Такрор ва санҷиш: татбиқи ҳосила · 1/3. Тадқиқи функсия бо ёрии ҳосила - Алгебра — синфи 10
Усулҳо дар як ҷо
Мавзӯъ Чӣ мекунем Нобаробарӣ бо усули фосилаҳо Нулҳои сурат ва махраҷро ёфта, тирро ба фосилаҳо ҷудо мекунем; аломатро дар як нуқтаи ҳар фосила муайян мекунем; нулҳои махраҷ ҳамеша кушода Суръат ва шитоб v ( t ) = x ′ ( t ) , v(t) = x'(t), v ( t ) = x ′ ( t ) , a ( t ) = v ′
навбатӣ Такрор ва санҷиш: татбиқи ҳосила · 2/3. Кори санҷишӣ 1 соат
( t ) = x ′ ′ ( t ) , a(t) = v'(t) = x''(t), a ( t ) = v ′ ( t ) = x ′′ ( t ) ,
Афзуншавӣ ва камшавӣ f ′ > 0 f' > 0 f ′ > 0 f f f f ′ < 0 f' < 0 f ′ < 0
Экстремум Нуқтаҳои критикиро меёбем. Аломати f ′ f' f ′ «+ + + ба «− - − — максимум, аз «− - − ба «+ + + — минимум, иваз нашавад — экстремум нест. Ё: f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0) = 0 f ′ ( x 0 ) = 0 f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0) > 0 f ′′ ( x 0 ) > 0 f ′ ′ ( x 0 ) < 0 f''(x_0) < 0 f ′′ ( x 0 ) < 0
Сохтани график Нақшаи ҳашт пункт: D ( f ) , D(f), D ( f ) , f ′ , f', f ′ ,
Калонтарин ва хурдтарин Порча: f f f x , x, x , f ( x ) , f(x), f ( x ) ,
Мисолҳо Мисоли 1 (монотонӣ ва экстремум). f ( x ) = x 4 − 4 x 3 . f(x) = x^4 - 4x^3. f ( x ) = x 4 − 4 x 3 . f ′ ( x ) = 4 x 3 − 12 x 2 = 4 x 2 ( x − 3 ) . f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3). f ′ ( x ) = 4 x 3 − 12 x 2 = 4 x 2 ( x − 3 ) . x = 0 x = 0 x = 0 x = 3. x = 3. x = 3. ( − ∞ ; 0 ) , (-\infty;\,0), ( − ∞ ; 0 ) , ( 0 ; 3 ) , (0;\,3), ( 0 ; 3 ) , ( 3 ; + ∞ ) . (3;\,+\infty). ( 3 ; + ∞ ) . f ′ f' f ′ 4 x 2 ≥ 0 4x^2 \ge 0 4 x 2 ≥ 0 x − 3 x - 3 x − 3 3 3 3 − , − , + . -,\ -,\ +. − , − , + .
f f f ( − ∞ ; 3 ] (-\infty;\,3] ( − ∞ ; 3 ] [ 3 ; + ∞ ) [3;\,+\infty) [ 3 ; + ∞ ) дар x = 0 x = 0 x = 0
дар x = 3 x = 3 x = 3 «− - − ба «+ + + минимум, y min = 81 − 108 = − 27. y_{\min} = 81 - 108 = -27. y m i n = 81 − 108 = − 27.
Мисоли 2 (калонтарин ва хурдтарин). f ( x ) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x f ( x ) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x [ 0 ; 3 ] . [0;\,3]. [ 0 ; 3 ] . f ′ = 6 x 2 − 18 x + 12 = 6 ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 , f' = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0, f ′ = 6 x 2 − 18 x + 12 = 6 ( x − 1 ) x = 1 , x = 1, x = 1 , x = 2. x = 2. x = 2. f ( 0 ) = 0 ; f(0) = 0; f ( 0 ) = 0 ; f ( 1 ) = 5 ; f(1) = 5; f ( 1 ) = 5 ; f ( 2 ) = 4 ; f(2) = 4; f ( 2 ) = 4 ; f ( 3 ) = 54 − 81 + 36 = 9. f(3) = 54 - 81 + 36 = 9. f ( 3 ) = 54 − 81 + 36 = 9. 9 9 9 x = 3 x = 3 x = 3 0 0 0 x = 0 x = 0 x = 0 f ( 1 ) = 5 f(1) = 5 f ( 1 ) = 5
Мисоли 3 (масъалаи амалӣ). Аз варақи мураббаъшакли тарафаш 12 12 12 x x x x x x
Қуттӣ: таг — мураббаъ бо тарафи 12 − 2 x , 12 - 2x, 12 − 2 x , x , x, x , V ( x ) = x ( 12 − 2 x ) 2 , V(x) = x(12 - 2x)^2, V ( x ) = x ( 12 − 2 x ) 2 , x ∈ ( 0 ; 6 ) . x \in (0;\,6). x ∈ ( 0 ; 6 ) . V ′ ( x ) = ( 12 − 2 x ) 2 − 4 x ( 12 − 2 x ) = ( 12 − 2 x ) ( 12 − 6 x ) . V'(x) = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x). V ′ ( x ) = ( 12 − 2 x ) 2 − 4 x ( 12 − ( 0 ; 6 ) (0;\,6) ( 0 ; 6 ) x = 2 x = 2 x = 2 V ′ V' V ′ «+ + + ба «− - − мегузарад: максимум, пас калонтарин. V ( 2 ) = 2 ⋅ 8 2 = 128. V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128. V ( 2 ) = 2 ⋅ 8 2 = 128. Ҷавоб: x = 2 x = 2 x = 2 128 128 128
Кор дар синф
Машқҳо Машқҳо аз рӯйи мавзӯъ гурӯҳбандӣ шудаанд. Дар синф: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13; дар хона: 2, 4, 6, 8, 10, 12.
Нобаробариҳо бо усули фосилаҳо 1. Нобаробариҳоро бо усули фосилаҳо ҳал кунед:
а) ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( x − 6 ) ≤ 0 ; (x - 2)(x - 4)(x - 6) \le 0; ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( x − 6 ) ≤ 0 ;
б) 3 x ( 10 x − 3 ) > 0 ; 3x(10x - 3) > 0; 3 x ( 10 x − 3 ) > 0 ;
в) ( 0,5 x − 1 ) ( x − 5 ) < 0 ; (0{,}5x - 1)(x - 5) < 0; ( 0 , 5 x − 1 ) ( x − 5 ) < 0 ;
г) ( 5 x + 3 ) ( 2 x − 5 ) > 0 ; (5x + 3)(2x - 5) > 0; ( 5 x + 3 ) ( 2 x − 5 ) > 0 ;
ғ) ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) > 0 ; (2x - 1)(x + 1) > 0; ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) > 0 ;
д) ( 10 x − 1 ) ( 5 x − 2 ) < 0 ; (10x - 1)(5x - 2) < 0; ( 10 x − 1 ) ( 5 x − 2 ) < 0 ;
е) ( 0,6 + x ) ⋅ x < 0 ; (0{,}6 + x) \cdot x < 0; ( 0 , 6 + x ) ⋅ x < 0 ;
ё) ( 4 x − 3 ) ( 2 − 3 x ) ≥ 0. (4x - 3)(2 - 3x) \ge 0. ( 4 x − 3 ) ( 2 − 3 x ) ≥ 0.
2. Нобаробариҳоро ҳал кунед:
а) ( x + 3 ) ( x − 1 ) x 2 − 25 > 0 ; \dfrac{(x + 3)(x - 1)}{x^2 - 25} > 0; x 2 − 25 ( x + 3 ) ( x − 1 ) > 0 ;
б) x 2 − 1 ( x − 3 ) ( x − 13 ) < 0 ; \dfrac{x^2 - 1}{(x - 3)(x - 13)} < 0; ( x − 3 ) ( x − 13 ) x 2 − 1 < 0 ;
в) ( x + 4 ) ( x − 10 ) ( x + 1 ) ( x + 5 ) ≥ 0 ; \dfrac{(x + 4)(x - 10)}{(x + 1)(x + 5)} \ge 0; ( x + 1 ) ( x + 5 ) ( x + 4 ) ( x − 10 ) ≥ 0 ;
г) x + 11 ( x − 1 ) ( x + 2 ) ≤ 0 ; \dfrac{x + 11}{(x - 1)(x + 2)} \le 0; ( x − 1 ) ( x + 2 ) x + 11 ≤ 0 ;
д) 1 − x + 1 2 x 2 ≥ 0. 1 - \dfrac{x + 1}{2x^2} \ge 0. 1 − 2 x 2 x + 1 ≥ 0.
3. Нобаробариҳоро ҳал кунед:
а) x 2 − 16 x + 64 > 0 ; x^2 - 16x + 64 > 0; x 2 − 16 x + 64 > 0 ;
б) 25 − 20 x + 4 x 2 > 0 ; 25 - 20x + 4x^2 > 0; 25 − 20 x + 4 x 2 > 0 ;
в) 3 x 2 − 31 x − 22 ≤ 0 ; 3x^2 - 31x - 22 \le 0; 3 x 2 − 31 x − 22 ≤ 0 ;
г) 2 x 2 + 5 x − 63 ≤ 0 ; 2x^2 + 5x - 63 \le 0; 2 x 2 + 5 x − 63 ≤ 0 ;
д) 3 x 2 + 5 x − 8 ≥ 0. 3x^2 + 5x - 8 \ge 0. 3 x 2 + 5 x − 8 ≥ 0.
4. Нобаробариҳоро ҳал кунед:
а) ( x 3 − 8 ) ( x 2 − 81 ) ⋅ x ≥ 0 ; (x^3 - 8)(x^2 - 81)\cdot x \ge 0; ( x 3 − 8 ) ( x 2 − 81 ) ⋅ x ≥ 0 ;
б) ( x − 1 ) 3 ( x − 6 ) 4 ( x + 3 ) ( x + 1 ) 2 ≤ 0 ; \dfrac{(x - 1)^3(x - 6)^4}{(x + 3)(x + 1)^2} \le 0; ( x + 3 ) ( x + 1 ) 2 ( x − 1 ) 3 ( x − 6 ) 4 ≤
в) ( x − 1 ) 2 ( x − 5 ) ( x − 3 ) 3 > 0 ; \dfrac{(x - 1)^2(x - 5)}{(x - 3)^3} > 0; ( x − 3 ) 3 ( x − 1 ) 2 ( x − 5 )
г) x 2 − 7 x + 6 ( x − 4 ) 2 < 0. \dfrac{x^2 - 7x + 6}{(x - 4)^2} < 0. ( x − 4 ) 2 x 2 − 7 x + 6 < 0.
5. Соҳаи муайянии функсияро ёбед:
а) y = x − 1 x + 1 ; y = \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 1}}; y = x + 1 x − 1 ;
б) y = x 2 − 3 x + 2 ; y = \sqrt{x^2 - 3x + 2}; y = x 2 − 3 x + 2 ;
в) y = ( x − 3 ) 2 x − 5 ; y = \sqrt{\dfrac{(x - 3)^2}{x - 5}}; y = x − 5 ( x − 3 ) 2
г) y = 4 − 2 x − 2 x 2 . y = \sqrt{4 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x^2}}. y = 4 − x 2 − x 2
6. Дар кадом қиматҳои a a a
а) ( a − 3 ) 2 a 2 − 25 ≥ 0 ; \dfrac{(a - 3)^2}{a^2 - 25} \ge 0; a 2 − 25 ( a − 3 ) 2 ≥ 0 ;
б) ( a − 1 ) 2 a ( a − 2 ) ≤ 0 ; \dfrac{(a - 1)^2}{a(a - 2)} \le 0; a ( a − 2 ) ( a − 1 ) 2 ≤ 0 ;
в) ( a − 2 ) 3 ( a + 3 ) 2 a ( a 2 + 1 ) < 0 ; \dfrac{(a - 2)^3(a + 3)^2}{a(a^2 + 1)} < 0; a ( a 2 + 1 ) ( a − 2 ) 3 ( a + 3 )
г) ( a 2 + 4 ) ( a − 4 ) 3 2 a 2 ( a + 5 ) < 0 ? \dfrac{(a^2 + 4)(a - 4)^3}{2a^2(a + 5)} < 0\,? 2 a 2 ( a + 5 ) ( a 2 + 4 ) ( a − 4 )
Ҳосила дар физика 7. Коэффитсиенти кунҷии расандаро ба графики функсияи y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) x 0 x_0 x 0
а) f ( x ) = sin x , f(x) = \sin x, f ( x ) = sin x , x 0 = π 4 ; x_0 = \dfrac{\pi}{4}; x 0 = 4 π ;
б) f ( x ) = 3 x 2 − 9 x + 17 , f(x) = 3x^2 - 9x + 17, f ( x ) = 3 x 2 − 9 x + 17 , x 0 = 2. x_0 = 2. x 0 =
8. Ҷисм аз рӯи хати рости O x Ox O x x ( t ) = 2 3 t 3 − 2 t 2 + 3 t x(t) = \dfrac{2}{3}t^3 - 2t^2 + 3t x ( t ) = 3 2 t 3 − 2 t 2 + 3 t t = 2 t = 2 t = 2
9. Сатҳи об дар зарфи силиндршакли диаметраш 6 6 6 1 1 1
10. Ҷисми массааш 4 4 4 S = t 2 + t + 1 S = t^2 + t + 1 S = t 2 + t + 1 (S S S — масофа бо метр). Энергияи кинетикии ҷисмро дар лаҳзаи t = 5 t = 5 t = 5
11. Ҷисм аз рӯи қонуни x ( t ) = cos ω t x(t) = \cos\omega t x ( t ) = cos ω t (ω \omega ω — адади доимӣ) ҳаракат мекунад. Суръат ва шитоби онро дар лаҳзаи t 0 = π 4 ω t_0 = \dfrac{\pi}{4\omega} t 0 = 4 ω π
Монотонӣ 12. Фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавии функсияро ёбед:
а) f ( x ) = 2 x x 2 − 4 ; f(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 4}; f ( x ) = x 2 − 4 2 x ;
б) f ( x ) = 1 4 x 4 − 27 x 3 ; f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - 27x^3; f ( x ) = 4 1 x 4 − 27 x 3 ;
в) f ( x ) = x + 4 x ; f(x) = x + \dfrac{4}{x}; f ( x ) = x + x 4 ;
г) f ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 ; f(x) = 4x^3 - 6x^2; f ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 ;
д) f ( x ) = 5 − x 2 ; f(x) = 5 - x^2; f ( x ) = 5 − x 2 ;
е) f ( x ) = 2 x ( x 4 + 1 ) ; f(x) = 2x(x^4 + 1); f ( x ) = 2 x ( x 4 + 1 ) ;
ж) f ( x ) = 3 x + 2 cos 3 x ; f(x) = 3x + 2\cos 3x; f ( x ) = 3 x + 2 cos 3 x ;
з) f ( x ) = x 2 + 2 x ; f(x) = x^2 + \dfrac{2}{x}; f ( x ) = x 2 + x 2 ;
и) f ( x ) = x − sin 2 x . f(x) = x - \sin 2x. f ( x ) = x − sin 2 x .
13. Исбот кунед, ки дар нуқтаҳои соҳаи муайянии худ функсияҳои
а) f ( x ) = 7 − 13 x ; f(x) = 7 - \dfrac{13}{x}; f ( x ) = 7 − x 13 ;
б) f ( x ) = x 5 + 2 x − 100 f(x) = x^5 + 2x - 100 f ( x ) = x 5 + 2 x − 100
афзуншаванда ва функсияҳои
в) f ( x ) = − 5 x 3 − x ; f(x) = -5x^3 - x; f ( x ) = − 5 x 3 − x ;
г) f ( x ) = − 5 x − sin 2 x f(x) = -5x - \sin 2x f ( x ) = − 5 x − sin 2 x
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 2, 4, 6, 8, 10, 12.
Пеш аз санҷиш ҷадвали «Усулҳо дар як ҷо»-ро хонед ва барои ҳар сатр як мисоли худро нависед.
Кадом мавзӯъро аз куҷо такрор кунем Дар ин дарс
Ман метавонам усули фосилаҳо, ҳосила дар физика, монотонӣ, экстремум, график ва қимати калонтарин (хурдтарин)-ро дар як нақша ба ҳам оварда истифода барам.Ман метавонам функсияро бо ёрии ҳосила тадқиқ карда, ҷавобро дар шакли ҷадвал нависам.Ман мефаҳмам , кадом мавзӯъро пеш аз кори санҷишӣ бояд такрор кунам. Оё медонед? Таърихи ҳосила
Р. Декарт (1596–1650) дар китоби «Геометрия» (1637) методи координатаҳоро ба кор бурд; бо он масъалаи расанда ва экстремумро бо усули алгебравӣ ҳал кардан мумкин шуд.П. Ферма (1601–1665) дар солҳои 1630-ум усули ёфтани максимум ва минимумро пешниҳод кард: дар нуқтаи экстремум «афзоиш» ба нул наздик мешавад. Ин аслан ҳамон f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0) = 0 f ′ ( x 0 ) = 0 Н. Орем (асри XIV) ва И. Кеплер (1571–1630; китоб дар бораи ҳаҷми бочкаҳои шароб, 1615) пай бурданд, ки дар наздикии қимати калонтарин ё хурдтарин миқдор хеле суст тағйир меёбад. Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадом мавзӯи боби 5 бароям душвортар аст? Кадом ду мисоли шумо ин мавзӯъро беҳтар мефаҳмонад?
Агар f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0) = 0 f ′ ( x 0 ) = 0 x 0 x_0 x 0
f ( x ) = x 3 − 12 x f(x) = x^3 - 12x f ( x ) = x 3 − 12 x
Як ҷавобро интихоб кунед A ( − ∞ ; − 2 ) (-\infty;\,-2) ( − ∞ ; − 2 ) ( 2 ; + ∞ ) (2;\,+\infty) (
B C D Кадом тасдиқҳо дуруст аст?
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A Агар f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0) = 0 f ′′ ( x 0 ) = 0 x 0 x_0 x 0
B Қимати калонтарини функсияи бефосила дар порча дар нугҳо ё дар нуқтаҳои критикӣ ҷой дорад C Агар
D Нуқтаи максимум ҳамеша қимати калонтарини функсия дар порча аст (
x
−
2 ) =
0 ,
2 x ) =
( 12 −
2 x ) ( 12 −
6 x ) .
0
;
>
0 ;
;
2
.
2
<
0 ;
3
<
0 ?
2.
И. Нютон (1643–1727) ва Г. Лейбниц (1646–1716) ба таври мустақил дар охири асри XVII ҳисоби дифференсиалиро офариданд. Нютон ҳосиларо «флюксия», худи функсияро «флюента» мегуфт; ишораҳои d x , dx, d x , d y , dy, d y , d y d x \dfrac{dy}{dx} d x d y
Л. Эйлер (1707–1783) соли 1755 китоби «Асосҳои ҳисоби дифференсиалӣ»-ро чоп кард.
О. Коши (1789–1857) бефосилагӣ ва ҳосиларо бо ёрии лимит дақиқ муайян кард.
К. Вейерштрасс (1815–1897): теоремаи дар бораи қимати калонтарин ва хурдтарини функсияи дар порча бефосила ба номи ӯ аст.t = 3
2
;
+
∞
)
( − ∞ ; 0 ) (-\infty;\,0) ( − ∞ ; 0 )
( 0 ; + ∞ ) (0;\,+\infty) ( 0 ; + ∞ )
f ′ ( x ) > 0