28. Усули ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан - Алгебра — синфи 10
Агар тарафи чапи муодилаи тригонометриро, пас аз гузаронидани ҳамаи ҷамъшавандаҳо ба тарафи чап, ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан мумкин бошад, муодила намуди «ҳосили зарб ба нул баробар» мегирад.
Ба ифодаи ба нул баробаршаванда ихтисор намекунем: решаҳо гум мешаванд.
Мисоли 1. cos2x−cosx=0-ро ҳал мекунем.
Ҳал. cosx(cosx− яъне ё
навбатӣ29. Муодилаи тригонометрии якҷинса
1 соат
1
)
=
0,
cosx−1=0. а) cosx=0, x=2π+πn, n∈Z;б) cosx=1, x=2πn, n∈Z. Мисоли 2. 2sin2x−sin2(2x)=0-ро ҳал мекунем.
Ҳал. sin2x(2−sin2x)=0, аз ин ҷо sin2x=0 ё 2−sin2x=0. Зарбкунандаи дуюм барои ягон x нул намешавад (sin2x≤1<2). Аз sin2x=0 ҳосил мекунем 2x=πn, яъне
x=2πn,n∈Z.
Мисоли 3. 2cosx⋅ctg3x=ctg3x-ро ҳал мекунем.
Ҳал. Соҳаи имконпазир: ctg3x вуҷуд дорад, агар 3x=πk. Баъд
ctg3x(2cosx−1)=0.
а) ctg3x=0, 3x=2π+πn, x=6π+3πn. Ин қиматҳо ба соҳа дохиланд: 3x=2π+πn=πk.
б) cosx=21, x=±3π+2πn. Санҷиш: ҳангоми x=±3π+2πn ҳосил мекунем 3x=±π+6πn=π(±1+6n), яъне 3x ба πk баробар мешавад ва ctg3x вуҷуд надорад. Ин қиматҳо решаи бегонаанд.
Ҷавоб: x=6π+3πn, n∈Z.
Мисоли 4. cos2x=sin(6x−2π)-ро ҳал мекунем.
Ҳал. Аз формулаҳои овардан: sin(6x−2π)=−cos6x. Он гоҳ cos2x+cos6x=0. Суммаро ба ҳосили зарб табдил медиҳем:
2cos4x⋅cos2x=0.
а) cos4x=0, 4x=2π+πn, x=8π+4πn; б) cos2x=0, 2x=2π+πn, x=4π+2πn, n∈Z.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
- а) 2sin2x⋅cos4x+cos4x=0;
- б) 2sin2x⋅cosx=0;
- в) sinx⋅tg2x=0;
- г) sin3x+sinx=0;
- д) cos2x⋅cosx=sin2x⋅sinx;
- е) cos2x⋅cos3x=cos5x;
- ж) sinx⋅cosx⋅cos2x⋅cos4x⋅cos8x=16
Дар хона
- а) 1+cosx=ctg2x;
- б) 2(x−6)cosx=x−6.
3. Нобаробариро ҳал кунед:
- а) 3x+x2≤0;
- б) y2<10y+24.
4. Велосипедсавор аз деҳа ба шаҳр, ки масофаи байнашон 72 км аст, равон шуд. Баъди 15 дақиқа велосипедсавори дигар аз шаҳр ба пешвози ӯ баромад. Суръати велосипедсавори дуюм аз суръати велосипедсавори якум 2 км/соат зиёд аст. Велосипедсаворон дар миёнаи роҳ ба якдигар дучор шуданд. Суръати ҳаракати ҳар як велосипедсаворро ёбед.
★ Барои ҳавасмандон
5★. sinx+cosx=2sin5x муодиларо ҳал кунед.
Нишондод: sinx+cosx=2sin(x+4π). Ҳарду тарафро квадрат кардан лозим аст — решаҳоро санҷед (sin5x≥0).
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 2–4; аз машқи 1 ҳал нашудаҳо.
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 28. Усули ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан».
- Соати оянда: 29.
Хулоса
- Ҳамаро ба тарафи чап, ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан, ҳар зарбкунандаро ба нул баробар кардан.
- Ба зарбкунандаи эҳтимолан нулшаванда ихтисор намекунем.
- Ҷамъро ба ҳосили зарб табдил додан — тарзи асосии ҷудо кардан ба зарбкунандаҳост.
- Агар tg, ctg ё каср бошад, решаҳоро бо соҳаи имконпазир месанҷем: решаи бегонаро партоям.
Худро санҷед. Ҷавоб диҳед «дуруст» ё «нодуруст»:
- Ҳосили зарб ба нул баробар аст, агар яке аз зарбкунандаҳо нул бошад (ва дигарон маъно дошта бошанд). ✓
- Дар sinxcosx=cosx ихтисор кардан ба cosx бехатар аст. ✗
- Агар cosx=21 решаи зарбкунанда бошад, он ҳамеша ба ҷавоб медарояд. ✗ (бояд бо соҳа санҷид)
- Ҳосили зарбро бо ҷамъи косинусҳо ба ҳосили зарб табдил додан мумкин аст. ✓
Дар ин дарс
- Ман медонам, ки ҳосили зарб ба нул баробар аст, агар ва танҳо агар яке аз зарбкунандаҳо нул бошад (ва ҳамаи онҳо маъно дошта бошанд).
- Ман метавонам тарафи чапи муодиларо ба зарбкунандаҳо ҷудо карда, решаҳоро ҷамъ кунам.
- Ман метавонам решаҳоро бо соҳаи имконпазир санҷам ва решаи бегонаро партоям.
Такрор (2 дақиқа)
- x2−x=0-ро ҳал кунед.
- sin2x-ро бо sinx ва cosx нависед.
- cosα+cosβ-ро ба ҳосили зарб табдил диҳед.
Ҷавобҳо
- x(x−1)=0, x=0 ё x=1. 2) 3)
Вазъият барои андешаронӣДар муодилаи sinxcosx=cosx шуморо ба ихтисор кардан ба cosx ва ҳосил кардани sinx=1 даъват мекунанд. Оё дуруст аст? Қиматҳои x=2π-ро ба муодила гузоред.
ҚоидаҲосили зарб ба нул баробар аст, агар лоақал яке аз зарбкунандаҳо нул бошад, ва ҳамаи дигар зарбкунандаҳо маъно дошта бошанд.
- Ҳамаро ба тарафи чап мегузаронем, ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем (ба қавс баровардан, формулаҳои зарби мухтасар, ҷамъ ба ҳосили зарб).
- Ҳар як зарбкунандаро ба нул баробар карда, муодилаи ҳосилшударо ҳал мекунем.
- Ҳамаи решаҳоро ба як маҷмӯъ ҷамъ мекунем.
- Агар дар муодила tg, ctg ё каср бошад, решаҳоро бо соҳаи имконпазир месанҷем.
Калимаҳои калидӣба зарбкунандаҳо ҷудо карданҳосили зарбба қавс бароварданрешаи бегонасоҳаи имконпазир
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро ихтисор кардан ба ифодаи ба нул баробаршаванда хатост? Кадом мисол нишон дод, ки решаи зарбкунанда «бегона» шуда метавонад?
cosxsinx=cosx муодиларо ба cosx ихтисор карда, sinx=1-ро ҳосил кардан мумкин аст ва ҷавоб дуруст мемонад.
sinx⋅cosx=0 муодиларо ҳал кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед cosx+cos3x=0 муодилаи ҷамъро ба ҳосили зарб табдил диҳем. Қадами аввал чист?
Як ҷавобро интихоб кунед Қадамҳои ҳалли 2cosx⋅ctg3x=ctg3x-ро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед1Ҳамаро ба як тараф мегузаронем ва ctg3x-ро ба қавс мебарорем:
2Ҳар як муодиларо ҳал мекунем
3
4
1
sin
2
x
.
sin
2
x
=
2sinxcosx.
2cos2α+βcos2α−β.
π
+
2πn
x=±2π+2πn ва x=2πn
x=2πn
2
x
cos
x
=
0
2cos2xsinx=0
cos4x=0
ctg3x(2cosx−
1)=
0
Ҳар як зарбкунандаро ба нул баробар мекунем: ctg3x=0 ва cosx=21
Решаҳоро бо соҳаи имконпазир (3x=πk) месанҷем ва ҷавобро менависем