7.3 · 1/2. Ба дараҷа бардоштани дараҷа ва ҳосили зарб - Алгебра — синфи 7
Ба дараҷа бардоштани дараҷа
Ифодаи (a3)2 дараҷаест, ки асосаш худ дараҷа аст. Аз таъриф ва хосияти асосӣ истифода бурда, онро дар шакли дараҷаи асосаш a менависем:
(a
навбатӣ7.3 · 2/2. Сода кардан ва ҳисоб бо хосиятҳои дараҷа
1 соат
3
)2
=
a3⋅
a3=
a3+3=
a6.
(a2)4=a2⋅a2⋅a2⋅a2=a2+2+2+2=a8. Дар мисоли якум нишондиҳандаи натиҷа ба ҳосили зарби 3⋅2, дар мисоли дуюм ба ҳосили зарби 2⋅4 баробар аст.
Исбот. Барои адади дилхоҳи a ва нишондиҳандаҳои натуралии n, m дуруст аст:
Мисоли 1. Ифодаи (34)5-ро дар шакли дараҷаи асосаш 3 менависем:
(34)5=34⋅5=320. Қоида барои асоси ғайрисифр ва нишондиҳандаи сифр низ дуруст аст: (a0)3=a0⋅3=a0=1.
Ба дараҷа бардоштани ҳосили зарб
Ифодаи (ab)3 дараҷаи сеюми ҳосили зарби a ва b аст. Аз хосиятҳои зарб истифода бурда, онро ба ҳосили зарби дараҷаҳо табдил медиҳем:
(ab)3=(ab)(ab)(ab)=(a⋅a⋅a)(b⋅b⋅b)=a3⋅b3. Дараҷаи сеюми ҳосили зарби a ва b ба ҳосили зарби дараҷаҳои сеюми онҳо баробар аст. Ин барои нишондиҳандаи дилхоҳ низ дуруст аст.
Исбот. Аз рӯйи таъриф (ab)n ҳосили зарби n зарбшавандаи ab аст. Зарбшавандаҳои a ва b-ро ҷудо мекунем:
(ab)n=n(ab)(ab)⋯(ab)=n(a⋅a⋯a)⋅n(b⋅b⋯b)=an⋅bn. Барои се ва зиёда зарбшаванда: (abc)n=an⋅bn⋅cn.
(2⋅7⋅a)3=23⋅73⋅a3=8⋅343⋅a3=2744a3; (3⋅5⋅0,6)3=33⋅53⋅0,63=27⋅125⋅0,216=729. (Санҷиш: 3⋅5⋅0,6=9 ва 93=729.)
Масоҳат ва ҳаҷм
Агар тарафи квадрат k маротиба зиёд шавад, масоҳаташ (ka)2=k2a2 мешавад, яъне k2 маротиба зиёд мешавад. Агар теғаи куб k маротиба зиёд шавад, ҳаҷмаш (ka)3=k3a3, яъне k3 маротиба зиёд мешавад. Масалан, теғаро 2 маротиба зиёд кунед — ҳаҷм 8 маротиба меафзояд.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
- а) (a4)3;
- б) (b2)7;
- в) (c7)4;
- г) (d2)8;
- д) (m6)5;
- е) (n3)8;
- ё) (62)2;
- ж) (53)4.
2. Дар шакли дараҷаи асосаш x нависед:
- а) (x5)7;
- б) x7⋅x3;
- в) (x4)8;
- г) (x9)2.
3. Дар шакли дараҷа нависед:
- а) an⋅a5;
- б) a⋅am;
- в) a3⋅ap;
- г) (an)3.
4. Ҳосили зарбро дар шакли дараҷа нависед:
- а) (xy)5;
- б) (xyz)4;
- в) (2a)5;
- г) (3bc)4;
- ғ) (−5v)3;
- д) (−6,3)3.
5. Агар тарафи квадрат: а) 3; б) 5; в) n маротиба зиёд шавад, масоҳати он чанд маротиба меафзояд?
6. Агар дарозии теғаи куб: а) 2; б) 5; в) m маротиба зиёд шавад, ҳаҷми он чанд маротиба зиёд мешавад?
7. Исбот кунед, ки квадрати ададҳои бо ҳам муқобил ба ҳам баробар ва куби ададҳои бо ҳам муқобил ба ҳам муқобиланд.
Дар хона
- а) (23)5;
- б) (32)6;
- в) (46)5;
- г) ((−0,5)4)4;
- ғ) ((−121)2)5;
- д) ((−3,32)3)0.
9. Дар шакли дараҷаи асосаш 3 нависед:
- а) 272;
- б) 813;
- в) 7295;
- г) (0,01)0.
10. Ҳосили зарбро ба дараҷа бардоред:
- а) (−x)3⋅y3⋅z3;
- б) x⋅(x4)2;
- в) y2⋅(y2)3;
- г) (z2)4⋅z6;
- ғ) t6⋅(t3)2⋅t;
- д) 32⋅a2⋅b2.
★ Барои ҳавасмандон
11★. Исбот кунед, ки дараҷаи ҷуфти ададҳои бо ҳам муқобил ба ҳам баробар ва дараҷаи тоқи онҳо ба ҳам муқобиланд.
12★. Исбот кунед, ки рақами охирини дараҷаи панҷуми адади дилхоҳи натуралӣ ба рақами охирини худи адад баробар аст.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 8–10.
- Ба худатон исбот кунед, ки (an)m=(am)n.
Дар ин дарс
- Ман метавонам дараҷаро ба дараҷа бардорам: (an)m=anm.
- Ман метавонам ҳосили зарбро ба дараҷа бардорам: (ab)n=anbn.
- Ман метавонам ин қоидаҳоро исбот кунам ва бо онҳо ифодаҳоро сода кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Сода кунед: a3⋅a4.
- Сода кунед: a9:a2.
- Қимати 70+21-ро ёбед.
Ҷавобҳо
- a7. 2) a7. 3) 1+2=3.
Вазъият барои андешаронӣИфодаи (a3)2 — ин «дараҷаи дараҷа» аст: ададро аввал ба куб, баъд натиҷаро ба квадрат мебардоранд. Онро аз рӯйи таъриф чӣ тавр нависед? Ва (2⋅3)2-ро ду тарз ҳисоб кунед: 62 ва 22⋅32. Натиҷаҳо чӣ тавр мебароянд?
ҚоидаБарои ба дараҷа бардоштани дараҷа асоси дараҷаро бетағйир гузошта, нишондиҳандаҳоро зарб мекунанд:
(an)m=anm.
- (an)m ҳосили зарби m зарбшавандаи an аст: ( маротиба).
ҚоидаБарои ба дараҷа бардоштани ҳосили зарб ҳар як зарбшавандаро ба ҳамин дараҷа бардошта, натиҷаҳоро зарб мекунанд:
(ab)n=an⋅bn. Дар хотир доредҚоида танҳо барои ҳосили зарб аст, на барои сумма: (a+b)2 ба a2+b2 баробар нест. Масалан, вале
Баробарии (a+b)2=a2+b2 барои ҳамаи a ва дуруст аст.
Ифодаи (−2x)2-ро ба дараҷа бардошта, ҷавоби дурустро интихоб кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед
an
⋅
an⋯an
Аз хосияти асосии дараҷа нишондиҳандаҳо ҷамъ мешаванд: an+n+⋯+n (m ҷамъшаванда). Азбаски n+n+⋯+n=n⋅m, ҳосил мекунем: (an)m=anm. (1+2)2=9,
12+22=5. b
2x2