7 · 1/3. Аз суммаи росткунҷаҳо то интеграл - Алгебра — синфи 11
Масоҳатро бо росткунҷаҳо наздик мекунем
Масъалаи масоҳати трапетсияи каҷхаттаро аз нуқтаи назари дигар мебинем. Бигузор y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) [ a ; b ] [a;\ b] [ a ; b ]
Порчаи [ a ; b ] [a;\ b] [ a ; b ] a = x 0 < x 1 < x 2 < … <
навбатӣ 7 · 2/3. Хосиятҳои интеграл ва ҳисоби он 1 соат
x n − 1 < x n = b a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n − 1 < x n = b
Δ x = b − a n = x k − x k − 1 \Delta x = \dfrac{b - a}{n} = x_k - x_{k-1} Δ x = n b − a = x k − x k − 1 (k = 1 , 2 , … , n k = 1,\ 2,\ \ldots,\ n k = 1 , 2 , … , n [ x k − 1 ; x k ] [x_{k-1};\ x_k] [ x k − 1 ; x k ] f ( x k − 1 ) f(x_{k-1}) f ( x k − 1 ) f ( x k − 1 ) Δ x . f(x_{k-1})\,\Delta x. f ( x k − 1 ) Δ x . Суммаи масоҳатҳои ҳамаи ин росткунҷаҳо:
S n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + … + f ( x n − 1 ) Δ x = b − a n ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + … + f ( x n − 1 ) ) . S_n = f(x_0)\,\Delta x + f(x_1)\,\Delta x + \ldots + f(x_{n-1})\,\Delta x = \dfrac{b - a}{n}\Big(f(x_0) + f(x_1) + \ldots + f(x_{n-1})\Big). S n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + … + f ( x n − 1 ) Δ x = n b − a ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + … + f ( x n − 1 ) ) .
Ҷамъшавандаи охирин f ( x n − 1 ) f(x_{n-1}) f ( x n − 1 ) f ( x n ) f(x_n) f ( x n ) [ x n − 1 ; x n ] [x_{n-1};\ x_n] [ x n − 1 ; x n ]
Азбаски f f f n n n Δ x \Delta x Δ x S n ≈ S , S_n \approx S, S n ≈ S , n n n n n n n → ∞ n \to \infty n → ∞ S n S_n S n S S S
Ин хулоса барои функсияҳои «хуб» дуруст аст. Бештар аз ин: барои ҳар функсияи бефосилаи f f f [ a ; b ] [a;\ b] [ a ; b ] n → ∞ n \to \infty n → ∞ S n S_n S n
Рамзро чунин мехонанд: «интеграл аз a a a b b b
Қисми рамз Ном ∫ \int ∫ аломати интеграл (ҳарфи S S S a a a b b b ҳудудҳои интеграл: a a a b b b f ( x ) f(x) f ( x ) функсияи зериинтегралӣ x x x тағйирёбандаи интегралгирӣ
Аз таърифи интеграл бевосита бармеояд: агар дар порчаи [ a ; b ] [a;\ b] [ a ; b ] f ( x ) ≥ 0 f(x) \ge 0 f ( x ) ≥ 0 S = ∫ a b f ( x ) d x . ( 3 ) S = \int_a^b f(x)\,dx. \qquad (3) S = ∫ a b f ( x ) d x . ( 3 )
Аз суммаи росткунҷаҳо ба интеграл санҷида бин! Аз нав
Дар 5 · 1/2 дидем: масоҳати трапетсияи каҷхаттаи зери графики y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) S = F ( b ) − F ( a ) S = F(b) - F(a) S = F ( b ) − F ( a ) F F F f . f. f .
Барои f ≥ 0 f \ge 0 f ≥ 0 F ( b ) − F ( a ) , F(b) - F(a), F ( b ) − F ( a ) , S n S_n S n O x Ox O x 5 · 2/2 ).
Фарқи F ( b ) − F ( a ) F(b) - F(a) F ( b ) − F ( a ) F ( x ) F(x) F ( x ) [ a ; b ] [a;\ b] [ a ; b ] F ( x ) ∣ a b F(x)\Big|_a^b F ( x ) a b ∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a b = F ( b ) − F ( a ) . ( 5 ) \int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a). \qquad (5) ∫ a b f ( x ) d x = F ( x )
Мисолҳо Мисоли 1. Интеграли ∫ − 2 3 x 2 d x \displaystyle\int_{-2}^{3} x^2\,dx ∫ − 2 3 x 2 d x
Ҳал. Функсияи F ( x ) = x 3 3 F(x) = \dfrac{x^3}{3} F ( x ) = 3 x 3 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 ∫ − 2 3 x 2 d x = x 3 3 ∣ − 2 3 = 3 3 3 − ( − 2 ) 3 3 = 9 + 8 3 = 11 2 3 . \int_{-2}^{3} x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_{-2}^{3} = \dfrac{3^3}{3} - \dfrac{(-2)^3}{3} = 9 + \dfrac{8}{3} = 11\dfrac{2}{3}. ∫ − 2 3 x 2 d x
Мисоли 2. Интеграли ∫ π / 4 π / 2 cos x d x \displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x\,dx ∫ π /4 π /2 cos x d x
Ҳал. Дорем:
∫ π / 4 π / 2 cos x d x = sin x ∣ π / 4 π / 2 = sin π 2 − sin π 4 = 1 − 2 2 . \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x\,dx = \sin x\Big|_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin\dfrac{\pi}{2} - \sin\dfrac{\pi}{4} = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}. ∫ π /4 π /2 cos x d x = sin x π /4 π /2 = sin 2 π − sin 4 π = 1 − 2 2 .
Кор дар синф
Машқҳо Дар синф — бандҳои а), б); дар хона — бандҳои в), г).
1. Интегралҳоро ҳисоб кунед:
а) ∫ 0 2 x 3 d x ; \displaystyle\int_0^2 x^3\,dx; ∫ 0 2 x 3 d x ;
б) ∫ 0 π / 2 sin x d x ; \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x\,dx; ∫ 0 π /2 sin x d x ;
в) ∫ − 1 3 x 2 d x ; \displaystyle\int_{-1}^{3} x^2\,dx; ∫ − 1 3 x 2 d x ;
г) ∫ π / 6 π / 4 d x sin 2 x . \displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/4} \dfrac{dx}{\sin^2 x}. ∫ π /6 π /4 sin 2 x d x
2. Интегралҳоро ҳисоб кунед:
а) ∫ 0 4 x d x ; \displaystyle\int_0^4 \sqrt{x}\,dx; ∫ 0 4 x d x ;
б) ∫ 0 3 ( 1 + 3 x 2 ) d x ; \displaystyle\int_0^3 (1 + 3x^2)\,dx; ∫ 0 3 ( 1 + 3 x 2 ) d x ;
в) ∫ 1 2 ( 1 x 2 3 + 2 x ) d x ; \displaystyle\int_1^2 \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} + 2x\right)dx; ∫ 1 2 ( 3 x 2
г) ∫ 0 π / 12 cos 6 x d x . \displaystyle\int_0^{\pi/12} \cos 6x\,dx. ∫ 0 π /12 cos 6 x d x .
Вазифаи хонагӣ
Машқи 1, бандҳои в), г).
Машқи 2, бандҳои в), г).
Агар дар синф бандҳои а), б) иҷро нашуда бошанд, онҳоро низ иҷро кунед.
Дар ин дарс
Ман метавонам шарҳ диҳам, ки чӣ тавр суммаи масоҳати росткунҷаҳо S n S_n S n n → ∞ n \to \infty n → ∞ Ман метавонам рамзи ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx ∫ a b f ( x ) d x Ман метавонам интегралро бо формулаи Нютон–Лейбнитс ҳисоб кунам. Такрор (2 дақиқа)
Формулаи масоҳати трапетсияи каҷхаттаро нависед.
Яке аз функсияҳои ибтидоии x 2 x^2 x 2 cos x \cos x cos x
Агар F ( x ) = x 2 2 , F(x) = \dfrac{x^2}{2}, F ( x ) = 2 x 2 , F ( 3 ) − F ( 1 ) F(3) - F(1) F ( 3 ) − F ( 1 )
Ҷавобҳо
S = F ( b ) − F ( a ) , S = F(b) - F(a), S = F ( b ) − F ( a ) , F F F f ≥ 0. f \ge 0. f ≥ 0. x 3 3 ; \dfrac{x^3}{3}; Вазъият барои андешаронӣ Формулаи S = F ( b ) − F ( a ) S = F(b) - F(a) S = F ( b ) − F ( a ) a , a, a , b b b
Расми 1. Порчаи [a; b] ба n қисми баробар ҷудо шудааст; дар ҳар қисм росткунҷа бо баландии f(xₖ₋₁). Таъриф Ададеро, ки S n S_n S n n → ∞ n \to \infty n → ∞ интеграл -и функсияи f ( x ) f(x) f ( x )
Формулаи Нютон–Лейбнитс Агар F ( x ) F(x) F ( x ) [ a ; b ] [a;\ b] [ a ; b ] f ( x ) f(x) f ( x ) ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) . ( 4 ) \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). \qquad (4)
Қоидаи ҳисоб
Яке аз функсияҳои ибтидоии F F F C C C
F ( x ) ∣ a b = F ( b ) − F ( a ) F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a) F ( x ) Барои ҳар функсия ва ҳар шумораи n n n S n S_n S n
Формулаи Нютон–Лейбнитс барои ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx ∫ a b f ( x ) d x (F F F — функсияи ибтидоӣ барои f f f
Як ҷавобро интихоб кунед A F ( b ) − F
B C D Дар навишти ∫ 1 3 x 2 d x \displaystyle\int_1^3 x^2\,dx ∫ 1 3 x 2 d x
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед адади 1 1 1
→ … тағйирёбандаи интегралгирӣ аломати интеграл функсияи зериинтегралӣ ҳудуди поёнӣ ҳудуди болоӣ адади 3 3 3
→ … тағйирёбандаи интегралгирӣ аломати интеграл функсияи зериинтегралӣ ҳудуди поёнӣ ҳудуди болоӣ x 2 x^2
→ … тағйирёбандаи интегралгирӣ аломати интеграл функсияи зериинтегралӣ ҳудуди поёнӣ ҳудуди болоӣ → … тағйирёбандаи интегралгирӣ аломати интеграл функсияи зериинтегралӣ ҳудуди поёнӣ ҳудуди болоӣ
a b
=
F ( b ) −
F ( a ) . ( 5 )
=
3 3 3 −
3 ( − 2 ) 3 =
9 +
3 8 =
11 3 2 .
.
1
+
2
x
)
d
x
;
3 x 3
;
9 2 − 1 2 = 4. \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{2} = 4. 2 9 − 2 1 = 4. a
∫ a b f ( x ) d x . \int_a^b f(x)\,dx. ∫ a b f ( x ) d x . S n → ∫ a b f ( x ) d x . \;S_n \to \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx. S n → ∫ a b f ( x ) d x . ∫ a b f ( x ) d x =
F ( b ) −
F ( a ) . ( 4 )
a
b
=
F ( b ) −
F ( a )
f ( x k − 1 )
( a ) F(b) - F(a) F ( b ) − F ( a )
F ( b ) + F ( a ) F(b) + F(a) F ( b ) + F ( a )
f ( b ) − f ( a ) f(b) - f(a) f ( b ) − f ( a )
F ( a ) − F ( b ) F(a) - F(b) F ( a ) − F ( b )
x 2
