3 · 2/2. Ҳаракати ростхатта ва ҷадвали функсияҳои ибтидоӣ - Алгебра — синфи 11
Ҳаракати ростхатта
Масъалаи баръакси механикаро аз дарси аввал ҳал мекунем. Он ба масъалаи банди гузашта монанд аст, вале бо ду интегралгирӣ: аз v ′ ( t ) = a ( t ) v'(t) = a(t) v ′ ( t ) = a ( t ) v ( t ) v(t) v ( t ) x ′ ( t ) = v ( t ) x'(t) = v(t) x
навбатӣ 4 · 1/2. Қоидаҳо: сумма ва зарб бар адад 1 соат
′
(
t
)
=
v ( t )
Мисоли 4. Нуқта аз рӯйи хатти рост бо шитоби a ( t ) = 4 t a(t) = 4t a ( t ) = 4 t t 0 = 1 t_0 = 1 t 0 = 1 x 0 = 2 x_0 = 2 x 0 = 2 v 0 = 1. v_0 = 1. v 0 = 1.
Ҳал. Функсияи ибтидоӣ барои a ( t ) = 4 t a(t) = 4t a ( t ) = 4 t v ( t ) = 2 t 2 + C . v(t) = 2t^2 + C. v ( t ) = 2 t 2 + C . v 0 = v ( 1 ) = 1 v_0 = v(1) = 1 v 0 = v ( 1 ) = 1 2 ⋅ 1 2 + C = 1 , 2 \cdot 1^2 + C = 1, 2 ⋅ 1 2 + C = 1 , C = − 1. C = -1. C = − 1. v ( t ) = 2 t 2 − 1. v(t) = 2t^2 - 1. v ( t ) = 2 t 2 − 1.
Функсияи ибтидоӣ барои v ( t ) v(t) v ( t ) x ( t ) = 2 3 t 3 − t + C . x(t) = \dfrac{2}{3}t^3 - t + C. x ( t ) = 3 2 t 3 − t + C . x 0 = x ( 1 ) = 2 x_0 = x(1) = 2 x 0 = x ( 1 ) = 2 2 3 ⋅ 1 3 − 1 + C = 2 , − 1 3 + C = 2 , C = 2 + 1 3 = 7 3 . \dfrac{2}{3} \cdot 1^3 - 1 + C = 2, \qquad -\dfrac{1}{3} + C = 2, \qquad C = 2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}. 3 2 ⋅ 1 3 − 1 + C x ( t ) = 2 3 t 3 − t + 7 3 . x(t) = \dfrac{2}{3}t^3 - t + \dfrac{7}{3}. x ( t ) = 3 2 t 3 − t + 3
Ҷадвали функсияҳои ибтидоӣ Акнун ҷадвали функсияҳои ибтидоиро меорем. Дар сутуни аввал f ( x ) , f(x), f ( x ) , F ( x ) F(x) F ( x )
f ( x ) f(x) f ( x ) F ( x ) F(x) F ( x ) k k k k x + C kx + C k x + C x α , α ≠ − 1 x^{\alpha},\ \alpha \ne -1 x α , α = − 1 x α + 1 α + 1 + C \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C α + 1 x \dfrac{1}{\sqrt{x}} x 1 2 x + C 2\sqrt{x} + C 2 sin x \sin x sin x − cos x + C -\cos x + C − cos x + C cos x \cos x cos x sin x + C \sin x + C sin x + C 1 cos 2 x \dfrac{1}{\cos^2 x} cos 2 x 1 tg x + C \operatorname{tg} x + C tg x + C 1 sin 2 x \dfrac{1}{\sin^2 x} sin 2 x 1 − ctg x + C -\operatorname{ctg} x + C − ctg x + C
Дурустии ҷадвал бо гирифтани ҳосила нишон дода мешавад. Масалан,
( tg x + C ) ′ = ( tg x ) ′ + C ′ = ( sin x cos x ) ′ + 0 = ( sin x ) ′ cos x − sin x ( cos x ) ′ cos 2 x = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x . (\operatorname{tg} x + C)' = (\operatorname{tg} x)' + C' = \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' + 0 = \dfrac{(\sin x)'\cos x - \sin x\,(\cos x)'}{\cos^2 x} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}. ( tg x + C ) ′ = ( tg x ) ′ + C ′ = ( cos x sin x ) ′ + 0 = cos 2 x ( sin x ) ′ cos x − sin x ( cos x ) ′ = cos 2 x cos 2 x + sin 2 x = cos 2 x 1 .
Бо ҳамин усул дигар сатрҳоро санҷед: ( − cos x ) ′ = sin x , (-\cos x)' = \sin x, ( − cos x ) ′ = sin x , ( sin x ) ′ = cos x , (\sin x)' = \cos x, ( sin x ) ′ = cos x , ( x α + 1 α + 1 ) ′ = x α . \left(\dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}\right)' = x^{\alpha}. ( α + 1 x α + 1 ) ′ =
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Барои функсияи f ( x ) f(x) f ( x ) M M M
а) f ( x ) = x 3 , f(x) = x^3, f ( x ) = x 3 , M ( 2 ; 1 ) ; M(2;\ 1); M ( 2 ; 1 ) ;
б) f ( x ) = sin x , f(x) = \sin x, f ( x ) = sin x , M ( 0 ; 3 ) ; M(0;\ 3); M ( 0 ; 3 ) ;
в) f ( x ) = 1 cos 2 x , f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x}, f ( x ) = cos 2 x 1 , M ( π 4 ; 0 ) ; M\left(\dfrac{\pi}{4};\ 0\right); M
г) f ( x ) = − 2 , f(x) = -2, f ( x ) = − 2 , M ( 3 ; 5 ) ; M(3;\ 5); M ( 3 ; 5 ) ;
д) f ( x ) = 1 x 3 , f(x) = \dfrac{1}{x^3}, f ( x ) = x 3 1 , M ( − 1 2 ; 3 ) ; M\left(-\dfrac{1}{2};\ 3\right); M ( −
е) f ( x ) = − cos x , f(x) = -\cos x, f ( x ) = − cos x , M ( π 2 ; 0 ) . M\left(\dfrac{\pi}{2};\ 0\right). M ( 2 π ; 0 )
2. Нуқта аз рӯйи хатти рост бо шитоби a ( t ) a(t) a ( t ) t 0 t_0 t 0 x 0 x_0 x 0 v 0 v_0 v 0 x ( t ) x(t) x ( t )
а) a ( t ) = − t , a(t) = -t, a ( t ) = − t , t 0 = 2 , t_0 = 2, t 0 = 2 , x 0 = 4 , x_0 = 4, x 0 = 4 , v 0 = − 3 ; v_0 = -3; v 0 = − 3 ;
б) a ( t ) = cos t , a(t) = \cos t, a ( t ) = cos t , t 0 = π , t_0 = \pi, t 0 = π , x 0 = 0 , x_0 = 0, x
Дар хона 3. Экстремуми функсияи y = 2 − 2 x − x 2 y = 2 - 2x - x^2 y = 2 − 2 x − x 2
4. Ифодаро сода кунед:
sin α + 3 cos α sin 2 α + cos 2 α ⋅ 1 cos ( α − 30 ∘ ) . \dfrac{\sin\alpha + \sqrt{3}\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} \cdot \dfrac{1}{\cos(\alpha - 30^\circ)}. sin 2 α + cos 2 α sin α + 3 cos α ⋅ cos ( α − 3 0 ∘ ) 1 .
5. Системаро ҳал кунед:
{ x − y = 1 , x − x y = 2. \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ x - \sqrt{xy} = 2. \end{cases} { x − y = 1 , x − x y = 2.
6. Соҳаи муайянии функсияи y = 5 − x − 6 x y = \sqrt{5 - x - \dfrac{6}{x}} y = 5 − x − x 6
7. Бо ҳосилагирӣ санҷед, ки барои f ( x ) = 1 sin 2 x f(x) = \dfrac{1}{\sin^2 x} f ( x ) = sin 2 x 1 F ( x ) = − ctg x + C F(x) = -\operatorname{ctg} x + C F ( x ) = − ctg x + C
8. Нуқта бо шитоби a ( t ) = 2 a(t) = 2 a ( t ) = 2 t 0 = 0 t_0 = 0 t 0 = 0 x 0 = − 1 x_0 = -1 x 0 = − 1 v 0 = 3. v_0 = 3. v 0 = 3. x ( t ) x(t) x ( t )
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 3–6 («Такрор»), инчунин 7 ва 8.
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 3 — дар саҳифаи «Супоришҳо» , агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Намуди умумии функсияҳои ибтидоӣ: F ( x ) + C . F(x) + C. F ( x ) + C . F ( x 0 ) = y 0 F(x_0) = y_0 F ( x 0 ) = y 0 C C C
Масъалаи ҳаракат: a ( t ) → v ( t ) → x ( t ) a(t) \to v(t) \to x(t) a ( t ) → v ( t ) → x ( t ) C C C
Ҷадвал: k → k x + C , k \to kx + C, k → k x + C , x α → x α + 1 α + 1 + C x^{\alpha} \to \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C x α → α + 1
Ҳамеша бо ҳосилагирӣ санҷед: F ′ ( x ) = f ( x ) . F'(x) = f(x). F ′ ( x ) = f ( x ) .
Дар ин дарс
Ман метавонам масъалаи ҳаракати ростхаттаро бо ду маротиба интегралгирӣ ҳал кунам: a ( t ) → v ( t ) → x ( t ) . a(t) \to v(t) \to x(t). a ( t ) → v ( t ) → x ( t ) . Ман медонам ҷадвали функсияҳои ибтидоии асосиро ва метавонам онро бо ҳосилагирӣ санҷам.Ман метавонам фосилаҳоеро нишон диҳам, ки функсияҳои ибтидоии 1 x , \dfrac{1}{\sqrt{x}}, x 1 , 1 cos 2 x , \dfrac{1}{\cos^2 x}, cos 2 x 1 , 1 sin 2 x \dfrac{1}{\sin^2 x} sin 2 x 1 Такрор (2 дақиқа)
Ҳосилаҳоро ёбед: ( x 5 ) ′ , (x^5)', ( x 5 ) ′ , ( x ) ′ , (\sqrt{x})', ( x ) ′ , ( tg x ) ′ . (\operatorname{tg} x)'. ( tg x ) ′ .
Чӣ тавр доимии C C C F ( x 0 ) = y 0 F(x_0) = y_0 F ( x 0 ) = y 0
Ҷавобҳо
5 x 4 ; 5x^4; 5 x 4 ; 1 2 x ; \dfrac{1}{2\sqrt{x}}; 2 x Эзоҳ Функсияи 1 x \dfrac{1}{\sqrt{x}} x 1
Калимаҳои калидӣ намуди умумӣ функсияи ибтидоии шартдор ҷадвали функсияҳои ибтидоӣ шарти ибтидоӣ ҳаракати ростхатта
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро дар масъалаи ҳаракат ду доимӣ пайдо мешавад? Кадом шартҳо онҳоро муайян мекунанд?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман ҷадвали функсияҳои ибтидоиро аз ёд медонам ва бо ҳосилагирӣ месанҷам.
Ман функсияи ибтидоиро аз рӯйи шарти F ( x 0 ) = y 0 F(x_0) = y_0 F ( x 0 ) = y 0
Ман масъалаи ҳаракатро аз
Функсияи F ( x ) = tg x F(x) = \operatorname{tg} x F ( x ) = tg x f ( x ) = 1 cos 2 x f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} f ( x ) = cos 2 x
Намуди умумии функсияҳои ибтидоии f ( x ) = 1 cos 2 x f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} f ( x ) = cos 2 x 1
Як ҷавобро интихоб кунед A − tg x + C -\operatorname{tg} x + C − tg x
B C D Намуди умумии функсияҳои ибтидоии f ( x ) = 1 x 3 f(x) = \dfrac{1}{x^3} f ( x ) = x 3 1 ( 0 ; + ∞ ) (0;\ +\infty) ( 0 ; + ∞ )
Як ҷавобро интихоб кунед A
B C D Ба ҳар функсияи f f f
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед f ( x ) = 1 cos 2 x f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} f ( x ) = cos 2 x 1
→ … tg x + C 2√x + C −cos x + C −ctg x + C ctg x + C f ( x )
→ … tg x + C 2√x + C −cos x + C −ctg x + C ctg x + C → … tg x + C 2√x + C −cos x + C −ctg x + C ctg x + C
→ … tg x + C 2√x + C −cos x + C −ctg x + C ctg x + C
=
2 , − 3 1 +
C =
2 , C =
2 +
3 1 =
3 7 .
7
.
1
x α + 1
+
C
+
C
x
α
.
(
4 π
;
0
)
;
2 1
;
3
)
;
.
0
=
0 ,
x α + 1
+
C
(α ≠ − 1 \alpha \ne -1 α = − 1 1 x → 2 x + C , \dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x} + C, x 1 → 2 x + C , sin x → − cos x + C , \sin x \to -\cos x + C, sin x → − cos x + C , cos x → sin x + C , \cos x \to \sin x + C, cos x → sin x + C , 1 cos 2 x → tg x + C , \dfrac{1}{\cos^2 x} \to \operatorname{tg} x + C, cos 2 x 1 → tg x + C , 1 sin 2 x → − ctg x + C . \dfrac{1}{\sin^2 x} \to -\operatorname{ctg} x + C. sin 2 x 1 → − ctg x + C .
1
;
1 cos 2 x . \dfrac{1}{\cos^2 x}. cos 2 x 1 . C = y 0 − F ( x 0 ) . C = y_0 - F(x_0). C = y 0 − F ( x 0 ) . ( 0 ; + ∞ ) , (0;\ +\infty), ( 0 ; + ∞ ) , 1 cos 2 x \dfrac{1}{\cos^2 x} cos 2 x 1 ( − π 2 + π k ; π 2 + π k ) , \left(-\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{2} + \pi k\right), ( − 2 π + πk ; 2 π + πk ) , k ∈ Z , k \in \mathbb{Z}, k ∈ Z , 1 sin 2 x \dfrac{1}{\sin^2 x} sin 2 x 1 ( π k ; π ( k + 1 ) ) , \left(\pi k;\ \pi(k + 1)\right), ( πk ; π ( k + 1 ) ) , k ∈ Z , k \in \mathbb{Z}, k ∈ Z , 2 x + C , 2\sqrt{x} + C, 2 x + C , tg x + C \operatorname{tg} x + C tg x + C − ctg x + C -\operatorname{ctg} x + C − ctg x + C Ман медонам, ки функсияҳои ибтидоии 2 x , 2\sqrt{x}, 2 x , tg x , \operatorname{tg} x, tg x , ctg x \operatorname{ctg} x ctg x
=
1
1
+
C
− 1 sin x + C -\dfrac{1}{\sin x} + C − sin x 1 + C
ctg x + C \operatorname{ctg} x + C ctg x + C
tg x + C \operatorname{tg} x + C tg x + C
1 2 x 2 + C \dfrac{1}{2x^2} + C 2 x 2 1 + C
− 1 4 x 4 + C -\dfrac{1}{4x^4} + C − 4 x 4 1 + C
− 1 2 x 2 + C -\dfrac{1}{2x^2} + C − 2 x 2 1 + C
− 2 x 2 + C -\dfrac{2}{x^2} + C − x 2 2 + C
= 1 sin 2 x f(x) = \dfrac{1}{\sin^2 x} f ( x ) = sin 2 x 1
f ( x ) = 1 x f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} f ( x ) = x 1
f ( x ) = sin x f(x) = \sin x f ( x ) = sin x