48 · 2/2. Графики функсияҳои касрӣ ва тригонометрӣ - Алгебра — синфи 10
Функсияи касрӣ
Мисоли 3. y=x−2(x+1)2-ро тадқиқ карда, графикашро месозем.
- Дар функсия муайян нест ва бефосилагӣ вайрон мешавад: — нуқтаи канда.
навбатӣ49 · 1/3. Қиматҳои калонтарин ва хурдтарин дар порча
1 соат
D(f)=(−∞;2)∪(2;+∞).
Функсия на ҷуфт, на тоқ, на даврӣ аст: D(f) нисбат ба 0 симметрӣ нест. Тири Ox-ро дар (−1;0), тири Oy-ро дар (0;−21) мебурад. Нул фақат x=−1. Аломати f: азбаски (x+1)2≥0, аломати f бо аломати x−2 мувофиқ аст. Дар (−∞;−1) ва (−1;2) f<0 (график аз поёни тири Ox), дар (2;+∞) f>0. Дар x=−1 аломат иваз намешавад.
5–6. Ҳосила:
f′(x)=(x−2)
f′(x)=0 дар x=−1 ва x=5; x=2 ба D(f) дохил намешавад. Се нуқта тирро ба чор фосила ҷудо мекунад: | Фосила | f′ | f |
|---|
| (−∞;−1) | + | меафзояд |
| x=−1 | 0 | максимум, y=0 |
| (−1;2) | − | кам мешавад |
| (2;5) | − | кам мешавад |
| x=5 | 0 | минимум, y=12 |
| (5;+∞) | + | меафзояд |
Пас (−1;0) — нуқтаи максимум, (5;12) — нуқтаи минимум. Диққат: қимати минимум (12) аз қимати максимум (0) зиёд аст — ин хато нест, чунки ду қисми график дар ду тарафи x=2 ҷойгиранд.
- Назди нуқтаи канда: ҳангоми x→2− ададҳои (x+1)2→9 ва x−2→0−, пас f→−∞ (масалан, f(1,99)≈−894); ҳангоми x→2+ f→+∞ (f(2,01)≈906). Ҳангоми x→±∞ f(x)→±∞.
- Графикро месозем: хати вертикалии x=2-ро бо пунктир мекашем, ду шохаро дар ду тарафи он.
Курсорро бо лаборатория ҳаракат диҳед ва ҷадвалро худатон пур кунед.
Лабораторияи ҳосила: функсияи касрӣсанҷида бин! Функсияи тригонометрӣ
Мисоли 4. y=sinx−21sin2x-ро тадқиқ карда, графикашро месозем.
- D(f)=R ва f бефосила аст (суммаи функсияҳои бефосила).
2–4. D(f) нисбат ба 0 симметрӣ аст ва f(−x)=−sinx+21sin2x=−f(x): функсия тоқ аст, графикаш нисбат ба ибтидои координата симметрӣ. Функсия даврӣ аст ва 2π давр дорад. Пас графикро дар [0;π] месозем, баъд нисбат ба O инъикос мекунем (пас [−π;π]) ва аз рӯи давр ба тамоми тир давом медиҳем.
Нулҳо: sinx−sinxcosx=sinx(1−cosx)=0. Дар [0;π] ду реша: x=0 ва x=π. Дар (0;π) ададҳои sinx>0 ва 1−cosx>0, пас f>0; дар (−π;0) аз тоқӣ f<0. Дар нугҳо f(0)=f(π)=0.
5–6. Ҳосила: f′(x)=cosx−cos2x. Бо cos2x=2cos2x−1:
f′(x)=−2cos2x+cosx+1=
Нулҳо: cosx=−21 (x=32π дар [0;π]) ва cosx=1 (x=0). Нуқтаи 32π порчаи [0;π]-ро ба ду қисм ҷудо мекунад:
- дар (0;32π) 2cosx+1>0 ва 1−cosx>0, пас f′>0 ва f меафзояд;
- дар (32π;π) 2cosx+1<0 ва пас ва кам мешавад.
Дар x=32π аломат аз «+» ба «−» иваз мешавад: максимум, ymax=sin32π−21sin
Дар x=0 ҳосила 0 аст, вале f′≥0 дар ҳарду тарафи 0 (аломат иваз намешавад): экстремум нест, график дар ин ҷо расандаи уфуқӣ дорад. Аз тоқӣ: x=−32π — минимум, ymin=−433
- Барои тарҳи дурусти график чанд қиматро ҳисоб мекунем:
f(0)=0; f(6π)≈0,07; f(3π)≈0,43; f(2π)=1; f(32π)≈1,30; f(65π)≈0,93; f(π)=0.
- Графикро дар [0;π], баъд дар [−π;0] ва аз рӯи давр дар тамоми тир месозем.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Функсияро тадқиқ карда, графикашро созед:
- а) y=2x3−7x+5;
- б) y=x3−3x;
- в) y=3x3−9x+6;
- г) y=31x3−2x2+4x;
- д) y=x3+x2;
- е) y=x4−3x2+2;
- ж) y=3x4−x2−2;
- з) y=x4−x2;
- и) y=0,2x5−31x3;
- к) y=512x5−4x3;
- л) y=x5−5x4;
- м) y=xx4−16;
- н) y=x2(x−4)16;
- о) f(x)=x+2−x;
- п) y=x1−x.
2. Функсияи тригонометриро тадқиқ карда, графикашро созед:
- а) y=2sin3x;
- б) y=21cos2x;
- в) y=1+cosx;
- г) y=−1+sinx.
Такрор (дар хона)
- а) 1641652−1242;
- б) 731492−762
- в) 1762−1122288
4. Моҳигир бо қаиқ аз пункти A ба болооби дарё (яъне муқобили ҷараён) ҳаракат кард. Баъди тай кардани 6 км белҳоро ба як тараф гузошта, ба моҳидорӣ машғул шуд. Ҷараёни дарё қаиқро баъди 4 соату 30 дақиқа аз вақти аз A баромаданаш ба мавқеи аввала овард. Агар суръати дарё 2 км/соат бошад, суръати қаиқро дар оби ором ёбед.
5. Муодилаҳоро ҳал кунед:
- а) 4x+15−x+221=2;
- б) x−316+1−x30=3.
6. Хатогиро дар исботи зерин нишон диҳед:
16−3616−36+48142−2⋅4⋅
7. Графики функсияи y=f(x)-ро, ки дар порчаи [a;b] бефосила аст, дар ҳолатҳои зерин созед:
- а) a=−4, b=2, f(−4)=−2, f(x) дар порчаи [−4;0] меафзояд ва дар [1;2] бо функсияи f(x)=x ифода меёбад;
- б) a=1, b=6, f(6)=2, дар [1;2] бо функсияи ифода меёбад ва дар кам мешавад.
8. Муодилаи расандаро ба хати каҷи y=x3+1 дар нуқтаи x0=1 нависед.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 3–8. Аз машқҳои 1 ва 2 ду-се функсияро, ки дар синф кор нашудаанд, дар дафтар тадқиқ кунед.
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 48. Сохтани графики функсия».
Хулоса
- Нақшаи тадқиқот: D(f); ҷуфт/тоқ/даврӣ; буришҳо бо тирҳо; аломати f; f′ ва нуқтаҳои критикӣ; экстремум; рафтор дар нугҳо ва назди нуқтаҳои канда; график.
- Графики функсияи ҷуфт нисбат ба Oy, тоқ — нисбат ба O симметрӣ аст; барои даврӣ як давр кофист.
- Дар нуқтаи канда функсия муайян нест: дар ин нуқта график канда мешавад; рафтори онро назди нуқта меомӯзем.
- Максимуми маҳаллӣ метавонад аз минимуми маҳаллӣ хурд бошад.
Худро санҷед. Ҳар сатрро бо ✓ ё ✗ нишон диҳед:
- Нақшаи тадқиқотро аз ёд медонам ва ҳар пунктро чӣ барои чӣ лозимашро мефаҳмам.
- Аз рӯи ҷадвали f′ ва f графикро месозам.
- Функсияи тоқ ва даврӣ фақат дар як қисми давр тадқиқ карда мешавад.
Дар ин дарс
- Ман метавонам функсияи касриро бо нуқтаи канда тадқиқ карда, графикашро созам.
- Ман метавонам функсияи тригонометрии даврӣ ва тоқро фақат дар як қисми давр тадқиқ карда, графикро ба тамоми тир давом диҳам.
- Ман метавонам графики бисёраъзогӣ ва функсияҳои оддии тригонометриро бо нақша созам.
Такрор (2 дақиқа)
- Агар f ҷуфт бошад, тадқиқро дар кадом қисми тир гузаронидан кифоя аст?
- f(x)=x−2(x+1)2 дар кадом нуқта муайян нест?
- (sinx)′ ва (sin2x)′-ро нависед.
Ҷавобҳо
- Дар [0;+∞), баъд графикро нисбат ба тири Oy инъикос мекунем. 2) Дар x=2. 3) cosx ва 2
Графики y = (x + 1)²/(x − 2): ду шоха дар ду тарафи x = 2; максимум (−1; 0), минимум (5; 12).
Графики y = sin x − ½ sin 2x: тоқ, давраш 2π; максимум дар 2π/3, минимум дар −2π/3; дар x = 0 расандаи уфуқӣ бе экстремум.Калимаҳои калидӣнақшаи тадқиқотнуқтаи кандафунксияи тоқдаврмаксимумминимум
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Кадом мисол (бисёраъзогӣ, каср, тригонометрия) аз ҳама мураккаб буд ва чаро? Чӣ тавр бо ёрии ҳосила хатогии «қуллаи пинҳонӣ»-ро пешгирӣ мекунем?
Агар функсия тоқ бошад, кофист онро дар [0;+∞) тадқиқ кунем, баъд графикро нисбат ба ибтидои координата инъикос намоем.
Ҳангоми x→2− (аз чап) қимати y=x−2(x+1) ба чӣ майл мекунад?
Як ҷавобро интихоб кунед
Функсияро бо хосияти он мувофиқ кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедy=x4−3x2+2
→y=x
→→
→
2
2(x+1)(x−2)−(x+1)2
=
(x−2)2(x+1)(x−5).
(2cosx+
1)(1−
cosx).
1−cosx>0,
34π
=
1,30.
.
;
.
2
9
+
(29)2
(4−29)2
4−29
4
=25−45;=25−45+481;=52−2⋅5⋅29+(29)2;=(5−29)2;=5−29;=5.
cos
2
x
.
2
3
+
x
y=cos2x