

x \geq 0,

x \ne 0

)

(

n \ge 0

n \ge 1

).

2π

+

πn

)

=

a

\cos(-x) = \cos x.

cos (- x) = cos x .

x = (-1)^n\dfrac{\pi}{4} + \pi n.

1.

x

=

π+

2πn;

\cos x = 0

:

x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n

(

n \in \mathbb{Z}

).

Диққат: сифрҳои косинус — ҳам $\dfrac{\pi}{2},$ ҳам $\dfrac{3\pi}{2},$ ҳам $-\dfrac{\pi}{2},$ яъне $\dfrac{\pi}{2} + \pi n,$ на $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ (ин нисфи решаҳоро гум мекунад).

x

=

0

\dfrac{\pi}{2} + \pi n

✓ / ✗

\cos(kx + b) = a

-ро ҳал кунам.

n

∈

Z

x=

(−1)n32π+

πn

$x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$

\dfrac{\pi}{6}

\frac{π}{6}

$\dfrac{\pi}{12}$

$\dfrac{2\pi}{3}$