5 · 2/2. Формулаи масоҳат: S = F(b) − F(a) - Алгебра — синфи 11
Мисоли ҳисобкунӣ
Мисоли 2. Масоҳати трапетсияи каҷхаттаро бо графики функсияи f(x)=1+2sinx ва хатҳои y=0, x=0, маҳдуд меёбем (расми 1).
навбатӣ6 · 1/2. Масоҳати фигураи байни ду хат
1 соат
x=2π
Ҳал. Аввал аломати f-ро месанҷем: дар [0; 2π] sinx≥0, пас f(x)≥1>0 — фигура трапетсияи каҷхатта аст. Функсияи F(x)=x−2cosx яке аз функсияҳои ибтидоии f мебошад. Аз рӯйи формулаи S=F(b)−F(a):
S=F(2π)−F(0
Формулаи S=F(b)−F(a) масоҳатро танҳо барои f(x)≥0 медиҳад. Агар f(x)≤0 дар [a; b] бошад, график зери тири Ox аст ва F(b)−F(a) манфӣ мешавад (ин масоҳатро бо аломати «−» медиҳад); масоҳат S=−(F(b)−F(a))=F(a)−F(b) аст.
Агар f дар порча аломаташро иваз кунад, порчаро ба қисмҳое ҷудо мекунем, ки дар ҳар кадоме аломати f доимӣ аст: a=x0<x1<…<xk=b. Барои ҳар қисм F(xi+1)−F(xi) ё масоҳат (агар f≥0) ё масоҳат бо аломати «−» (агар f≤0) аст. Ҷамъи ҳамаи ин фарқҳо «ихтисор» мешавад:
(F(x1)−F(x
Яъне F(b)−F(a) — ҷамъи ишорадори масоҳатҳо аст: қисмҳои болои Ox бо «+», қисмҳои зери Ox бо «−». Масоҳати воқеӣ — ҷамъи масоҳатҳои ҳамаи қисмҳо бо плюс.
Масалан, y=sinx дар [0; 2π]: F(x)=−cosx, F(2π)−F(0)=−1−(−1)=0. Вале масоҳат — ҷамъи ду қисм: S1=F(π)−F(0)=1+1=2 (боло) ва S2=−(F(2π)−F(π))=−(−1−1 (поён). Ҳамагӣ S=2+2=4.
Озмоиш: ҷамъи ишорадор ва масоҳат
Интеграл ва масоҳатсанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Масоҳати фигураи бо хатҳои зерин маҳдударо ёбед:
- а) y=x2+2, y=0, x=1, x=2;
- б) y=1+2sinx, y=0,
- в) y=1+2cosx, y=0, x=0,
- г) y=16−x2, y=0.
2. Масоҳати фигураи бо хатҳои зерин маҳдударо ёбед:
- а) y=(x+1)2, y=0, x=1;
- б) y=(x+1)21+2, y=0, x=0, x=1;
- в) y=x−x2, y=0;
- г) y=x3−x, y=0, x=−1,
Нишондод. Дар бандҳои а), в), г) нуқтаҳои буришро бо Ox ёфта, порчаи ҳисобро муайян кунед.
Дар хона
3. Ҳисоб кунед:
(383)−31−(94)21+8−321.
4. Системаро ҳал кунед:
{x2+3xy=18,3y2+xy=6.
5. Муодилаи tg2x−6tgx+5=0-ро дар порчаи [0; 4π] ҳал карда, ҷавобро бо градус нависед.
6. Фосилаҳои монотонӣ, экстремум ва экстремалҳои функсияи f(x)=6x−8x3-ро ёбед.
★ Барои ҳавасмандон
7★. Намуди умумии функсияҳои ибтидоии f(x)-ро ёбед, агар
f(x)=sin2(2x+1)1+6x−5+2x4.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 3–6 («Такрор»).
- Машқи 7★ — барои онҳое, ки мехоҳанд.
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 5 — дар саҳифаи «Супоришҳо», агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Трапетсияи каҷхатта: фигураи зери графики функсияи бефосила ва ғайриманфӣ дар [a; b] бо хатҳои x=a, x=b ва тири Ox.
- Масоҳати тағйирёбанда S(x) барои f функсияи ибтидоӣ аст: S′(x)=f(x), S(a)=0.
- S=F(b)−F(a). Дуруст ба шарти f≥0 дар [a; b].
- Агар f≤0, масоҳат F(a)−F(b) аст; агар f аломатро иваз кунад, F(b)− — ҷамъи ишорадор аст, масоҳатро қисм ба қисм ҳисоб мекунем.
Дар ин дарс
- Ман метавонам масоҳати трапетсияи каҷхаттаро бо формулаи S=F(b)−F(a) ҳисоб кунам: аввал аломати f ва порча, баъд F, баъд фарқ.
- Ман медонам, ки барои f-и аломаташ тағйирёбанда F(b)−F(a) масоҳат нест, балки ҷамъи ишорадор аст.
- Ман метавонам масоҳати фигураро барои f≤0 ёбам.
Такрор (2 дақиқа)
- Формулаи масоҳати трапетсияи каҷхаттаро нависед.
- Функсияи ибтидоии sinx ва 1+2sinx-ро нависед.
- Кадом аломатро sinx дар [0; 2π] ва дар [π; 2π] дорад?
Ҷавобҳо
- S=F(b)−F(a). 2) −cosx; x−2cosx 3) Дар ғайриманфӣ, дар ғайримусбат.
Расми 1. Трапетсияи каҷхатта зери y = 1 + 2 sin x аз 0 то π/2.Қоида
- Аломати f-ро дар порчаи [a; b] санҷед ва расм кашед.
- Яке аз функсияҳои ибтидоии F-ро ёбед ва санҷед: F
ДиққатF(b)−F(a) бо масоҳат фақат барои f≥0 баробар аст. Агар f аломатро иваз кунад, масоҳатро қисм ба қисм мефарқонем.
Расми 2. y = sin x дар [0; 2π]: қисми болоӣ +2, қисми поёнӣ −2; ҷамъи ишорадор 0, масоҳат 4.Калимаҳои калидӣтрапетсияи каҷхаттаафзоиши аргументғайриманфӣS(x)ҷамъи ишорадор
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро S′(x)=f(x) аст? Чаро барои sinx дар вале масоҳат нул нест?
Барои ҳар функсияи бефосила f дар [a; b] масоҳати фигураи зери график ба F(b)−F(a) баробар аст.
Агар f(x)≤0 дар [a; b] бошад, масоҳати фигураи бо хатҳои y=f(x), маҳдуд бо кадом формула ёфта мешавад? — функсияи ибтидоӣ барои
Як ҷавобро интихоб кунед
)
=
(2π−2cos2π)−
(0−
2cos0)=
2π+
2.
0
)
)
+
(F(x2)−
F(x1))+
…+
(F(xk)−
F(xk−1))=
F(b)−
F(a).
)
=
2
x=
0,
x=4π; x=2π;
x=0.
F(a)
.
[0; 2π] [π; 2π] ′
=
f.
F(b)−F(a)-ро ҳисоб кунед; фарқро бо қавс нависед, то аломатҳо гум нашаванд. [0; 2π]
F(b)−F(a)=0, Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман шарҳ дода метавонам, ки трапетсияи каҷхатта чист.
- Ман исботи S′(x)=f(x)-ро бо мафҳумҳои m, M, ΔS нақл карда метавонам.
- Ман масоҳатро бо F(b)−F(a) ҳисоб мекунам ва аломати f-ро аввал месанҷам.
- Ман фарқи ҷамъи ишорадор ва масоҳатро медонам.
π
x=3
y
=
0,
F(b)+F(a)
F(a)−F(b)
F(b)−F(a)
∣F(a)∣+∣F(b)∣