4 · 1/2. Қоидаҳо: сумма ва зарб бар адад - Алгебра — синфи 11
Масъалаи ёфтани функсияи ибтидоӣ ба масъалаи ёфтани ҳосила баръакс аст, ва барои он се қоида ҳаст, ки ба қоидаҳои ҳосилагирӣ монанданд. Ду қоидаи аввалро имрӯз мебинем, сеюмро — дарси оянда.
Қоидаи 1 ∘ 1^\circ 1 ∘
Дар ҳақиқат, F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x) = f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) G ′ ( x ) = g ( x ) , G'(x) = g(x),
навбатӣ 4 · 2/2. Функсияи ибтидоии f(kx + b) 1 соат
G ′ ( x ) = g ( x ) ,
( F ( x ) + G ( x ) ) ′ = F ′ ( x ) + G ′ ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . \big(F(x) + G(x)\big)' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x). ( F ( x ) + G ( x ) ) ′ = F ′ ( x ) + G ′ ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Мисоли 1. Намуди умумии функсияҳои ибтидоиро барои f ( x ) = x 2 + cos x f(x) = x^2 + \cos x f ( x ) = x 2 + cos x
Ҳал. x 3 3 \dfrac{x^3}{3} 3 x 3 x 2 , x^2, x 2 , sin x \sin x sin x cos x . \cos x. cos x . 1 ∘ 1^\circ 1 ∘ x 3 3 + sin x \dfrac{x^3}{3} + \sin x 3 x 3 + sin x f ( x ) f(x) f ( x )
Ҷавоб: F ( x ) = x 3 3 + sin x + C . F(x) = \dfrac{x^3}{3} + \sin x + C. F ( x ) = 3 x 3 + sin x + C .
Мисоли 2. Намуди умумии функсияҳои ибтидоиро барои f ( x ) = 1 cos 2 x + 1 x f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} f ( x ) = cos 2 x 1 + x 1
Ҳал. Ҷадвалро истифода мебарем: tg x \operatorname{tg} x tg x 1 cos 2 x \dfrac{1}{\cos^2 x} cos 2 x 1 2 x 2\sqrt{x} 2 x 1 x \dfrac{1}{\sqrt{x}} x 1 tg x + 2 x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{x} tg x + 2 x f ( x ) f(x) f ( x ) (x > 0 x > 0 x > 0
Ҷавоб: F ( x ) = tg x + 2 x + C . F(x) = \operatorname{tg} x + 2\sqrt{x} + C. F ( x ) = tg x + 2 x + C .
Қоидаи 2 ∘ 2^\circ 2 ∘ Дар ҳақиқат, зарбшавандаро аз зери аломати ҳосила баровардан мумкин: ( k F ( x ) ) ′ = k ( F ( x ) ) ′ = k f ( x ) . \big(kF(x)\big)' = k\big(F(x)\big)' = kf(x). ( k F ( x ) ) ′ = k ( F ( x ) ) ′ = k f ( x ) .
Мисоли 3. Барои f ( x ) = 7 sin x f(x) = 7\sin x f ( x ) = 7 sin x
Ҳал. Функсияи − cos x -\cos x − cos x sin x \sin x sin x 2 ∘ 2^\circ 2 ∘ (k = 7 k = 7 k = 7 функсияи − 7 cos x -7\cos x − 7 cos x 7 sin x 7\sin x 7 sin x
Ҷавоб: F ( x ) = − 7 cos x + C . F(x) = -7\cos x + C. F ( x ) = − 7 cos x + C .
Мисоли 4. Функсияи ибтидоиро барои f ( x ) = 5 cos x + 2 x 4 f(x) = 5\cos x + 2x^4 f ( x ) = 5 cos x + 2 x 4
Ҳал. Аввал қоидаи 2 ∘ , 2^\circ, 2 ∘ , 1 ∘ 1^\circ 1 ∘ F ( x ) = 5 sin x + 2 5 x 5 + C . F(x) = 5\sin x + \dfrac{2}{5}x^5 + C. F ( x ) = 5 sin x + 5 2 x 5 + C .
Мисоли 5. Қувваи F ( t ) = A sin t F(t) = A\sin t F ( t ) = A sin t (A > 0 A > 0 A > 0 ба ҷисми массааш m m m t = 0 t = 0 t = 0 v 0 v_0 v 0 t t t
Ҳал. Аз рӯйи қонуни Нютон шитоб a = F m = A m sin t . a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{A}{m}\sin t. a = m F = m A sin t . v ( t ) = − A m cos t + C , v(t) = -\dfrac{A}{m}\cos t + C, v ( t ) = − m A cos t + C , C C C v 0 = v ( 0 ) = − A m + C v_0 = v(0) = -\dfrac{A}{m} + C v 0 = v ( 0 ) = − m A + C C = v 0 + A m . C = v_0 + \dfrac{A}{m}. C = v 0 + m A .
Ҷавоб: v ( t ) = v 0 + A m − A m cos t . v(t) = v_0 + \dfrac{A}{m} - \dfrac{A}{m}\cos t. v ( t ) = v 0 + m A − m A cos t .
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Намуди умумии функсияҳои ибтидоии f ( x ) f(x) f ( x )
а) f ( x ) = 4 x + x 2 − 1 x 2 ; f(x) = 4x + x^2 - \dfrac{1}{x^2}; f ( x ) = 4 x + x 2 − x 2 1 ;
б) f ( x ) = x − 4 x 4 + sin x ; f(x) = x - \dfrac{4}{x^4} + \sin x; f ( x ) = x − x 4 4 + sin x ;
в) f ( x ) = 1 cos 2 x + sin x ; f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} + \sin x; f ( x ) = cos 2 x 1 + sin x ;
г) f ( x ) = 1 x 2 − 4 sin x . f(x) = \dfrac{1}{x^2} - 4\sin x. f ( x ) = x 2 1 − 4 sin x .
2. Суръати нуқтаи ростхатта ҳаракаткунанда бо формулаи v ( t ) = t 2 − 3 t + 1 v(t) = t^2 - 3t + 1 v ( t ) = t 2 − 3 t + 1 (t = 0 t = 0 t = 0 нуқта дар ибтидои координатаҳо бошад, вобастагии координатаи он x x x t t t
3. Нуқтаи массааш m m m F F F t t t F ( t ) F(t) F ( t ) t = t 0 t = t_0 t = t 0 v 0 v_0 v 0 x 0 x_0 x 0 x ( t ) x(t) x ( t ) t t t (F F F — бо ҳисоби нютон, t t t v v v m m m
а) F ( t ) = 3 − 6 t , F(t) = 3 - 6t, F ( t ) = 3 − 6 t , t 0 = 1 , t_0 = 1, t 0 = 1 , v 0 = 4 , v_0 = 4, v 0 = 4 , x 0 = − 5 , x_0 = -5, x 0 = − 5 , m = 3 ; m = 3; m = 3 ;
б) F ( t ) = 8 sin t , F(t) = 8\sin t, F ( t ) = 8 sin t , t 0 = π , t_0 = \pi, t 0 = π , v 0 = 3 , v_0 = 3, v
Дар хона 4. Нуқта бо шитоби a ( t ) = 8 t 2 + 5 a(t) = 8t^2 + 5 a ( t ) = 8 t 2 + 5 t = 0 t = 0 t = 0 8 8 8 16 16 16
Вазифаи хонагӣ
Машқи 4.
Агар дар синф ҳамаи бандҳои машқҳои 1–3 иҷро нашуда бошанд, онҳоро дар хона иҷро кунед.
Дар ин дарс
Ман медонам қоидаи функсияи ибтидоии сумма ва қоидаи зарб бар адад.Ман метавонам барои функсияҳои x 2 + cos x , x^2 + \cos x, x 2 + cos x , 5 cos x + 2 x 4 5\cos x + 2x^4 5 cos x + 2 x 4 Ман метавонам суръати нуқтаро аз қувваи таъсиркунанда ҳисоб кунам. Такрор (2 дақиқа)
Ҳосилаи ( F + G ) ′ (F + G)' ( F + G ) ′ ( k F ) ′ (kF)' ( k F ) ′
Функсияҳои ибтидоии x 2 , x^2, x 2 , sin x , \sin x, sin x , cos x \cos x cos x
Қонуни дуюми Нютон: қувва, масса ва шитоб чӣ тавр алоқаманданд?
Ҷавобҳо
F ′ + G ′ F' + G' F ′ + G ′ k F ′ . kF'. k F ′ . x 3 3 , \dfrac{x^3}{3}, Вазъият барои андешаронӣ Ёфтани функсияи ибтидоӣ ба ёфтани ҳосила монанд аст: барои ҳосилагирӣ қоидаҳои «ҷамъ» ва «зарб бар адад» ҳастанд. Оё барои функсияи ибтидоӣ низ ҳамин қоидаҳо дурустанд? Масалан, барои f ( x ) = x 2 + cos x f(x) = x^2 + \cos x f ( x ) = x 2 + cos x
Қоидаи 1° Агар F ( x ) F(x) F ( x ) G ( x ) G(x) G ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) F ( x ) + G ( x ) F(x) + G(x) F ( x ) + G ( x ) f ( x ) + g ( x ) f(x) + g(x) f ( x ) + g ( x )
Қоидаи 2° Агар F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) k k k k F ( x ) kF(x) k F ( x ) k f ( x ) kf(x) k
Намуди умумии функсияҳои ибтидоии f ( x ) = 4 x 3 − 2 sin x f(x) = 4x^3 - 2\sin x f ( x ) = 4 x 3 − 2 sin x
Як ҷавобро интихоб кунед A x 4 − 2 cos x + C x^4 - 2\cos x + C x 4 − 2
B C D Ба ҳар функсияи f f f
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед f ( x ) = 3 cos x f(x) = 3\cos x f ( x ) = 3 cos x
→ … tg x + 2x + C x³/3 + cos x + C x³/3 − cos x + C 2x² − 5x + C 3 sin x + C f ( x ) = x 2 + sin x f(x) = x^2 + \sin x f ( x ) = x 2
→ … tg x + 2x + C x³/3 + cos x + C x³/3 − cos x + C 2x² − 5x + C 3 sin x + C → … tg x + 2x + C x³/3 + cos x + C x³/3 − cos x + C 2x² − 5x + C 3 sin x + C
→ … tg x + 2x + C x³/3 + cos x + C x³/3 − cos x + C 2x² − 5x + C 3 sin x + C
0
=
3 ,
3 x 3 ,
a = F m . a = \dfrac{F}{m}. a = m F . f
(
x
)
1 ) F(1) F ( 1 )
0
=
1
t = π 2 t = \dfrac{\pi}{2} t = 2 π
cos
x
+
C
x 4 + 2 cos x + C x^4 + 2\cos x + C x 4 + 2 cos x + C
12 x 2 − 2 cos x + C 12x^2 - 2\cos x + C 12 x 2 − 2 cos x + C
x 4 + 2 sin x + C x^4 + 2\sin x + C x 4 + 2 sin x + C
+
sin x
f ( x ) = 4 x − 5 f(x) = 4x - 5 f ( x ) = 4 x − 5
f ( x ) = 1 cos 2 x + 2 f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} + 2 f ( x ) = cos 2 x 1 + 2