7.1. Квадрат ва куби адад. Дараҷаи n-уми адад - Алгебра — синфи 7
Квадрат ва куби адад
Ҳосили зарби якчанд адади баробарро дараҷа меноманд. Адади такроршаванда асоси дараҷа ва шумораи зарбшавандаҳо нишондиҳандаи дараҷа номида мешавад.
Мисоли 1.
22=2⋅2=4;(−3)2=
навбатӣ7.2. Зарб ва тақсими дараҷаҳо
1 соат
(−3)(−3)=
9;
(0,5)2=0,5⋅0,5=0,25;02=0⋅0=0. Аз ин баробариҳо мебинем: квадрати ҳар адад ғайриманфӣ аст. Барои адади мусбат ин аён аст. Квадрати адади манфӣ ҳосили зарби ду адади манфии баробар аст, пас мусбат мешавад. Ҳамин тавр, барои ҳар адади a нобаробарии a2≥0 дуруст аст.
53=5⋅5⋅5=125;(−4)3=(−4)(−4)(−4)=−64; (0,3)3=0,3⋅0,3⋅0,3=0,027;03=0. Куби адади мусбат мусбат, куби адади манфӣ манфӣ аст: барои a>0 дуруст аст a3>0, барои a<0 дуруст аст a3<0.
Ҳамин тавр дараҷаи натуралии адади дилхоҳ муайян мешавад.
Адади a — асос, адади n — нишондиҳандаи дараҷа. Навишти an-ро «a дар дараҷаи n» ё «дараҷаи n-уми адади a» мехонанд. Квадрат ва куб ҳолатҳои хоси ин таъриф мебошанд: a2 ва a3. Қимати дараҷаро ёфтанро ба дараҷа бардоштан меноманд.
24=2⋅2⋅2⋅2=16;33=3⋅3⋅3=27; (−5)2=(−5)(−5)=25;(−6)3=(−6)(−6)(−6)=−216. Ҳангоми ба дараҷа бардоштани адади манфӣ гоҳ адади мусбат, гоҳ манфӣ ҳосил мешавад:
(−2)1=−2;(−2)2=4;(−2)3=−8;(−2)4=16. Сабаб: ҳосили зарби шумораи ҷуфти ададҳои манфӣ мусбат, шумораи тоқи онҳо манфӣ аст. Масалан,
(−5)3=(−5)(−5)(−5)=−125;(−3)5=−243. Адади 1 бо ҳар нишондиҳанда ба 1 баробар аст ва адади 0 бо ҳар нишондиҳандаи натуралӣ ба 0 баробар аст:
1n=1⋅1⋯1=1;0n=0⋅0⋯0=0. Мисоли 4. Қимати ифодаи 3⋅63−4⋅(−2)4-ро ҳисоб мекунем. Аввал дараҷаҳо, баъд зарб, дар охир тарҳ:
- 63=6⋅6⋅6=216;
- 3⋅216=648;
- (−2)4=16;
- 4⋅16=64.
Пас, 3⋅63−4⋅(−2)4=648−64=584.
Худатон санҷед: квадрат ва кубро бо катакҳо ва кубчаҳо бинед.
Квадрат ва кубсанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Асос ва нишондиҳандаи дараҷаро муайян кунед:
- а) 2,53;
- б) (−2,3)3;
- в) 672;
- г) (−80)3;
- д) (−a)7;
- е) (−b)3.
2. Ҷадвали квадратҳои ададҳои бутунро аз −5 то 10 тартиб диҳед.
3. Ҷадвали кубҳои ададҳои бутунро аз −5 то 10 тартиб диҳед.
5. Ададҳоро дар шакли квадрати ягон адад нависед: 64; 81; 0,81; 0,64; 2516; 22549; 1169.
6. Дараҷаҳоро дар шакли квадрати ягон адад нависед: 24; 26; 34; 36; 41; 43; 54; 04; (121)4.
7. Ададҳоро дар шакли куби ягон адад нависед: 27; 64; 125; −27; −216; −641; 1.
8. Ҳосили зарбро ҳамчун дараҷа нависед:
- а) (−9)(−9)(−9);
- б) 32⋅32⋅32⋅32;
- в) (−51)(−51
9. Ҳосили зарбро ҳамчун дараҷа нависед:
- а) 0,2⋅0,2⋅0,2;
- б) (−7)⋅(−7)⋅(−7)⋅(−7);
- в) 21⋅21⋅
- г) (a+b)(a+b)(a+b).
10. Ҳосили зарбро ҳамчун дараҷа нависед:
- а) a⋅a2;
- б) b3⋅b;
- в) d2⋅d3⋅d;
- г) c⋅c2⋅c3;
- д) x⋅x2⋅x2;
- е) y⋅y3⋅y3.
- а) (−0,9)2;
- б) −(0,9)2;
- в) (−0,8)3;
- г) −(−0,8)3.
- а) 5⋅23;
- б) 3⋅42;
- в) 5⋅34;
- г) (−3)⋅25;
- д) 6⋅53;
- е) (−6)⋅(−6)3.
13. Қимати ифодаҳоро барои x=−3; 0; 3 ёбед:
- а) x2; −x2; (−x)2;
- б) x3; −x2; (−x)2.
- а) 24+3−32;
- б) 34+6⋅32;
- в) 83−32−16;
- г) 64−33−22.
- а) 24+52(1−52);
- б) 32−51(221
- а) 2x2=0;
- б) −4x3=0.
Дар хона
17. Ҳосили зарбро ҳамчун дараҷаи асосаш 2 нависед:
- а) 4⋅8⋅16;
- б) 8⋅16⋅32;
- в) 16⋅32⋅64;
- г) 64⋅128.
- а) 23+33;
- б) 34+102;
- в) 83+72;
- г) 102−26;
- ғ) 2⋅34−3⋅24;
- д) 2⋅35+5⋅32;
- е) (131)2−(4
- ё) 45⋅0,42−(−1)2.
19. Қимати ифодаро барои x=−1; 1; 2 ҳисоб кунед:
- а) x3+x2+1;
- б) x3−x2+1.
- а) 64⋅(241)3;
- б) (−9)⋅(32)3⋅3;
- в) (365)2⋅52972
- а) 63(24+32−4)⋅3;
- б) 37⋅91(43−33)⋅3⋅(43+33)⋅
22. Такрор. Муодиларо ҳал кунед:
- а) 3⋅(6−2x)=2x−5;
- б) 5(7−x)=3x−(x−1).
23. Дар як халта 80 кг, дар халтаи дигар 60 кг шакар буд. Аз халтаи якум назар ба халтаи дуюм 3 маротиба кам шакар гирифтанд. Дар натиҷа миқдори шакари дар халтаи якум боқимонда аз миқдори шакари дар халтаи дуюм боқимонда 2 маротиба зиёд шуд. Аз ҳар халта чӣ миқдор шакар гирифта шудааст?
24. Рақами даҳиҳои адади дурақама аз рақами воҳидҳояш 3 маротиба калон аст. Агар ҷойҳои рақамҳои адад иваз карда шаванд, адади ҳосилшуда аз адади додашуда 36 воҳид хурд мешавад. Ин ададро ёбед.
- а) 353⋅191−7361:192;
- б) (121+232−3
★ Барои ҳавасмандон
26★. Дар секунҷа ду кунҷ ҳамчун 4:5 нисбат доранд. Агар кунҷи сеюм ба суммаи онҳо баробар бошад, бузургии ҳар се кунҷро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 17–25 (ва ба ихтиёр 26★).
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 7.1 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Дараҷа — ҳосили зарби якчанд адади баробар: an=a⋅a⋯a (n зарбшаванда), a1=a. a — асос, n — нишондиҳанда.
- a2 — квадрат, a3 — куб. Квадрат ҳеҷ гоҳ манфӣ нест: a2≥0.
- Дараҷаи ҷуфти адади манфӣ мусбат, дараҷаи тоқ манфӣ аст.
- 1n=1, 0n=0. Фарқ: (−3) вале
- Дар ифода аввал дараҷаҳоро ҳисоб мекунанд, баъд зарб ва тақсим, дар охир ҷамъ ва тарҳ.
Дар ин дарс
- Ман метавонам ҳосили зарби якчанд адади баробарро ҳамчун дараҷа нависам ва асос ва нишондиҳандаро нишон диҳам.
- Ман метавонам қимати дараҷаро ҳисоб кунам, аз ҷумла дараҷаи адади манфӣ.
- Ман мефаҳмам, ки аломати дараҷа аз ҷуфт ё тоқ будани нишондиҳанда вобаста аст.
Такрор (2 дақиқа)
- Ҳисоб кунед: 5⋅5⋅5.
- Ҳисоб кунед: (−4)⋅(−4).
- Ҳосили зарби се адади манфӣ мусбат аст ё манфӣ?
Ҷавобҳо
- 125. 2) 16. 3) Манфӣ: ҳосили зарби ду адади манфӣ мусбат аст, баъд зарб ба адади манфии сеюм аломатро манфӣ мекунад.
Вазъият барои андешаронӣСубҳ як нафар хабарро ба 2 нафар мерасонад. Дар соати оянда ҳар яке аз онҳо хабарро ба 2 нафари нав мерасонад ва ҳамин тавр идома меёбад. Дар соати дуюм хабарро 2⋅2=4 нафар, дар сеюм 2⋅2⋅2=8 нафар мешунаванд. Дар соати даҳум чанд нафар хабарро мешунавад? Чӣ тавр ҳосили зарби даҳ дугонаро кӯтоҳтар навиштан мумкин аст?
ТаърифҲосили зарби ду адади баробар дараҷаи дуюми адад ё квадрати адад ном дорад:
a2=a⋅a. ТаърифҲосили зарби се адади баробар дараҷаи сеюми адад ё куби адад ном дорад:
a3=a⋅a⋅a. ТаърифҲосили зарби n адади a (ки n>1) дараҷаи n-уми адади a номида мешавад. Агар n= бошад,
ХосиятДараҷаи ҷуфти адади манфӣ мусбат аст, дараҷаи тоқи он манфӣ аст. Дараҷаи ҳар нишондиҳандаи адади мусбат мусбат аст.
Дар хотир доредНишондиҳанда ба адади дар паҳлуяш истода дахл дорад. Барои ҳамин (−3)2=9, вале −32=−(3⋅ Агар асос манфӣ ё каср бошад, онро дар қавс менависанд.
Калимаҳои калидӣдараҷаасоси дараҷанишондиҳандаи дараҷаквадрати ададкуби ададдараҷаи n-уми ададба дараҷа бардоштан
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман метавонам асос ва нишондиҳандаи дараҷаро нишон диҳам.
- Ман метавонам квадрат ва куби ададро ҳисоб кунам.
- Ман метавонам аломати дараҷаи адади манфиро бе ҳисоб муайян кунам.
- Ман фарқи (−3)2 ва −32-ро мефаҳмам.
- Ман метавонам қимати ифодаро бо дараҷаҳо ёбам.
Кадом ҳадафро боз такрор кардан мехоҳед?
Аломати ададро муайян кунед: (−2)7.
Як ҷавобро интихоб кунед
Баробарии −32=9 дуруст аст.
Ба ҳар як ифода қимати онро мувофиқ гузоред.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед(−2)5
→ )
(−51)
(−51)
.
2
1
⋅
21⋅
21;
−
2
)
.
3
)
2
;
⋅
46.
22
.
43
)
⋅
353−
565.
2
=
9,
1
an=n маротибаa⋅a⋅a⋯a.
3
)
=
−9.
(−2)4