26. Муодилаҳои тригонометрии аргументашон якхела - Алгебра — синфи 10
Муодилаҳои тригонометрии нисбатан мураккабро дида мебароем. Аввалин намуд: муодилаҳои аргументашон якхела — муодилаҳое, ки як функсияи тригонометрии як аргументро дар бар мегиранд. Ба ибораи дигар, номаълуми x x x
Мисоли 1. 2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0
Ҳал. Бигузор sin x = u , \sin x = u,
навбатӣ 27 · 1/2. Усули ба як функсия овардан: айниятҳои асосӣ 1 соат
sin x = u ,
2 u 2 − 3 u + 1 = 0 , u 1,2 = 3 ± 9 − 8 4 = 3 ± 1 4 , u 1 = 1 , u 2 = 1 2 . 2u^2 - 3u + 1 = 0,\qquad u_{1{,}2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4},\qquad u_1 = 1,\quad u_2 = \frac{1}{2}. 2 u 2 − 3 u + 1 = 0 , u 1 , 2 = 4 3 ± 9 − 8 = 4 3 ± 1 , u 1 = 1 , u 2 = 2 1 . sin x = 1 2 . \sin x = \dfrac{1}{2}. sin x = 2 1 . sin x = 1 , x = π 2 + 2 π n ; sin x = 1 2 , x = ( − 1 ) n π 6 + π n , n ∈ Z . \sin x = 1,\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\qquad \sin x = \frac{1}{2},\ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}. sin x = 1 , x = 2 π + 2 πn ; sin x = 2 1 , x = ( − 1 ) n 6 π + πn , n ∈ Z . Мисоли 2. cos 2 x + 2 cos x − 3 = 0 \cos^2 x + 2\cos x - 3 = 0 cos 2 x + 2 cos x − 3 = 0
Ҳал. Бигузор cos x = u , \cos x = u, cos x = u , ∣ u ∣ ≤ 1. |u| \le 1. ∣ u ∣ ≤ 1. u 2 + 2 u − 3 = 0 , u 1,2 = − 1 ± 1 + 3 = − 1 ± 2 , u 1 = 1 , u 2 = − 3. u^2 + 2u - 3 = 0,\qquad u_{1{,}2} = -1 \pm \sqrt{1 + 3} = -1 \pm 2,\qquad u_1 = 1,\quad u_2 = -3. u 2 + 2 u − 3 = 0 , u 1 , 2 = − 1 ± 1 + 3 = − 1 ± 2 , u 1 = 1 , u 2 = − 3. cos x = − 3 \cos x = -3 cos x = − 3 ∣ − 3 ∣ = 3 > 1. |-3| = 3 > 1. ∣ − 3∣ = 3 > 1. cos x = 1 \cos x = 1 cos x = 1 x = 2 π n , x = 2\pi n, x = 2 πn , n ∈ Z . n \in \mathbb{Z}. n ∈ Z .
Мисоли 3. tg 2 x − 4 tg x + 3 = 0 \operatorname{tg}^2 x - 4\operatorname{tg} x + 3 = 0 tg 2 x − 4 tg x + 3 = 0
Ҳал. Бигузор tg x = u . \operatorname{tg} x = u. tg x = u . u 2 − 4 u + 3 = 0 , u^2 - 4u + 3 = 0, u 2 − 4 u + 3 = 0 , u 1,2 = 2 ± 4 − 3 = 2 ± 1 , u_{1{,}2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1, u 1 , 2 = 2 ± 4 − 3 = 2 ± 1 , u 1 = 1 , u_1 = 1, u 1 = 1 , u 2 = 3. u_2 = 3. u 2 = 3. tg x = 1 , x = π 4 + π n ; tg x = 3 , x = arctg 3 + π n , n ∈ Z . \operatorname{tg} x = 1,\ x = \frac{\pi}{4} + \pi n;\qquad \operatorname{tg} x = 3,\ x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}. tg x = 1 , x = 4 π +
Мисоли 4. 3 ctg 2 x − 5 ctg x − 2 = 0 3\operatorname{ctg}^2 x - 5\operatorname{ctg} x - 2 = 0 3 ctg 2 x − 5 ctg x − 2 = 0
Ҳал. Бигузор ctg x = u . \operatorname{ctg} x = u. ctg x = u . 3 u 2 − 5 u − 2 = 0 , 3u^2 - 5u - 2 = 0, 3 u 2 − 5 u − 2 = 0 , u 1,2 = 5 ± 25 + 24 6 = 5 ± 7 6 , u 1 = − 1 3 , u 2 = 2. u_{1{,}2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6},\qquad u_1 = -\frac{1}{3},\quad u_2 = 2. u 1 , 2 = 6 5 ± 25 + 24 ctg x = − 1 3 , x = arcctg ( − 1 3 ) + π n = π − arcctg 1 3 + π n ; ctg x = 2 , x = arcctg 2 + π n , n ∈ Z . \operatorname{ctg} x = -\frac{1}{3},\ x = \operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n = \pi - \operatorname{arcctg}\frac{1}{3} + \pi n;\qquad \operatorname{ctg} x = 2,\ x = \operatorname{arcctg} 2 + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}. ctg x = − 3 1 ,
Дар хотир доред: тарзи дигари навиштан ҳам дуруст аст, агар қатор ҳамон ададҳоро диҳад. Барои санҷиш якчанд қиматро ба муодилаи аввала гузоред.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
а) 2 cos 2 x − 7 cos x + 3 = 0 ; 2\cos^2 x - 7\cos x + 3 = 0; 2 cos 2 x − 7 cos x + 3 = 0 ;
б) sin 2 x − sin x = 0 ; \sin^2 x - \sin x = 0; sin 2 x − sin x = 0 ;
в) sin 2 x − 2 sin x = 0 ; \sin^2 x - 2\sin x = 0; sin 2 x − 2 sin x = 0 ;
г) tg 2 x − 2 tg x − 3 = 0 ; \operatorname{tg}^2 x - 2\operatorname{tg} x - 3 = 0; tg 2 x − 2 tg x − 3 = 0 ;
д) tg 4 x − tg 2 x − 12 = 0 ; \operatorname{tg}^4 x - \operatorname{tg}^2 x - 12 = 0; tg 4 x − tg 2 x − 12 = 0 ;
е) 4 sin 2 x + cos x − 3 1 2 = 0. 4\sin^2 x + \cos x - 3\dfrac{1}{2} = 0. 4 sin 2 x + cos x − 3 2 1 = 0.
а) 3 sin 2 ( 2 x ) + 7 cos 2 x − 3 = 0 ; 3\sin^2(2x) + 7\cos 2x - 3 = 0; 3 sin 2 ( 2 x ) + 7 cos 2 x − 3 = 0 ;
б) sin 2 x − cos 2 x + 2 sin x + 1 = 0. \sin^2 x - \cos^2 x + 2\sin x + 1 = 0. sin 2 x − cos 2 x + 2 sin x + 1 = 0.
Дар хона 3. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
а) { 2 x y − y = 7 , x − 5 y = 2 ; \begin{cases} 2xy - y = 7, \\ x - 5y = 2; \end{cases} { 2 x y − y = 7 , x − 5 y = 2 ;
б) { x 2 + 2 y = 18 , 3 x = 2 y . \begin{cases} x^2 + 2y = 18, \\ 3x = 2y. \end{cases} { x 2 + 2 y = 18 , 3 x = 2 y .
4. Қимати ифодаҳоро ёбед:
а) 5 sin π 2 + 4 cos 0 − 3 sin 3 π 2 + cos π ; 5\sin\dfrac{\pi}{2} + 4\cos 0 - 3\sin\dfrac{3\pi}{2} + \cos\pi; 5 sin 2 π + 4 cos 0 − 3 sin 2 3 π + cos π ;
б) sin ( − π ) − cos ( − 3 π 2 ) + 2 sin π − tg π . \sin(-\pi) - \cos\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right) + 2\sin\pi - \operatorname{tg}\pi. sin ( − π ) − cos ( − 2 3 π ) + 2 sin π −
5. Пайдарпайии ( a n ) (a_n) ( a n ) a n = 4 n − 1 a_n = 4n - 1 a n = 4 n − 1 91 ; 91; 91 ; 399 399 399
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 3–5; дар синф ҳал нашудаҳоро аз машқҳои 1 ва 2.
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 26. Муодилаҳои тригонометрии аргументашон якхела».
Соати оянда: 27 · 1/2 .
Хулоса
Муодилаи як функсияи як аргумент: f ( x ) = u f(x) = u f ( x ) = u u u u
Ҳар як u k u_k u k f ( x ) = u k f(x) = u_k f ( x ) = u k
Барои sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x ∣ u ∣ > 1 |u| > 1 ∣ u ∣ > 1 tg x \operatorname{tg} x tg x ctg x \operatorname{ctg} x ctg x
Ҳолатҳои махсус (sin x = 1 , \sin x = 1, sin x = 1 , cos x = 1 \cos x = 1 cos x = 1
Худро санҷед. Ҷавоб диҳед «дуруст» ё «нодуруст»:
Муодилаи cos x = − 3 \cos x = -3 cos x = − 3
Барои tg x = u \operatorname{tg} x = u tg x = u ∣ u ∣ > 1 |u| > 1 ∣ u ∣ > 1
Решаҳои u 1 , u_1, u 1 , u 2 u_2 u 2 u k u_k u k
Баъди ёфтани u u u x x x
Дар ин дарс
Ман медонам , кадом муодилаҳоро «муодилаҳои аргументашон якхела» меноманд.Ман метавонам муодилаи тригонометриро бо гузориши u = f ( x ) u = f(x) u = f ( x ) Ман метавонам решаи ∣ u ∣ > 1 |u| > 1 ∣ u ∣ > 1 Такрор (2 дақиқа)
2 u 2 − 3 u + 1 = 0 2u^2 - 3u + 1 = 0 2 u 2 − 3 u + 1 = 0 sin x = 1 2 \sin x = \dfrac{1}{2} sin x = 2 1 cos x = − 3 \cos x = -3 cos x = − 3 tg x = a \operatorname{tg} x = a tg x = a Ҷавобҳо
u 1 = 1 , u_1 = 1, u 1 = 1 , u 2 = 1 2 . u_2 = \dfrac{1}{2}. u 2 = 2 Вазъият барои андешаронӣ Дар муодилаи 2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0 sin x \sin x sin x sin x \sin x sin x u u u u u u 1 1 1
Қоида
Функсияро бо ҳарфи нав ишора мекунем: sin x = u , \sin x = u, sin x = u , cos x = u , \cos x = u, cos x = u , tg x = u \operatorname{tg} x = u tg x = u ctg x = u . \operatorname{ctg} x = u. ctg x = u .
Муодилаи алгебравӣ (одатан квадратӣ) нисбат ба u u u
Ҳар як решаи u k u_k u k f ( x ) = u k f(x) = u_k f ( x ) = u k
Барои синус ва косинус решаи ∣ u ∣ > 1 |u| > 1 ∣ u ∣ > 1 ∣ sin x ∣ ≤ 1 , |\sin x| \le 1, ∣ sin x ∣ ≤ 1 , ∣ cos x ∣ ≤ 1. |\cos x| \le 1. ∣ cos x ∣ ≤ 1. u u
Калимаҳои калидӣ тағйирёбандаи нав гузориш муодилаи квадратӣ решаи бегона ҳалли умумӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро барои синус ва косинус баъзан решаи муодилаи квадратӣ партофта мешавад, барои тангенс ва котангенс не? Бо кадом ҷумла ҳамаи қадамҳои ҳалро нақл мекунед?
Муодилаи sin 2 x − sin x − 2 = 0 \sin^2 x - \sin x - 2 = 0 sin 2 x − sin x − 2 = 0
u = cos x u = \cos x u = cos x 2 cos 2 x + cos x − 3 = 0 2\cos^2 x + \cos x - 3 = 0 2 cos 2 x + cos x − 3 = 0 2 u 2 + u − 3 = 0
Як ҷавобро интихоб кунед A B C Ҳарду реша мемонанд D Ҳарду реша партофта мешаванд
tg 2 x = 3 \operatorname{tg}^2 x = 3 tg 2 x = 3
Як ҷавобро интихоб кунед A x = ± π 3 + π n , x = \pm\dfrac{\pi}{3} + \pi n, x = ± 3 π +
B C D Қадамҳои ҳалли tg 2 x − 2 tg x − 3 = 0 \operatorname{tg}^2 x - 2\operatorname{tg} x - 3 = 0 tg 2 x − 2 tg x − 3 = 0
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Гузориш: tg x = u \operatorname{tg} x = u tg x = u
2
3
4
πn
;
tg
x
=
3 , x =
arctg 3 +
πn , n ∈
Z .
=
6 5 ± 7 , u 1 =
− 3 1 , u 2 =
2.
x
=
arcctg ( − 3 1 ) +
πn =
π −
arcctg 3 1 +
πn ; ctg x =
2 , x =
arcctg 2 +
πn , n ∈
Z .
tg π .
1
.
x = ( − 1 ) n π 6 + π n ; x = (-1)^n \dfrac{\pi}{6} + \pi n; x = ( − 1 ) n 6 π + πn ; ∣ cos x ∣ ≤ 1. |\cos x| \le 1. ∣ cos x ∣ ≤ 1. x = arctg a + π n , x = \operatorname{arctg} a + \pi n, x = arctg a + πn , n ∈ Z . n \in \mathbb{Z}. n ∈ Z . u
2u^2 + u - 3 = 0 2 u 2 + u − 3 = 0
u = − 3 2 u = -\dfrac{3}{2} u = − 2 3
πn ,
x = π 3 + π n , x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n, x = 3 π + πn , n ∈ Z n \in \mathbb{Z} n ∈ Z
x = ± π 3 + 2 π n , x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, x = ± 3 π + 2 πn , n ∈ Z n \in \mathbb{Z} n ∈ Z
x = ± π 6 + π n , x = \pm\dfrac{\pi}{6} + \pi n, x = ± 6 π + πn , n ∈ Z n \in \mathbb{Z} n ∈ Z
u 2 − 2 u − 3 = 0 u^2 - 2u - 3 = 0 u 2 − 2 u − 3 = 0 Ҳар як муодилаи одитаринро ҳал мекунем: x = arctg 3 + π n , x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n, x = arctg 3 + πn , x = − π 4 + π n x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n x = − 4 π + πn
Бозгашт: tg x = 3 \operatorname{tg} x = 3 tg x = 3 tg x = − 1 \operatorname{tg} x = -1 tg x = − 1
Ҳал: u 1 = 3 , u_1 = 3, u 1 = 3 , u 2 = − 1 u_2 = -1 u 2 = − 1