22.1. Арксинус - Алгебра — синфи 10
Теоремаи реша
Исбот. Функсияи афзуншавандаро мегирем (барои камшаванда исбот айнан ҳамин тавр аст). Аз шарти теорема дар I I I b b b f ( b ) = a . f(b) = a. f ( b ) = a . b b b
Фарз мекунем, ки дар I I I c ≠ b c \ne b
навбатӣ 22.2. Арккосинус 1 соат
c =
b
f ( c ) < f ( b ) , f(c) < f(b), f ( c ) < f ( b ) , f ( c ) > f ( b ) . f(c) > f(b). f ( c ) > f ( b ) . f ( c ) = f ( b ) = a f(c) = f(b) = a f ( c ) = f ( b ) = a Мисоли 1. Муодилаи x 3 + 2 x = 3 x^3 + 2x = 3 x 3 + 2 x = 3
Ҳал. Функсияи f ( x ) = x 3 + 2 x f(x) = x^3 + 2x f ( x ) = x 3 + 2 x x = 1 x = 1 x = 1 (1 + 2 = 3 1 + 2 = 3 1 + 2 = 3 Ин реша ягона аст.
Арксинус Синус дар порчаи [ − π 2 ; π 2 ] \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right] [ − 2 π ; 2 π ] − 1 -1 − 1 1 1 1 [ − 1 ; 1 ] [-1;\ 1] [ − 1 ; 1 ] a , a, a , ∣ a ∣ ≤ 1 , |a| \le 1, ∣ a ∣ ≤ 1 , расо як адади b b b sin b = a \sin b = a sin b = a
Калимаи «arc» аз лотинии arcus — «камон» аст: arcsin a \arcsin a arcsin a ( 1 ; 0 ) (1;\ 0) ( 1 ; 0 ) a a a − π 2 -\dfrac{\pi}{2} − 2 π π 2 \dfrac{\pi}{2} 2 π
Функсияи y = arcsin x y = \arcsin x y = arcsin x y = sin x y = \sin x y = sin x x ∈ [ − π 2 ; π 2 ] x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right] x ∈ [ − 2 π ; 2 π ] чаппа аст — ҳамон тавре ки y = x y = \sqrt{x} y = x y = x 2 y = x^2 y = x 2 (x ≥ 0 x \ge 0 x ≥ 0 чаппа аст: яке коре, ки дигаре кардааст, бозмегардонад.
Мисоли 2. arcsin 2 2 \arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2} arcsin 2 2
Ҳал. arcsin 2 2 = π 4 , \arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\pi}{4}, arcsin 2 2 = 4 π , sin π 4 = 2 2 \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} sin 4 π = 2 2 π 4 ∈ [ − π 2 ; π 2 ] . \dfrac{\pi}{4} \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]. 4 π ∈ [ − 2 π ;
Мисоли 3. arcsin 1 2 \arcsin\dfrac{1}{2} arcsin 2 1
Ҳал. Адади порчаи [ − π 2 ; π 2 ] , \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right], [ − 2 π ; 2 π ] , 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 π 6 \dfrac{\pi}{6} 6 π arcsin 1 2 = π 6 . \arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}. arcsin 2 1 = 6 π .
Се айният Хосияти 1 аз таъриф бармеояд: arcsin a \arcsin a arcsin a x x x sin x = a . \sin x = a. sin x = a .
Хосияти 2. Агар sin x = a \sin x = a sin x = a arcsin ( sin x ) \arcsin(\sin x) arcsin ( sin x ) x x x x x x x ∉ [ − π 2 ; π 2 ] . x \notin \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]. x ∈ / [ − 2 π ; 2 π ] . arcsin ( sin 5 π 6 ) = arcsin 1 2 = π 6 , \arcsin\left(\sin\dfrac{5\pi}{6}\right) = \arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}, arcsin ( sin 6 5 π ) = arcsin 2 1 5 π 6 . \dfrac{5\pi}{6}. 6 5 π . x = y + 2 π n x = y + 2\pi n x = y + 2 πn y ∈ [ − π 2 ; π 2 ] , y \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right], y ∈ [ − 2 π ; 2 π ] , arcsin ( sin x ) = y = x − 2 π n . \arcsin(\sin x) = y = x - 2\pi n. arcsin ( sin x ) = y = x − 2 πn .
Хосияти 3. Исбот. Синусҳои ду тараф баробаранд:
sin ( arcsin ( − a ) ) = − a , sin ( − arcsin a ) = − sin ( arcsin a ) = − a . \begin{aligned} \sin(\arcsin(-a)) &= -a, \\ \sin(-\arcsin a) &= -\sin(\arcsin a) = -a. \end{aligned} sin ( arcsin ( − a )) sin ( − arcsin a ) = − a , = − sin ( arcsin a ) = − a . [ − π 2 ; π 2 ] \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right] [ − 2 π ; 2 π ] arcsin ( − a ) \arcsin(-a) arcsin ( − a ) − arcsin a -\arcsin a − arcsin a arcsin a \arcsin a arcsin a 0 0 0 ■ \blacksquare ■
Мисоли 4. arcsin ( − 1 2 ) = − arcsin 1 2 = − π 6 . \arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\arcsin\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\pi}{6}. arcsin ( − 2 1 ) = − arcsin 2 1 = − 6 π .
Худатон санҷед: a a a
Арксинус дар давра санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
а) arcsin ( − 2 3 ) ; \arcsin\left(-\dfrac{2}{3}\right); arcsin ( − 3 2 ) ;
б) arcsin 1,5 ; \arcsin 1{,}5; arcsin 1 , 5 ;
в) arcsin ( 3 − 20 ) ; \arcsin\left(3 - \sqrt{20}\right); arcsin ( 3 − 20 ) ;
г) arcsin 2 7 . \arcsin\dfrac{2}{7}. arcsin 7 2 .
а) arcsin 0 ; \arcsin 0; arcsin 0 ;
б) arcsin ( − 3 2 ) ; \arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right); arcsin ( − 2 3 ) ;
в) arcsin 1 ; \arcsin 1; arcsin 1 ;
г) arcsin ( − 2 2 ) ; \arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right); arcsin ( − 2 2 ) ;
ғ) arcsin 1 2 ; \arcsin\dfrac{1}{2}; arcsin 2 1 ;
д) arcsin 1 2 ; \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{2}}; arcsin 2 1 ;
е) arcsin ( − 1 ) ; \arcsin(-1); arcsin ( − 1 ) ;
ё) arcsin 2 ; \arcsin 2; arcsin 2 ;
ж) arcsin π 2 ; \arcsin\dfrac{\pi}{2}; arcsin 2 π ;
з) sin ( arcsin 1 2 ) ; \sin\left(\arcsin\dfrac{1}{2}\right); sin ( arcsin 2 1 ) ;
и) sin ( arcsin 5 13 + arcsin 12 13 ) ; \sin\left(\arcsin\dfrac{5}{13} + \arcsin\dfrac{12}{13}\right); sin ( arcsin 13 5 + arcsin 13 12 ) ;
к) arcsin 3 2 . \arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2}. arcsin 2 3 .
Дар хона
а) sin ( arcsin 1 4 ) ; \sin\left(\arcsin\dfrac{1}{4}\right); sin ( arcsin 4 1 ) ;
б) arcsin ( sin π 7 ) ; \arcsin\left(\sin\dfrac{\pi}{7}\right); arcsin ( sin 7 π ) ;
в) arcsin ( sin 5 π 4 ) ; \arcsin\left(\sin\dfrac{5\pi}{4}\right); arcsin ( sin 4 5 π ) ;
г) arcsin ( sin x ) , \arcsin(\sin x), arcsin ( sin x ) , x ∈ [ π 2 ; π ] x \in \left[\dfrac{\pi}{2};\ \pi\right] x ∈ [ 2 π ; π ]
а) 22 ⋅ 8 33 15 : 5 8 : 2 1 3 : 3 1 2 3 1 8 ⋅ 1 3 5 ; \dfrac{22 \cdot \frac{8}{33}}{15 : \frac{5}{8}} : \dfrac{2\frac{1}{3} : 3\frac{1}{2}}{3\frac{1}{8} \cdot 1\frac{3}{5}}; 15 : 8 5 22 ⋅ 33 8 : 3 8 1 ⋅ 1 5 3 2 3
б) 1 : 1 1 15 3 1 8 : 6 2 3 : 4 7 8 : 13 5 : 1 7 8 . \dfrac{1 : 1\frac{1}{15}}{3\frac{1}{8} : 6\frac{2}{3}} : \dfrac{4\frac{7}{8} : 13}{5 : 1\frac{7}{8}}. 3 8 1 : 6 3
а) 7 1 2 ⋅ 1 2 ⋅ x = 22 1 2 ; 7\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x = 22\dfrac{1}{2}; 7 2 1 ⋅ 2 1 ⋅ x = 22 2 1 ;
б) 2 3 ⋅ x ⋅ 1 3 = 8. \dfrac{2}{3} \cdot x \cdot \dfrac{1}{3} = 8. 3 2 ⋅ x ⋅ 3 1 = 8.
6. Дар мактаб 880 880 880 75 % 75\% 75% 55 % 55\% 55%
а) sin 41 6 π ; \sin\dfrac{41}{6}\pi; sin 6 41 π ;
б) cos 82 3 π ; \cos\dfrac{82}{3}\pi; cos 3 82 π ;
в) tg 5 π 8 . \operatorname{tg}\dfrac{5\pi}{8}. tg 8 5 π .
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 3–7 ва қисми иҷронашудаи машқҳои «Дар синф».
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 22.1. Арксинус».
Хулоса
Теорема: функсияи монотонӣ ҳар як қимати худро дар фосилаи монотонӣ дар як нуқта қабул мекунад.
arcsin a = b ⟺ sin b = a , \arcsin a = b \iff \sin b = a, arcsin a = b ⟺ sin b = a , b ∈ [ − π 2 ; π 2 ] ; b \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]; b ∈ [ − 2 π ; 2 π ] ; ∣ a ∣ ≤ 1. |a| \le 1. ∣ a ∣ ≤ 1. sin ( arcsin a ) = a ; \sin(\arcsin a) = a; sin ( arcsin a ) = a ; arcsin ( sin x ) = x \arcsin(\sin x) = x arcsin ( sin x ) = x [ − π 2 ; π 2 ] ; \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]; [ − Дар ин дарс
Ман медонам теоремаи реша: функсияи монотонӣ ҳар як қимати худро дар як нуқта қабул мекунад.Ман медонам таърифи арксинус: arcsin a \arcsin a arcsin a [ − π 2 ; π 2 ] , \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right], [ − 2 π ; 2 π ] , a a a Ман метавонам арксинусро ҳисоб кунам ва се айниятро истифода барам. Такрор (2 дақиқа)
sin π 6 , \sin\dfrac{\pi}{6}, sin 6 π , sin π 4 , \sin\dfrac{\pi}{4}, sin 4 π , sin π 3 \sin\dfrac{\pi}{3} sin 3 π Дар кадом порча синус аз − 1 -1 − 1 1 1 1
Функсияи y = x 2 y = x^2 y = x 2 x ≥ 0 x \ge 0 x ≥ 0
Ҷавобҳо
1 2 ; \dfrac{1}{2}; 2 1 ; 2 2 ; \dfrac{\sqrt{2}}{2}; 2 2 Вазъият барои андешаронӣ Барои sin x = 1 2 \sin x = \dfrac{1}{2} sin x = 2 1 x = π 6 x = \dfrac{\pi}{6} x = 6 π sin x = 0,3 \sin x = 0{,}3 sin x = 0 , 3
Теорема Агар f f f I I I a a a f f f f ( x ) = a f(x) = a f ( x ) = a I I I решаи ягона дорад.
Таъриф Арксинуси адади a a a ∣ a ∣ ≤ 1 |a| \le 1 ∣ a ∣ ≤ 1 b b b [ − π 2 ; π 2 ] \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right] [ − 2
Расми 1. Чап: ҳалли sin x = a дар [−π/2; π/2] — нуқтаи b. Рост: ҳамон b ҳамчун камони давраи воҳидӣ; камони асосӣ ғафс нишон дода шудааст. Хосиятҳо
sin ( arcsin a ) = a \sin(\arcsin a) = a sin ( arcsin a ) = a ∣ a ∣ ≤ 1. |a| \le 1. ∣ a ∣ ≤ 1. arcsin ( sin x ) = x \arcsin(\sin x) = x arcsin ( sin x ) = x Калимаҳои калидӣ арксинус функсияи чаппа камони асосӣ реша монотонӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Ман метавонам:
✓ / ✗ бигӯям, чаро arcsin a \arcsin a arcsin a ∣ a ∣ ≤ 1 |a| \le 1 ∣ a ∣ ≤ 1
✓ / ✗ arcsin \arcsin arcsin
✓ / ✗ фарқ кунам, ки кай arcsin ( sin x ) = x \arcsin(\sin x) = x
arcsin 2 \arcsin 2 arcsin 2
arcsin ( − 3 2 ) \arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) arcsin ( − 2 3 )
Як ҷавобро интихоб кунед A −
B C D arcsin ( sin 5 π 6 ) \arcsin\left(\sin\dfrac{5\pi}{6}\right) arcsin ( sin 6 5 π )
Як ҷавобро интихоб кунед A π 3 \dfrac{\pi}{3} 3 π
B C D Кадом ифодаҳо маъно доранд?
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A arcsin ( − 0,7 ) \arcsin(-0{,}7) arcsin ( − 0 , 7 )
B arcsin π 4 \arcsin\dfrac{\pi}{4} arcsin 4 π
C arcsin ( 5 − 1 ) \arcsin(\sqrt{5} - 1) arcsin ( 5
D
2
π
]
.
=
6 π ,
1
:
3
2 1
;
2
1 : 1 15 1
:
5 : 1 8 7 4 8 7 : 13 .
2 π
;
2 π
]
;
arcsin ( − a ) = − arcsin a . \arcsin(-a) = -\arcsin a. arcsin ( − a ) = − arcsin a .
;
3 2 . \dfrac{\sqrt{3}}{2}. 2 3 . [ − π 2 ; π 2 ] . \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]. [ − 2 π ; 2 π ] .
π
;
2 π
]
sin b = a . \sin b = a. sin b = a . b = arcsin a . b = \arcsin a. b = arcsin a . arcsin a = b ⟺ sin b = a ва − π 2 ≤ b ≤ π 2 . \arcsin a = b \iff \sin b = a \ \text{ ва } \ -\frac{\pi}{2} \le b \le \frac{\pi}{2}. arcsin a = b ⟺ sin b = a ва − 2 π ≤ b ≤ 2 π . Ҳангоми ∣ a ∣ > 1 |a| > 1 ∣ a ∣ > 1 arcsin a \arcsin a arcsin a
x ∈ [ − π 2 ; π 2 ] . x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]. x ∈ [ − 2 π ; 2 π ] .
arcsin ( − a ) = − arcsin a \arcsin(-a) = -\arcsin a arcsin ( − a ) = − arcsin a ∣ a ∣ ≤ 1. |a| \le 1. ∣ a ∣ ≤ 1. arcsin ( sin x ) =
x
π 6 -\dfrac{\pi}{6} − 6 π
−
1 )
arcsin π 3 \arcsin\dfrac{\pi}{3} arcsin 3 π
