7 · 2/3. Хосиятҳои интеграл ва ҳисоби он - Алгебра — синфи 11
Хосиятҳои интеграл
Формулаи (4) барои b<a низ дуруст аст: ин ҷо F(b)−F(a)-ро ҳамчун интеграл қабул мекунем. Аз ин бармеояд:
Ва барои ҳудудҳои якхела
навбатӣ7 · 3/3. Масоҳат бо ёрии интеграл
1 соат
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=−(F(a)−F(b))=−∫baf(x)dx.
∫aaf(x)dx=F(a)−F(a)=0. Ду хосияти дигар аз қоидаҳои 1∘ ва 2∘-и функсияҳои ибтидоӣ (4 · 1/2) меоянд.
Хосияти дуюм ҳамин тавр аз қоидаи 2∘ (kF барои kf ибтидоӣ аст) ҳосил мешавад. Хосияти охирин (ҷудо кардани порча) аз F(b)−F(a)=(F(c)−F(a))+(F(b)−F(c)) меояд. Он барои функсияҳои дорои модул лозим аст: дар нуқтаи c, ки модул дар он аломат иваз мекунад, порчаро ҷудо мекунем.
Мисолҳо
Мисоли 1. Интеграли ∫21/3x2dx-ро ҳисоб мекунем.
Ҳал. Ҳудуди болоӣ аз поёнӣ хурд аст, вале формулаи (4) кор мекунад:
∫21/3x2dx=−x121/3=−1/31−(−21)=−3+21=−221.
Натиҷаи манфӣ мемонад: функсияи зериинтегралӣ мусбат аст, лекин ҳудудҳо баръакс гузошта шудаанд. Агар ҳудудҳоро ба тартиби дуруст гузорем, ∫1/32x2dx=2
Мисоли 2. Интеграли ∫12(2x2+3x)dx-ро ҳисоб мекунем.
Ҳал. Аз хосиятҳои интеграл истифода мебарем:
∫12(2x2+3x)dx=2∫12x2dx+3∫12xdx=2⋅3x312+3⋅2x212=2⋅37+3⋅23=314+29=655=961.
Мисоли 3. Интеграли ∫−12∣x∣dx-ро меёбем.
Ҳал. ∣x∣=−x барои x<0 ва ∣x∣=x барои x≥0. Порчаро дар нуқтаи 0 ҷудо мекунем:
∫−12∣x∣d
Интеграли f(kx+m)
Қоидаи 3∘-и функсияҳои ибтидоӣ: агар F барои f ибтидоӣ бошад, барои f(kx+m) функсияи k1F(kx+m) ибтидоӣ аст. Аз ин рӯ
Мисол. ∫0π/6cos3xdx=3sin3x0π/6=31(sin2π−sin0)=31.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф — бандҳои а), б); дар хона — бандҳои в), г).
Дар синф
1. Интегралҳоро ҳисоб кунед:
- а) ∫08(2x+3x)dx;
- б) ∫49(52x+2
- в) ∫01(x−
- г) ∫−2−1(x−3−x)dx.
2. Интегралҳоро ҳисоб кунед:
- а) ∫03(x−3)(x+3)dx;
- б) ∫02(2x+3)3dx;
- в) ∫−112x+3
- г) ∫−21x+4
★ Барои ҳавасмандон
3★. Интегралҳоро ҳисоб кунед:
- а) ∫0π/22sin2xdx;
- б) ∫0π/2sin(2x+6π)dx;
- в) ∫0πcos(3x−4π)dx;
- г) ∫0π/6cos22xdx.
Нишондод. Дар а) 2sin2x=1−cos2x.
Вазифаи хонагӣ
- Машқи 1, бандҳои в), г).
- Машқи 2, бандҳои в), г).
- Машқи 3★ — барои онҳое, ки мехоҳанд.
Дар ин дарс
- Ман метавонам хосиятҳои интегралро истифода барам: ивази ҳудудҳо, интеграли ҷамъ, баровардани зарбкунандаи доимӣ.
- Ман метавонам интегралро бо формулаи Нютон–Лейбнитс ҳангоми b<a низ ҳисоб кунам.
- Ман метавонам интегралҳои ∫pqf(kx+m)dx-ро бо қоидаи k1F(kx+m) ҳисоб кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Формулаи Нютон–Лейбнитсро нависед.
- Функсияи ибтидоии x21 ва cos3x-ро ёбед.
- ∫01xdx-ро ҳисоб кунед.
Ҷавобҳо
- ∫abf(x)dx=F(b)−F(a). 2) 3)
Хосиятҳои интегралБарои функсияҳои бефосилаи f, g ва доимии k:
Чаро хосияти якум дуруст аст
- Бигузор F ва G барои f ва g функсияҳои ибтидоӣ бошанд.
- Аз рӯйи қоидаи 1∘ функсияи F барои ибтидоӣ аст.
Қоида∫pqf(kx+m)dx= Агар ҳудудҳои интегралро ба ҳамдигар иваз кунем, интеграл ба аломати муқобил мегузарад: ∫abf(x)dx=−∫b
Чӣ қадар аст ∫aaf(x)dx?
Як ҷавобро интихоб кунед
21
.
x
=
∫−10(−x)dx+
∫02xdx=
21+
2=
221.
1
)
d
x
;
4
)
d
x
;
1
d
x
;
dx
.
−x1;
3sin3x. 2x201=21. ∫ab(f(x)+g(x))dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx,
∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx, ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx,∫aaf(x)dx=0, ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx(c — нуқтаи дилхоҳ).
+
G
Аз рӯйи формулаи (4): ∫ab(f+g)dx=(F+G)(b)−(F+G)(a). Қавсҳоро кушода, гурӯҳбандӣ мекунем: (F(b)−F(a))+(G(b)−G(a))=∫abfdx+∫abgdx.
k1
(
F
(
k
q
+
m)−
F(kp+
m)).
a
f
(
x
)
d
x
.
(
a
)